2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题22分类与整合思想化归与转化思想理.docx

专题22 分类与整合思想、化归与转化思想【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.【命题热点突破一】分类与整合思想1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数yax2bxc有时候分a0和a0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论. (3)数列：由Sn求an分n1和n1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论. (7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 例1、(1) 设xR，x表示不超过x的最大整数若存在实数t，使得t1，t22，tnn同时成立，则正整数n的最大值是()A3 B4 C5 D6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0(0P0E(3X2)，则6P0，即0P0；若E(2X1)E(3X2)，则6P0，即P01；若E(2X1)E(3X2)，则6P0，即P0.综上所述，当0P0时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P01时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P0时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有从高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中【变式探究】 (1)若集合E(p，q，r，s)|0ps4，0qs4，0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4，0vw4且t，u，v，wN，用card(X)表示集合X中元素的个数，则card(E)card(F)()A200 B150C100 D50(2)已知函数f(x)mln x.若m0，求函数f(x)的单调区间；若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求m的取值范围【答案】(1)A(2)解：函数yf(x)的定义域为(0，)，f(x).当m0时，mxex0，f(x)单调递增；当x(2，)时，f(x)0时，设函数g(x)mxex，则g(x)mex.(i)当0m1，0x2时，g(x)0，g(x)0，f(x)单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点(ii)当m1时，g(x)mexeln mex，所以当x(0，ln m)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(ln m，)时，g(x)0，g(x)单调递减，所以函数g(x)在(0，)上的最大值为g(ln m)m(ln m1)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，则解得em0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)(2)P，Q为ABC内不同的两点若320，3450，则SPABSQAB_【答案】(1)(2)25 (2)如图所示，以A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系设ABC的面积为S，P(x1，y1)，B(m，0)，C(a，b)，则3(x1，y1)2(x1m，y1) (x1a，y1b)(0，0)，解得y1，即PAB的高为CAB的高的，故PAB的面积为S.设Q(x2，y2)，则3(x2，y2)4(x2m，y2)5(x2a，y2b)(0，0)，解得y2b，即QAB的高为CAB的高的，故QAB的面积为S.所以SPABSQAB25.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现【变式探究】(1)已知x，y满足若zaxy的最大值为3a9，最小值为3a3，则a的取值范围为()Aa1 Ba1C1a1 Da1或a1(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A9 B10C11 D.【答案】(1)C(2)C【解析】(1)已知不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，其顶点坐标分别为(3，3)，(3，3)，(3，9)根据已知，得解得1a1.(2)该几何体的直观图如图所示，其体积为22321312111.【高考真题解读】12015安徽卷 已知数列an是递增的等比数列a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_【答案】2n1【解析】设数列an的公比为q，由a2a3a1a48，a1a49知a1，a4是一元二次方程x29x80的两根，解此方程得x1或x8.又数列an递增，因此a11，a4a1q38，解得q2，故数列an的前n项和Sn2n1.22015福建卷 函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_【答案】(1，232015山东卷 若“x0，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_【答案】1【解析】ytan x在区间上单调递增，ytan x的最大值为tan1.又“x，tan xm”是真命题，m1.42015四川卷 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有_个【答案】120【解析】由题意知，万位上排4时，有2A个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3A个，故共有5A120(个)52014天津卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_5【解析】2sin B3sin C，2b3c.又bc，a2c，bc，cos A.62014陕西卷改编 设函数f(x)ln x，mR.若对任意ba0，1恒成立，则m的取值范围是_【答案】，)72015湖北卷改编 已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为_【答案】45【解析】方法一：若x1x23，则只能x11，y10，此时y1y22，1，0，1，2，(x1x2，y1y2)有5种情况，根据对称性知，当x1x23时，(x1x2，y1y2)也有5种情况；若x1x22，此时x11，0均可，y1可以等于0，1，1，故y1y23，2，1，0，1，2，3，(x1x2，y1y2)有7种情况，根据对称性知，当x1x22时，(x1x2，y1y2)也有7种情况；若x1x21，此时x11，0，1均可，y1可以等于0，1，1，故y1y2