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山东省泰安市第一中学 1 2009 年导数高考题年导数高考题 一 选择题选择题 1 2009 年广东卷文 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 w w w k s 5 u c o m 答案 D 解析 3 3 2 xxx fxxexexe 令 0fx 解得2x 故选 D 2 2009 全国卷 理 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 B A 1 B 2 C 1 D 2 解 设切点 00 P xy 则 0000 ln1 yxayx 又 0 0 1 1 x x y xa 000 10 12xayxa 故答案选 B 3 2009 安徽卷理 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 解析 32 yxaxab 由 0y 得 2 3 ab xa x 当xa 时 y取 极大值 0 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 故选 C 或当xb 时0y 当xb 时 0y 选 C 4 2009 安徽卷理 已知函数 f x 在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲 线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 解析 由 2 2 2 88f xfxxx 得 2 2 2 2 8 2 8fxf xxx 山东省泰安市第一中学 2 即 2 2 2 44f xfxxx 2 f xx 2fxx 切线方程为 12 1 yx 即210 xy 选 A 5 2009 安徽卷文 设 函数的图像可能是 解析 可得 2 0 xa xbyxaxb 为的两个零解 当xa 时 则 0 xbf x 当axb 时 则 0 f x 当xb 时 则 0 f x 选 C 答案 C 6 2009 江西卷文 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相 切 则a等于 A 1 或 25 64 B 1 或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或 7 答案 A 解析 设过 1 0 的直线与 3 yx 相切于点 3 00 x x 所以切线方程为 32 000 3 yxxxx 即 23 00 32yx xx 又 1 0 在切线上 则 0 0 x 或 0 3 2 x 当 0 0 x 时 由0y 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得 25 64 a 当 0 3 2 x 时 由 2727 44 yx 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得1a 所以选A 7 2009 江西卷理 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线 方程为21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 山东省泰安市第一中学 3 A 4 B 1 4 C 2 D 1 2 答案 A 解析 由已知 1 2 g 而 2fxg xx 所以 1 1 2 14fg 故选 A 8 2009 天津卷文 设函数 f x 在 R 上的导函数为 f x 且 2f x xf x x 2 x 下面的 不等式在 R 内恒成立的是 A 0 xf B 0 xf C xxf Dxxf 答案 A 解析 由已知 首先令0 x 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式 的特点 考查了分析问题和解决问题的能力 9 2009 湖北卷理 设球的半径为时间 t 的函数 R t 若球的体积以均匀速度 c 增 长 则球的表面积的增长速度与球半径 A 成正比 比例系数为 C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为 C D 成反比 比例系数为 2C 答案 D 解析 由题意可知球的体积为 3 4 3 V tR t 则 2 4 cV tR t R t 由此 可得 4 c R t R t R t 而球的表面积为 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 22 8 2 4 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 故选 D 10 2009 全国卷 理 曲线 21 x y x 在点 1 1处的切线方程为 A 20 xy B 20 xy C 450 xy D 450 xy 解解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切线方程为1 1 yx 即20 xy 故选故选 B 11 2009 湖南卷文 若函数 yf x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数 yf x 在区间 a b 上的图象可能是 A 山东省泰安市第一中学 4 A B C D 解 因为函数 yf x 的导函数 yfx 在区间 a b 上是增函数 即在区间 a b 上 各点处的斜率k是递增的 由图易知选 A 注意 C 中yk 为常数噢 12 2009 陕西卷文 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点 的横坐标为 n x 则 12n xxx 的值为 A 1 n B 1 1n C 1 n n D 1 答案 B 解析 对 1 1 nn yxnNynx 求导得 令1x 得在点 1 1 处的切线的斜 率1kn 在点 1 1 处的切线方程为1 1 1 1 nn yk xnx 不妨设0y 1 n nn x 则 12 12311 23411 n nn xxx nnn 故选 B 13 2009 天津卷理 设函数 1 ln 0 3 f xxx x 则 yf x A 在区间 1 1 1 e e 内均有零点 B 在区间 1 1 1 e e 内均无零点 C 在区间 1 1 e 内有零点 在区间 1 e内无零点 D 在区间 1 1 e 内无零点 在区间 1 e内有零点 考点定位 本小考查导数的应用 基础题 解析 由题得 x x x xf 3 31 3 1 令0 xf得3 x 