高考数学 易错点点睛与高考突破 专题04 数列.doc

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题04 数列2已知数列an满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) a20052003 b20062005 c20062 d20062007【解析】 由递推公式an+1，=an+2n，可变形为an+1-an=2n.且a1=0采用叠加法即可求出an的通项公式【答案】 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(n1)，a3-a2=4，a2-a1=2，由叠加法可得an=n(n-1)，故a2006=20062005故选b3已知数列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，()求a3，a5；()求an的通项公式难点2 等差数列与等比数列 1已知数列an是递减等差数列，前三项之和为6，前三项之积为24，则该数列的通项公式是 ( )a-4n+4 b-4n+10c. -4n2 d-4n-42数列an的前n项和为sn，sn=2an-3n(nn*)(1)若数列an+c引成等比数列，求常数c的值； (2)求数列an的通项公式an； (3)数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；不存在，请说明理由【解析】 (1)利用an=sn-sn-1推出；(2)问运用叠代法求出通项；(3)问假设存在，再证明之【答案】 (1)由sn=2an-3n及sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，=2，3已知数列an中，sn是其前n项和，并且sn+1=4an+2 (n=1，2，)，a1=1， (1)设数列bn=an+1-2an(n=1，2，)，求证：数列bn是等比数列； (2)设数列cn=(n=1，2，)，求证；数列cn是等差数列； (3)求数列an的通项公式及前n项和难点3 数列的通项与前n项和 1已知数列an的首项为a1=1，前n项和为sn，并且对于任意的n2，3sn-4、an、2-总成等差数列 (1)求an的通项公式；(2)记数列sn的前n项和为tn求tn2设不等式组，所表示的平面区域为dn,记dn内的整点个数为an(nn*)，(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1)求数列an的通项公式； (2)记数列an的前n项和为sn,且tn=，若对于一切的正整数n，总有tnm，求实数m的取值范围3对数列an规定an为数列an的一阶差分数列，其中an=an+1-an(nn*)，对正整数k，规定kan为an的k阶差分数列，其中kan=k-1an+1-k-1an=(k-1an) (1)已知数列an通项公式an=n2+n(nn*)，试判断an是否为等差或等比数列，为什么?(2)若数列an首项a1=1，且满足2an-an+1+an=-2n(nn*)，求数列an的通项公式；(3)对(2)中数列an,是否存在等差数列bn,使得b1c1n+b2c2n+bncnn=an对一切正整数nn*都成立?若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由难点4 递推数列与不等式的证明 1设数列an满足a1=2，an+1=an+(n=1，2，) (1)证明an对一切正整数n成立； ()令bn=(n=1，2，)，判定bn与bn+1的大小，并说明理由2已知数列an满足递推关系：an+1=（nn*)，又a1=1 (1)在=1时，求数列an的通项an; (2)问在什么范围内取值时，能使数列an满足不等式an+1an恒成立? (3)在-3b0)，点p1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求sn的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线c及c上一点p1,对于给定的自然数n，写出符合条件的点p1，p2，pn存在的充要条件，并说明理由得得p3的坐标可以为 (2)解法一：原点o到二次曲线上各点的最小距离为b，最大距离为a.a1= |op1|2=a2,d0，sn=na2+在上递增，故sn的最小值为na2+.2已知点集l=(x，y)|y=mn，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+1)，点列p(an，bn)在l中，p1为l与y轴的交点，等差数列an的公差为1，nn*(1)求数列an，bn的通项公式； (2)若cn=(n2)，求(c1+c2+cn)；(3)若f(n)=(kn*)，是否存在kn*使得f(k+11)=2f(k)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 【解析】 (1)利用向量的坐标表示求出an,bn (2)利用裂项法求出cn的n项和(3)假设存在推出与条件是否相符 【答案】 (1)由，得y=2x+1l：y=2x+1，p1(0，1)，则a1=0，b1=1，an=n-1 (nn*)，bn=2n-1(nn*)难点6 数列的实际应用 1某城市2006年底粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5，并且每年新增粮食储备量为6万吨记2006年底的粮食储备量为a1万吨，以后每年底的粮食储备量依次为a2万吨、a3万吨、an万吨、(nn*) (1)求a2、a3； (2)受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过120万吨，试问2013年粮食储备量是否超过120万吨? (3)试求数列an的通项公式2陈老师购买安居工程集资92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款 (注)每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次， 10年后付清，如果按年利率75，每年按复利计算 (注)，那么每年应付款多少年?(计算结果精确到百元)(注) 注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计人次年的本金生息必要时参考下列数据：10759=1921，1.07510= 2065,1.07511=2001难点7 数列与图形 1把正奇数数列2n-1中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 设a(ijn*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数 (1)若amn=2005，求m、n的值； (2)已知函数f(x)的反函数为f-1(x)=8nx3(x0)，若记三角形数表中从上往下数第几行各数的和为bn，求数列f(bn)的前n项和sn.故两式相减，得2一粒子在区域(x，y)|x0，y0内运动，在第一秒内它从原点运动到点b，(0，1)，接着按图中箭头所示方向在x轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度 (1)设粒子从原点到达点an、bn、cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出an、bn、cn的通项公式；(2)求粒子从原点运动到点p(16，44)时所需的时间；(3)粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标3.