[理学]概率论与数理统计 习题.ppt

概率论与数理统计典型习题讲解 中国人民大学统计学院李因果liyinguoruc 第一章随机事件与概率 1 2随机事件的概率 1 3古典概型与几何概型 一 古典概型 1 4条件概率 例2一盒中混有100只新 旧乒乓球 各有红 白两色 分类如下表 从盒中随机取出一球 若取得的是一只红球 试求该红球是新球的概率 设A 从盒中随机取到一只红球 B 从盒中随机取到一只新球 A B 例3盒中有3个红球 2个白球 每次从盒中任取一只 观察其颜色后放回 并再放入一只与所取之球颜色相同的球 若从盒中连续取球4次 试求第1 2次取得白球 第3 4次取得红球的概率 解 设Ai为第i次取球时取到白球 则 例4 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B 例6商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 解 设A 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 B0 B1 B2分别表示事件每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 由Bayes公式 二 有限个事件的独立性 第二章随机变量的分布与数字特征 2 1随机变量及其分布 一 随机变量的概念 由第一章可知 随机试验具有 1 结果的不确定性 2 结果往往表现为数量形式 或可以 数量化 分布函数的性质 1 单调不减性 若x1 x2 则F x1 F x2 2 归一性 对任意实数x 0 F x 1 且 3 右连续性 对任意实数x 反之 具有上述三个性质的实函数 必是某个随机变量的分布函数 故该三个性质是分布函数的充分必要性质 一般地 对离散型随机变量X P X xk pk k 1 2 其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数是阶梯函数 则该随机变量必为离散型 X P 四 离散型随机变量的分布函数 五 连续型随机变量及其概率密度 1 均匀分布若X f x 则称X在 a b 内服从均匀分布 记作X U a b 对任意实数c d a c d b 都有 2 指数分布若X 则称X服从参数为 0的指数分布 其分布函数为 例 电子元件的寿命X 年 服从参数为0 5的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两年的概率为多少 解 2 2随机变量的数字特征一 离散型随机变量的数字特征 二 连续型随机变量的数学期望 连续型随机变量函数的密度函数 1 一般方法若X f x x Y g X 为随机变量X的函数 则可先求Y的分布函数FY y P Y y P g X y 然后再求Y的密度函数 此法也叫 分布函数法 2 公式法一般地若X fX x y g x 是单调可导函数 则 注 1只有当g x 是x的单调可导函数时 才可用以上公式推求Y的密度函数 2注意定义域的选择 其中h y 为y g x 的反函数 例设X U 0 1 求Y ax b的概率密度 a 0 解 Y ax b关于x严单 反函数为 故 而 故 设随机变量X服从 0 2 均匀分布 求Y sin X 的概率密度 注3若X fX x y g x 关于X分段严格单调 且在第i个单调区间上 反函数为hi y 则Y g X 的概率密度为 EX 四 数学期望的性质 方差与标准差的定义 方差的算术平方根称为标准差 方差的计算式 D X E X2 E X 2 说明 1 切贝谢夫不等式成立的条件是 存在 2 切贝谢夫不等式给出了随机变量的离差的绝对值与其方差DX的关系 方差DX越小 随机变量X与其期望EX的 离差也越小 EX的代表性强 2 3常用的离散型分布 四 二项分布 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p不为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p 达到最大值 x 表示不超过x的最大整数 二项分布 请看演示 2 4常见的连续型分布 一 均匀分布 二 指数分布 指数分布常用于描述各种 寿命 三 正态分布 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 2 5随机变量的函数的分布 例如 已知离散型随机变量X的概率分布为 X P 0 10 30 40 2 Y 2X 3 5 3 11 P 0 10 30 40 2 014 P0 30 50 2 例1 例1 例1 例1 例1 例2 例2 例2 例2 例3 例3 例3 例4 例5 2010数学一 三 例6 2010数学一 三 例7 2010数学一 三 例8 2010数学一 三 例8 2010数学一 三 例8 2010数学一 三 例9 2009数学一 三 例10 2009数学一 三 例11 2009数学一 三 例11 2009数学一 三 例12 2009数学一 三 例12 2009数学一 三 例13 2009数学一 三 例13 2009数学一