[理学]22 函数的极限.ppt

1 小结思考题作业 函数极限的性质 函数在无穷远点的极限 函数在一点的极限 2 2函数的极限 第2章极限与连续 2 用数学语言刻划 问题 表示 表示 无限增大 1 定义 定义2 2 记作 或 无限接近 若 恒有 2 2函数的极限 一 函数在无穷远点 infinitepoint 的极限 3 2 另两种情形 定义2 2 记作 或 若 恒有 2 2函数的极限 4 解 显然有 可见 和 虽然都存在 但它们不相等 例 讨论极限 是否存在 2 2函数的极限 定理2 5 5 如果在x的某种趋向下 f x 并不无限接近 一个常数 则称 在x的该种趋向下 例 当 x 无限增大时 都不无限接近一个常数 因此 都不存在 不存在 2 2函数的极限 6 函数y f x 图形 完全落在 2 2函数的极限 7 例 证 要使 成立 只要 有 解不等式 图形的 水平渐近线 horizontalasymptote 则直线 是函数y f x 2 2函数的极限 8 练习 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 2 2函数的极限 9 用数学语言刻划 问题 无限接近 于确定值A 二 函数在一点 one point 的极限 函数f x 2 2函数的极限 10 1 定义 定义2 3 邻域内有定义 记作 或 恒有 设函数f x 在点x0某去心 使当 2 2函数的极限 2 2函数的极限 11 1 定义中的 所以 f x 有没有极限与f x 在点x0是 否有定义并无关系 2 定义中标志x接近x0的程度 也将越小 3 不要求最大的 表示 它与 一般地说 越小 只要求存在即可 有关 12 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的x 对应的函数图形位于这一带形区域内 作出带形区域 2 2函数的极限 13 一般说来 应从不等式 出发 推导出应小于怎样的正数 这个正数就是要找的与相对应的 这个推导常常是困难的 但是 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些 的式子 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕 可把 2 2函数的极限 14 证 例 证 任 练习 2 2函数的极限 15 例 证 函数在点 处没有定义 要使 2 2函数的极限 16 例 证 min 可用 保证 2 2函数的极限 17 练习 1 证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式 2 2函数的极限 18 2 证明 证 可取 有 同样有 自己证 2 2函数的极限 19 可以证明下列重要结论 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数及 反三角函数等基本初等函数 每点处的极限都存在 在其定义域内的 并且等于函数在该点处 的值 2 2函数的极限 20 3 左 右极限 单侧极限 例如 两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近x0 x从右侧无限趋近x0 2 2函数的极限 2 2函数的极限 21 左极限 右极限 或 使得 时 或 或 或 22 且 性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限 2 2函数的极限 定理2 6 23 试证函数 证 左 右极限不相等 故 例 2 2函数的极限 24 左 右极限存在 证 故极限不存在 例 但不相等 讨论 的存在性 2 2函数的极限 25 函数极限与数列极限相比 有类似的性质 定理2 7 极限的唯一性 f x 有极限 若在自变量的某种 变化趋势下 则极限值必唯一 定理2 8 局部有界性 f x 有 则f x 在 f x 有极限 且证明方法也类似 三 函数极限的性质 函数f x 上有界 极限 有界 2 2函数的极限 26 证 设 取 有 证毕 2 2函数的极限 27 定理2 9 证 对 从而 有 2 2函数的极限 总之 28 定理2 10 函数极限的局部保号性 2 2函数的极限 推论2 2 29 证 假设上述论断不成立 那末定理3就有 在该邻域内 这与 所以 类似可证的情形 假设矛盾 若定理3推论中的条件改为 是否必有 不能 如 思考 2 2函数的极限 推论2 2 30 定理2 11 函数极限与数列极限的关系 极限 存在的充要条件为对于f x 定义域内任一收敛于x0的数列 xn 相应的函数值数列 f xn 均收敛 且满足 证 设 则 有 故对 有 有 要证 即 2 2函数的极限 归并原理 也称海涅 Heine 定理 31 则存在 或 定理4 函数极限与数列极限的关系 极限 存在的充要条件为对于f x 定义域内任一收敛于x0的数列 xn 相应的函数值数列 f xn 均收敛 且满足 2 2函数的极限 归并原理 也称海涅 Heine 定理 证 满足定理中条件的函数值数列 f xn 极限均相等 使得对于任给 数列 xn 满足 某个 但 f xn 不趋向于A 矛盾 32 由定理4 函数极限与数列极限的关系 可把 函数极限的许多性质转化为数列极限去讨论 它还可证明函数f x 极限不存在 用 只要找出两个 数列 但 却收敛于不同的极限 或者找出 一个数列所对应的函数值数列发散即可 2 2函数的极限 33 例 证 取 而 两者不相等 2 2函数的极限 34 以上定理也适用于其它极限过程 等 包括单侧极限 其结论只 需根椐其极限过程 的自变量范围 改动使不等式成立 和 2 2函数的极限 35 1 函数极限的 或 定义 2 函数极限的性质 局部保号性 四 小结 唯一性 局部有界性 函数极限与数列极限的关系 3 函数的左右极限判定极限的存在性 2 2函数的极限 36 思考题 A 先给定后唯一确定 极限定义中与的关系是 C 先确定后给定 D 与无关 B 1 B 先确定后确定 但的值不唯一 2 2函数的极限 37 B