令0 xf得 30 x 0 xf得3 x 故知函数 xf在区间 3 0 上为减函数 在区间 ababa o x o x y ba o x y o x y b y 山东省泰安市第一中学 5 3 为增函数 在点3 x处有极小值03ln1 又 01 3 1 1 0 1 3 3 1 1 ee f e eff 故选择 D 14 2009 重庆卷文 把函数 3 3f xxx 的图像 1 C向右平移u个单位长度 再 向下平移v个单位长度后得到图像 2 C 若对任意的0u 曲线 1 C与 2 C至多只有 一个交点 则v的最小值为 A 2B 4C 6D 8 答案 B 解析根据题意曲线 C 的解析式为 3 3 yxuxuv 则方程 33 3 3xuxuvxx 即 23 3 3 0ux uuv 即 3 1 3 4 vuu 对任 意0u 恒成立 于是 3 1 3 4 vuu 的最大值 令 3 1 3 0 4 g uuu u 则 2 33 3 2 2 44 g uuuu 由此知函数 g u在 0 2 上为增函数 在 2 上为减函数 所以当2u 时 函数 g u取最大值 即为 4 于是 4v 二 填空题填空题 15 2009 辽宁卷文 若函数 2 1 xa f x x 在1x 处取极值 则a 解析 f x 2 2 2 1 1 x xxa x f 1 3 4 a 0 a 3 答案 3 16 若曲线 2 f xaxInx 存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析解析 解析 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于 y轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存 在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符 合题意 当0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时 正好有一个交点 故有0a 应填 0 山东省泰安市第一中学 6 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可 得 2 1 0 2 a x 17 2009 江苏卷 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 解析 考查利用导数判断函数的单调性 2 330333 11 1 fxxxxx 由 11 1 0 xx 得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 18 2009 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力 2 31022yxx 又点 P 在第二象限内 2x 点 P 的坐标为 2 15 19 2009 福建卷理 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取 值范围是 答案 0 解析 由题意可知 2 1 2fxax x 又因为存在垂直于y轴的切线 山东省泰安市第一中学 7 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 20 2009 陕西卷理 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的 横坐标为 n x 令lg nn ax 则 1299 aaa 的值为 答案 答案 2 1 1 1 12991299 1 11 1 1 1 1 298 991 lg lg lg2 2 399 100100 n nn x n yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析 点 1 1 在函数的图像上 1 1 为切点 的导函数为切线是 令y 0得切点的横坐标 21 2009 宁夏海南卷文 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 答案 31yx 解析 2 xx xeey 斜率 k 20 0 e 3 所以 y 1 3x 即 31yx 解答题 29 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一 点 C 建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂 对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建 在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 11 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的 山东省泰安市第一中学 8 垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若 不存在 说明理由 解法一 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当10 2x 时 y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 2 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 令 0y 得 422 188 400 xx 所以 2 160 x 即4 10 x 当04 10 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调减函数 当4 620 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所 以函数为单调增函数 所以当4 10 x 时 即当 C 点到城 A 的距离为4 10时 函数 22 49 020 400 yx xx 有最小值 解法二 1 同上 2 设 22 400mxnx 则400mn 49 y mn 所以 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当 49nm mn 即 240 160 n m 时取 下面证明函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 设 0 m1 m2 160 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 0 m1 m24 240 