附录Ⅰ 平面图形的几何性质(土木).ppt

1 平面图形的几何性质 反映平面图形的形状与尺寸的几何量 如 1 在拉压中 本章介绍 平面图形几何性质的定义 计算方法和性质 2 在扭转中 附录 平面图形的几何性质 2 一 形心 1形心和静矩 3 组合图形 由几个简单图形 如矩形 圆形等 组成的平面图形 组合图形的形心 4 二 静矩 整个图形A对x轴的静矩 整个图形A对y轴的静矩 ydA 微面积dA对x轴的静矩 xdA 微面积dA对y轴的静矩 1 定义 面积矩 其值 0 单位 m3 与力矩类似 5 3 组合图形的静矩 2 静矩与形心的关系 6 4 静矩的性质 图形对形心轴的静矩为零 形心轴 通过图形形心的坐标轴 反之 图形对某轴的静矩为零 则该轴必为形心轴 性质1 7 例 求图示截面的Sy Sx 及形心位置 8 解 将原截面化分为I II两部分 9 10 例 确定形心坐标 解 取参考坐标系xy 11 2惯性矩和惯性半径 一 惯性矩 二 惯性积 三 惯性半径 12 一 惯性矩 整个图形A对x轴的惯性矩 整个图形A对y轴的惯性矩 y2dA 微面积dA对x轴的惯性矩 x2dA 微面积dA对y轴的惯性矩 1 定义 其值 单位 m4 2惯性矩和惯性半径 13 2 惯性矩与极惯性矩的关系 即 平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质2 若x y轴为一对正交坐标轴 14 1 圆形截面 由对称性 2 环形截面 常用图形的惯性矩 15 3 矩形截面 16 图形对x轴的惯性半径 单位 m 二 惯性半径 在力学计算中 有时把惯性矩写成 即 图形对y轴的惯性半径 17 整个图形A对x轴和y轴的惯性积 1 定义 xydA 微面积dA对x轴和y轴的惯性积 的坐标轴 其值 0 单位 m4 假设 x轴和y轴为一对相互垂直 3惯性积 18 当x y轴中有一轴为对称轴 在一对正交轴中 只要有一个对称轴 则该图形 对这对轴的惯性积为零 性质3 2 惯性积的性质 19 惯性矩 对某一轴而言 极惯性矩 对某一点而言 特别指出 惯性积 对某一对正交轴而言 极惯性矩 惯性矩和惯性积量纲均为 长度 4 常用单位为m4或 mm 4 20 主惯性轴 惯性积为零的一对坐标轴 简称主轴 主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴 通过图形形心的主惯性轴 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 若O点为截面形心 总可找到x y 为形心主轴 则Ix Iy 为形心主惯性矩 以矩形图形为例 21 性质5 主惯性矩为极值惯性矩 其中一个为极大惯性 矩Imax 另一个为极小惯性矩Imin 性质4 图形的对称轴是 形心主惯性轴 22 4平行移轴公式 一 定理推导 二 应用 23 即 4平行移轴公式 24 显然 性质6 在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中 以对形心轴的惯性矩为最小 同理 惯性矩和惯性积的平行轴定理 25 解 例 求和 26 例 求图示工字形截面对x y轴的惯性矩Ix Iy 27 解1 将截面分成上翼缘 下翼缘和腹板三部分 28 I 29 30 将截面看成宽为B 高为H的矩形截面 减去阴影部分面积 解2 31 32 一 公式推导 规定 角逆时针转向为 两组坐标系之间的关系 代入 5转轴公式主惯性轴 33 显然 34 性质 平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数 且等于图形对该点的极惯 性矩 35 二 主惯性矩 1 定义 主惯性轴 惯性积为零的一对坐标轴 简称主轴 主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴 通过图形形心的主惯性轴 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 性质 图形的对称轴是形心主惯性轴 36 2 主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为 0 对应的坐标轴为x0 y0 令 得到 37 3 主惯性矩 因 故 有 38 4 主惯性矩的性质 当Ix1取极值时 对应的方位为 1 得到 即 性质7 主惯性矩为极值惯性矩 其中一个为极大惯性 矩Imax 另一个为极小惯性矩Imin 令 39 解 例2求图示图形的形心主惯性矩 1 确定形心位置 40 2 求 和 41 2 求 和 42 2 求 和 43 3 确定形心主惯性轴方位 即 或 44 4 求形心主惯性矩 注意 因为 故 0对应于主惯性矩较大值 45 1 主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为 0 对应的坐标轴为x0 y0 2 主惯性矩 性质6 主惯性矩为极值惯性矩 其中一