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第四章杆件的横截面应力 4 1平面图形的几何性质 杆件承载能力除与其材料性能 加载方式和尺寸有关外 还与杆件截面的几何形状有关 一 静矩和形心微面积dA乘以坐标z称为dA对y轴的静矩 同样 dA对z轴的静矩为 平面图形A对两坐标轴的静矩为 静矩是可加的 即 利用计算均质板形心的公式 可知计算几何图形形心的公式 C点是平面图形A的形心的充分必要条件 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零 SzC 0 SyC 0 根据静矩定义和静矩的可加性 为了简化复杂图形的形心计算 可以将复杂图形A分为Ai i 1 2 n 则 这种方法称为组合法 例1 求抛物线z hy2 b2下方面积的形心 解 例2 求图示面积的形心 解 二 惯性矩 惯性积和惯性半径 微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩同样 dA对z轴的惯性矩为dA对O点的极惯性矩为平面图形A对两坐标轴的惯性矩和对O点的极惯性矩分别为 惯性半径定义为 微面积元dA乘以yz称dA对yOz轴系的惯性积 平面图形A对坐标轴系的惯性积为惯性积反映平面图形对坐标轴系的对称性 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似 例4 3求矩形对边轴和形心轴的惯性矩 解 例5 求圆对形心轴的惯性矩 解 三 平行移轴公式 研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩 惯性积之间的关系 首先根据坐标平移公式 取O1点为平面图形的形心 且SyC SzC 0 可得对于惯性积 用同样结果可以得到 针对形心轴系的平行移轴公式 以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似 例 求图形对形心轴和y z轴的惯性矩 解 四 转轴公式 研究将坐标系逆时针旋转 角时 平面图形A的惯性矩和惯性积在新 老轴系之间的变化规律 坐标旋转公式 转轴公式的推导 平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩 平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩 平面图形A对新轴系的惯性积 经整理后 由前面的推导 可以得到 平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大 最小值极值条件 惯性主方向 惯性主轴 平面图形A对过O点沿惯性主方向的轴称惯性主轴 对称轴是惯性主轴 和主轴垂直的轴也是惯性主轴 主惯性矩 是平面图形A对过O点惯性主轴的惯性矩 也是平面图形A对过O点各轴惯性矩的极大 极小值 过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴 形心主惯性轴 过图形上的任何一个点 都可以找到一对相互垂直的惯性主轴 4 2应力与应变的概念 一 应力即 单位截面积上作用着的内力平均应力一点应力应力的
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