240 9 m1m2 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm A B C x 山东省泰安市第一中学 9 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 0 160 上为减函数 同理 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 设 160 m1 m2 400 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 1600 m1 m2 400 所以 4 12 400 400 mm 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函数 49 400 y mm 在 160 400 上为增函数 所以当 m 160 即4 10 x 时取 函数 y 有最小值 所以弧上存在一点 当4 10 x 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总 影响度最小 命题立意 本题主要考查了函数在实际问题中的应用 运用待定系数法求解函 数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 30 2009 山东卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 3 3 f xaxbxx 其中0a 1 当ba 满足什么条件时 xf取得极值 2 已知0 a 且 xf在区间 0 1 上单调递增 试用a表示出b的取值范围 解 1 由已知得 2 21fxaxbx 令0 xf 得 2 210axbx xf要取得极值 方程 2 210axbx 必须有解 所以 2 440ba 即 2 ba 此时方程 2 210axbx 的根为 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 山东省泰安市第一中学 10 所以 12 fxa xxxx 当0 a时 x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 当0 a时 x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 综上 当ba 满足 2 ba 时 xf取得极值 2 要使 xf在区间 0 1 上单调递增 需使 2 210fxaxbx 在 0 1 上恒成立 即 1 0 1 22 ax bx x 恒成立 所以 max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令 0g x 得 1 x a 或 1 x a 舍去 当1 a时 1 01 a 当 1 0 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调增函数 当 1 1 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调减函数 所以当 1 x a 时 g x取得最大 最大值为 1 ga a 所以ba 山东省泰安市第一中学 11 当01a 时 1 1 a 此时 0g x 在区间 0 1 恒成立 所以 1 22 ax g x x 在区间 0 1 上单调递增 当1x 时 g x最大 最大值为 1 1 2 a g 所以 1 2 a b 综上 当1 a时 ba 当01a 时 1 2 a b 命题立意 本题为三次函数 利用求导的方法研究函数的极值 单调性和函数 的最值 函数在区间上为单调函数 则导函数在该区间上的符号确定 从而转为不等 式恒成立 再转为函数研究最值 运用函数与方程的思想 化归思想和分类讨论的思 想解答问题 31 全国 文 21 本小题满分 12 分 设函数 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 其中常数 a 1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 w w w k s 5 u c o m 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第一问关键是通过分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函第一问关键是通过分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函 数的最值 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围 数的最值 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围 解 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf w w w k s 5 u c o m 由1 a知 当2 x时 0 x f 故 xf在区间 2 是增函数 当ax22 时 0 x f 故 xf在区间 2 2 a是减函数 当ax2 时 0 x f 故 xf在区间 2 a是增函数 综上 当1 a时 xf在区间 2 和 2 a是增函数 在区间 2 2 a是减函数 II 由 I 知 当0 x时 xf在ax2 或0 x处取得最小值 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 山东省泰安市第一中学 12 由假设知 w w w k s 5 u c o m 0 0 0 2 1 f af a 即 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 解得 1 a 6 故a的取值范围是 1 6 32 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 已知二次函数 yg x 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 yg x 在 1x 处取得极小值1 0 mm 设 g x f x x 1 若曲线 yf x 上的点P到点 0 2 Q的距离的最小值为2 求m的值 2 k kR 如何取值时 函数 yf xkx 存在零点 并求出零点 解 1 依题可设1 1 2 mxaxg 0 a 则aaxxaxg22 1 2 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设 oo P x y 则 