第十五讲奇数和偶数.doc

第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即1，3，5，是奇数，0，2，4，6，是偶数 用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数奇数和偶数有以下基本性质：性质1 奇数偶数性质2 奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数性质3 奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶性质8的证明 设两个整数为X，y因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数于是，x2除以8余1若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数例1 在1，2，3，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+1998=9991999的奇偶性是相同的，即为奇数例2 设1，2，3，9的任一排列为a1，a2，a9.求证：(a1-1)(a2-2)(a9-9)是一个偶数证法1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+(a9-9)(a1+a2+a9)-(1+2+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)(a9-9)是偶数证法2 由于1，2，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)(a9-9)是偶数例3 有n个数x1，x2，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1如果x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数证 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数由于x1，x2，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k下面我们来考虑(x1x2)(x2x3)(xnx1)一方面，有(x1x2)(x2x3)(xnx1)(-1)k，另一方面，有(x1x2)(x2x3)(xnx1)=(x1x2xn)2=1所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数例4 设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789求证：a-b是4的倍数证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，ab是4的倍数，2468=4617也是4的倍数，所以11111(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数.例5 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数证 我们证明每一个学生的得分都是偶数设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数例6 证明15块41的矩形骨牌和1块22的正方形骨牌不能盖住88的正方形.证 将88正方形的小方格用黑、白色涂色(如图162)每一块41骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块41的骨牌能盖住偶数个白格一块22的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格于是15块41骨牌和一块22骨牌在图上盖住的白格是奇数个事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住88的正方形练习十五1设有101个自然数，记为a1，a2，a101已知a1+2a2+3a3+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+a9+a101是偶数2设x1，x2，x1998都是+1或者-1求证：x1+2x2+3x3+1998x199803设x1，x2，xn(n4)为1或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+xnx1x2x3=0求证：n是4的倍数4(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于999(共n个9，n是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除5(1)有n个整数，其和为零，其积为n求证：n是4的倍数；(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零67个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转