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ w w w k s 5 u c o m mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当 2 0 2 2 0 2 x m x 时 2 PQ取得最小值 即 PQ取得最小值2 当0 m时 2 222 m 解得12 m 当0 m时 2 222 m 解得12 m 2 由 120 m yf xkxk x x 0 x 得 2 120k xxm 山东省泰安市第一中学 13 当1k 时 方程 有一解 2 m x 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当1k 时 方程 有二解 4410mk 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 若0m 1 1k m 函数 yf xkx 有两个零点 1 2 1 442 k km x 即 1 1 11 k km x 当1k 时 方程 有一解 4410mk 1 1k m 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 综上 当1k 时 函数 yf xkx 有一零点 2 m x 当 1 1k m 0m 或 1 1k m 0m 时 函数 yf xkx 有两个零点 1 1 11 k km x 当 1 1k m 时 函数 yf xkx 有一零点m k x 1 1 33 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 2 2ln 0 f xxaxa x 讨论 f x 的单调性 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨 论的思想方法和运算求解的能力 本小题满分 12 分 解 f x 的定义域是 0 2 22 22 1 axax fx xxx w w w k s 5 u c o m 设 2 2g xxax 二次方程 0g x 的判别式 2 8a 山东省泰安市第一中学 14 当 2 80a 即02 2a 时 对一切0 x 都有 0fx 此时 f x 在 0 上是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 仅对2x 有 0fx 对其余的0 x 都有 0fx 此时 f x 在 0 上也是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 方程 0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增A极大 单调递减 A 极小 单调递 增 此时 f x 在 2 8 0 2 aa 上单调递增 在 22 88 22 aaaa 是上单调递减 在 2 8 2 aa 上单调递增 34 2009 安徽卷文 本小题满分 14 分 已知函数 a 0 w w w k s 5 u c o m 讨论的单调性 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的 底数 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不 能重复 第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f x 在 2 1 e 上的值 域 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 w w w k s 5 u c o m 当 2 80a 即02 2a 时 0f x 恒成立 山东省泰安市第一中学 15 f x 在 0 及 0 上都是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 w w w k s 5 u c o m 由 2 210tat 得 2 8 4 aa t 或 2 8 4 aa t w w w k s 5 u c o m 2 8 0 4 aa x 或0 x 或 2 8 4 aa x 又由 2 20tat 得 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上 当02 2a 时 f x 在 0 0 及上都是增函数 当2 2a 时 f x 在 22 88 22 aaaa 上是减函数 w w w k s 5 u c o m 在 22 88 0 0 22 aaaa 及上都是增函数 2 当3a 时 由 1 知 f x 在 1 2上是减函数 在 2 2 e 上是增函数 又 1 0 2 23 20ffln 22 2 2 50f ee e w w w k s 5 u c o m 函数 f x 在 2 1 e 上的值域为 2 2 2 23 n2 5le e w w w k s 5 u c o m 35 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数x fxm 恒成立 求m的最大值 2 若方程 0f x 有且仅有一个实根 求a的取值范围 解 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 x fxm 即 2 39 6 0 xxm 恒成立 所以 81 12 6 0m 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 山东省泰安市第一中学 16 2 因为 当1x 时 0fx 当12x 时 0fx 当2x 时 0fx 所以 当1x 时 f x 取极大值 5 1 2 fa 当2x 时 f x 取极小值 2 2fa 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 解得 2a 或 5 2 a 36 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 设函数 x e f x x 1 求函数 f x 的单调区间 w w w k s 5 u c o m 2 若0k 求不等式 1 0fxkx f x 的解集 解 1 22 111 xxx x fxeee xxx 由 0fx 得 1x 因为 当0 x 时 0fx 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x 的单调增区间是 1 单调减区间是 0 0 1 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 当 01k 时 解集是 1 1 xx k 当 1k 时 解集是 当 1k 时 解集是 1 1 xx k w w w k s 5 u c o m 37 2009 天津卷文 本小题满分 12 分 设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当时 1 m曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率 求函数的单调区间与极值 已知函数 xf有三个互不相同的零点 0 21 x x 且 21 xx 若对任意 山东省泰安市第一中学 17 的 21 xxx 1 fxf 恒成立 求 m 的取值范围 答案 1 1 2 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析 解 当1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线 在点 11 fxfy 处的切线斜率为 1 w w w k s 5 u c o m 2 解 12 22 mxxxf 令0 xf 得到mxmx 1 1 因为mmm 11 0 所以 当 x 变化时 xfxf的变化情况如下表 x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf 极小值极大值 xf在 1 m 和 1 m内减函数 在 1 1 mm 内增函数 函数 xf在mx 1处取得极大值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数 xf在mx 1处取得极小值 1 mf 且 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解 由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程1 3 1 22 mxx 0 由两个相异的实根 21 x x 故3 21 xx 且 0 1 3 4 1 2 m 解得 2 1 2 1 mm 舍 因为1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则 而0 1 xf 不合题意 若 1 21 xx 则对任意的 21 xxx 有 0 0 21 xxxx 山东省泰安市第一中学 18 则0 3 1 21 xxxxxxf又0 1 xf 所以函数 xf在 21 xxx 的 最小值为 0 于是对任意的 21 xxx 1 fxf 恒成立的充要条件是 0 3 1 1 2 mf 解得 3 3 3 3 m w w w k s 5 u c o m 综上 m 的取值范围是 3 3 2 1 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 以及函数与 方程的根的关系解不等式等基础知识 考查综合分析问题和解决问题的能力 38 2009 湖北卷理 本小题满分 14 分 在 R 上定义运算 1 4 3 pqpcqbbc b c 为实常数 记 2 1 2fc 2 2fb R 令 2 1 fff 如果函数 f 在1 处有极什 4 3 试确定 b c 的值 求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点 记 11g xfxx 的最大值为M 若Mk 对任意的 b c 恒成立 试示k的最大值 解当1 byfx 时 函数得对称轴 x b 位于区间 1 1 之外 w w w k s 5 u c o m 此时max 1 1 Mggg b 由 2 1 1 4 1 1 0ffbf bfb m有 若 10 max 1 bgg b 则f 1 f 1 f b g 1 于是 2 111 max 1 1 1 1 222 Mff bff bff bb 若01b 则 f 1 f 1 f b max 1 gg b g 1 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mff bff bff bb 综上 对任意的 b c 都有 1 2 M 山东省泰安市第一中学 19 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M w w w k s 5 u c o m 故MK 对任意的 b c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 39 2009 四川卷文 本小题满分 12 分 已知函数 32 22f xxbxcx 的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx I 求函数 f x 的解析式 II 设函数 1 3 g xf xmx 若 g x的极值存在 求实数m的取值范围以及 函数 g x取得极值时对应的自变量x的值 解析解析 I 由已知 切点为 2 0 故有 2 0f 即430bc 又 2 34fxxbxc 由已知 2 1285fbc 得870bc 联立 解得1 1bc 所以函数的解析式为 32 22f xxxx 4 分 II 因为 32 1 22 3 g xxxxmx 令 2 1 3410 3 g xxxm 当函数有极值时 则0 方程 2 1 3410 3 xxm 有实数解 w w w k s 5 u c o m 由4 1 0m 得1m 当1m 时 0g x 有实数 2 3 x 在 2 3 x 左右两侧均有 0g x 故函数 g x无极值 当1m 时 0g x 有两个实数根 12 11 21 21 33 xmxm g x g x 情况如下表 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x 山东省泰安市第一中学 20 g x 0 0 g x 极大值 极小值 所以在 1 m时 函数 g x有极值 当 1 21 3 xm 时 g x有极大值 当 1 21 3 xm时 g x有极小值 12 分 40 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 设函数 2 1f xxaInx 有两个极值点 12 xx 且 12 xx I 求a的取值范围 并讨论 f x的单调性 II 证明 2 1 22 4 In f x 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 2 22g xxxa 其对称轴为 1 2 x 由题意知 12 xx 是方程 0g x 的 两个均大于1 的不相等的实根 其充要条件为 480 1 0 a ga 得 1 0 2 a 当 1 1 xx 时 0 fxf x 在 1 1 x 内为增函数 w w w k s 5 u c o m 当 12 xx x 时 0 fxf x 在 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0 fxf x 在 2 x 内为增函数 II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当 1 0 2 x 时 0 h xh x 在 1 0 2 单调递增 当 0 x 时 0h x h x在 0 单调递减 w w w k s 5 u c o m 山东省泰安市第一中学 21 111 2ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 1 22 4 In f xh x 41 2009 湖南卷文 本小题满分 13 分 已知函数 32 f xxbxcx 的导函数的图象关于直线 x 2 对称 求 b 的值 若 f x 在xt 处取得最小值 记此极小值为 g t 求 g t 的定义域和 值域 解 2 32fxxbxc 因为函数 fx 的图象关于直线 x 2 对称 所以 2 2 6 b 于是6 b 由 知 32 6f xxxcx 22 3123 2 12fxxxcxc 当 c 12 时 0fx 此时 f x 无极值 ii 当 c 12 时 0fx 有两个互异实根 1 x 2 x 不妨设 1 x 2 x 则 1 x 2 2 x 当 x 1 x 时 0fx f x 在区间 1 x 内为增函数 w w w k s 5 u c o m 当 1 x x 2 x时 0fx f x 在区间 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0fx f x 在区间 2 x 内为增函数 所以 f x 在 1 xx 处取极大值 在 2 xx 处取极小值 因此 当且仅当12c 时 函数 f x 在 2 xx 处存在唯一极小值 所以 2 2tx 于是 g t 的定义域为 2 由 2 3120f tttc 得 2 312ctt 于是 3232 626 2 g tf tttctttt 当2t 时 2 6126 2 0 g ttttt 所以函数 g t 山东省泰安市第一中学 22 在区间 2 内是减函数 故 g t 的值域为 8 w w w k s 5 u c o m 42 2009 福建卷理 本小题满分 14 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f 1 试用含a的代数式表示 b 并求 f x 的单调区间 2 令1a 设函数 f x 在 1212 x x xx 处取得极值 记点 M 1 x 1 f x N 2 x 2 f x P m f m 12 xmx 请仔细观察曲线 f x 在点 P 处的切线与线 段 MP 的位置变化趋势 并解释以下问题 I 若对任意的 m 1 x x2 线段 MP 与曲线 f x 均有异于 M P 的公共点 试确 定 t 的最小值 并证明你的结论 II 若存在点 Q n f n x n1 时 121a 当 x 变化时 fx与 f x 的变化情况如下表 x 1 2 a 1 2 1 a 1 fx f x 单调递增单调递减单调递增 由此得 函数 f x 的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 1 21a 此时有 0fx 恒成立 且仅在1x 处 0fx 故 山东省泰安市第一中学 23 函数 f x 的单调增区间为 R 当1a 时 1 21a 同理可得 函数 f x 的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a w w w k s 5 u c o m 综上 当1a 时 函数 f x 的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当1a 时 函数 f x 的单调增区间为 R 当1a 时 函数 f x 的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230f xxx 得 12 1 3xx 由 1 得 f x 增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x 在处 12 1 3xx 取得极值 故 M 5 1 3 N 3 9 观察 f x 的图象 有如下现象 当 m 从 1 不含 1 变化到 3 时 线段 MP 的斜率与曲线 f x 在点 P 处切线的 斜率 f x 之差 Kmp fm的值由正连续变为负 线段 MP 与曲线是否有异于 H P 的公共点与 Kmp fm的 m 正负有着密切 的关联 Kmp fm 0 对应的位置可能是临界点 故推测 满足 Kmp fm的 m 就 是所求的 t 最小值 下面给出证明并确定的 t 最小值 曲线 f x 在点 P m f m处 的切线斜率 2 23fmmm 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp fm 0 时 解得12mm 或 山东省泰安市第一中学 24 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx w w w k s 5 u c o m 令 22 454 33 mmmm g xf xx 当2m 时 2 2g xxx 在 1 2 上只有一个零点0 x 可判断 f x 函数在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 又 1 2 0gg 所以 g x在 1 2 上没有零点 即线段 MP 与曲线 f x 没有异于 M P 的公共点 当 2 3m 时 2 4 0 0 3 mm g 2 2 2 0gm 所以存在 0 2m 使得 0g 即当 2 3 m 时 MP 与曲线 f x 有异于 M P 的公共点 w w w k s 5 u c o m 综上 t 的最小值为 2 2 类似 1 于中的观察 可得 m 的取值范围为 1 3 解法二 1 同解法一 2 由1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230fxxx 得 12 1 3xx 由 1 得的 f x 单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函 数在处取得极值 故 M 5 1 3 N 3 9 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3 44 40 xxmmxmm 线段 MP 与曲线 f x有异于 M P 的公共点等价于上述方程在 1 m 上有根 即函 数 3222 3 44 4g xxxmmxmm 在 1 m 上有零点 因为函数 g x为三次函数 所以 g x至多有三个零点 两个极值点 又 1 0gg m 因此 g x在 1 m 上有零点等价于 g x在 1 m 内恰有一个极大 山东省泰安市第一中学 25 值点和一个极小值点 即 22 36 44 0 1 g xxxmmm 在内有两不相等的实数 根 等价于 2 22 22 3612440 3 1 6 44 0 36 44 0 1 mm mm mmmm m 即 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因为13m 所以 m 的取值范围为 2 3 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2 43 2009 辽宁卷文 本小题满分 12 分 设 2 1 x f xe axx 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 I 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 II 证明 当 0 f cos f sin 2 2 时 解 2 121 x fxe axxax 有条件知 1 0f 故3201aaa 2 分 于是 2 2 2 1 xx fxexxexx 故当 2 1 x 时 fx 0 当 2 1 x 时 fx 0 从而 f x 在 2 1 单调减少 在 2 1 单调增加 6 分 由 知 f x 在 0 1 单调增加 故 f x 在 0 1 的最大值为 1 fe 最小值为 0 1f 从而对任意 1 x 2 x 0 1 有 12 12f xf xe 10 分 而当 0 2 时 cos sin 0 1 山东省泰安市第一中学 26 从而 cos sin 2ff 12 分 44 2009 辽宁卷理 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 1 x 2 ax a 1 ln x 1a 1 讨论函数 f x 的单调性 2 证明 若5a 则对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 解 1 f x 的定义域为 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 2 分 i 若11a 即2a 则 2 1 x fx x 故 f x 在 0 单调增加 ii 若1 1a 而1a 故12a 则当 1 1 xa 时 0fx 当 0 1 xa 及 1 x 时 0fx 故 f x 在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 iii 若11a 即2a 同理可得 f x 在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调 增加 II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于 1 a1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 本小题主要考察函数 函数的导数和不等式等基础知识 考察综合运用数学知识 进行推理论证的能力和份额类讨论的思想 满分 14 分 I 解 2 2fxxbxc 由 f x 在1x 处有极值 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若1 1bc 则 22 21 1 0fxxxx 此时 f x 没有极值 若1 3bc 则 2 23 1 1 fxxxxx 当x变化时 f x fx的变化情况如下表 x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x A极小值12 A 极大值 4 3 A 当1x 时 f x 有极大值 4 3 故1b 3c 即为所求 证法 1 22 g xfxxbbc 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 2 1 1 12 1 2 4 4 Mggbcbcb 即2M 山东省泰安市第一中学 32 证法 2 反证法 因为 1b 所以函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 假设2M 则 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc w w w k s 5 u c o m 将上述两式相加得 4 1 2 12 4 4bcbcb 导致矛盾 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 由 1 1 4 ffb 有 2 1 1 0fbfb 若10 b 则 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 若01b 则 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综上 对任意的b c都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的最大值 1 2 M 故Mk 对任意的b c恒成立的k的最大值为 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 山东省泰安市第一中学 33 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg hbcbcbc 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 即 1 2 M 下同解法 1 50 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设1a 求函数 f x的极值 2 若 1 4 a 且当 1 4xa 时 xf 12a 恒成立 试确定a的取值范围 解 当 a 1 时 对函数 f x 求导数 得 w w w k s 5 u c o m 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论 f xfx 的变化情况 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x A 极大值 6 A 极小值 26 A 所以 f x 的极大值是 1 6f 极小值是 3 26 f 2