已知数列an满足a1=1，an=3n-1+an-1(n2)(1)求a2，a3；(2)求通项an的表达式3设无穷等差数列an的前n项和为sn. ()若首项a1=，公差d=1，求满足sk2=(sk)2的正整数k; ()求所有的无穷等差数列an；使得对于一切正整数中k都有sk2=(sk)2成立4.已知数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),nn.(1)证明anan+12,nn.(2)求数列an的通项公式an.【特别提醒】1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.【变式探究】1 数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为sn,且a10=1,()求an的通项公式；2在数列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为q，|q|1,这个等比数列的所有项之和等于.(1)求数列an的通项公式;当所以p2，p3，pn都在过点p1(1,a)且斜率为常数的直线l1上.(2)过点q1(1,a1),q2(2,a2)作直线l1、l2,设l1与l2的夹角为，求证：tan答案：直线l2的方程为y-a1=d(x-),直线l2的斜率为d.2.已知数列an的前n项和为sn,sn=(an-1)(nn*).() 求a1,a2;()求证数列an是等比数列.【错误答案】 ()s1=(a1-1),得a1=-,s2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=sn-sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首项为-，公比为-的等比数3.等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 ( )a. 或4 b. 或 c. 4或- d. 4或或或4.设数列an的首项a1=a,且an+1=()求a2,a3;()判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论; ()求(b1+b2+b3+bn)= 【特别提醒】1.证明等比数列时应运用定义证为非0常数,而不能(此时n2).2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q2.3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则aman=apak”.【变式探究】1.已知数列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nn*),数列bn对任何 nn*都有bn=an+1- an.(1)求证bn为等比数列;3.已知数列an的首项为a1=2,前n项和为sn,且对任意的正整数n,an都是3sn-4与2-sn-1的等差中项(n2).(1)求证:数列an是等比数列,并求通项an;答案：当n2时，2an=3sn-4+2an=sn-sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1为等比数列,bn-a-b为等差数列.2.已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列.() 证明12s3,s6,s12-s6成等比数列; ()求和tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.所以tn=(-)na.3.如图，obc的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设p1为线段bc的中点，p2为线段co的中点，p3为线段op1的中点，对于每一个正整数n,pn+3为线段pnpn+1的中点，令pn的坐标为（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2. ()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比为- 的等比数列.4.在等差数列an中,公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,akn,成【特别提醒】1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.【变式探究】1已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n项之和为sn，则满足不等式|sn-n-6|的最小整数n是 （ ）a5 b.6 c.7 d.8答案： c设2 已知等差数列an的首项为a,公差为b;等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,bn+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：答案：解设f(x)=a(x-2)2 过点(1,1),f(x)=(x-2)2222224 知定义在r上的函数f(x)和数列an满足下列条件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)其中a为常数，k为非零常数.5设实数a0，数列an是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|(nn*),sn=b1+b2+bn,求证:当a-1时，对任意自然数n都有sn=1+(-1)n+1(1+n+na)an答案：解:as=a+得a-1,(1+a)s=易错点5 数列与解析几何、函数、不等式的综合1（典型例题）已知定义在r上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a为常数，k为非零常数.()令bn=aa+1-an(nn*),证明数列bn是等比数列；()求数列an的通项公式；()当|k|1时，求=a+2.如图，直线l1:y=kx+1-k(k0，k)与l2相交于点p.直线l1与x轴交于点p1,过点p1作x轴的垂线交于直线l2于点q1,过点q1作y轴的垂线交直线l1于点p2，过点p2作x轴的垂线交直线l2于点q2，这样一直作下去，可得到一系列点p1，q1，p2，q2，点pn(n=1,2,)的横坐标构成数列xn.而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nn*.【易错点点睛】运用叠代法时并不能化简成.【正确解答】()证明：当x0时,f(x)=1+1.因为a1=1,所以an1(nn*).下面用数学归纳法证明不等式bn.【特别提醒】函数、数列、解析几何三者的综合，展示了知识的交汇性，方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系，即数列是一种特殊函数，以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不等式的综合更显出问题的综合性.【变式探究】1 设函数y=f(x)图像上两点p1（x1,y1）,p2(x2,y2),若，且点p的横坐标为.（1）求证：p点的纵坐标为定值，并求出这个值；答案：（2）若sn=f()+f()+f()+f(1),nn*，求sn;答案：由(1)知而sn两式相加，得所以sn(3)记tn为数列的前n项和，若tna(sn+2+)对一切nn*都成立，试求a的取值范围.由得：k=b=1 c:x-y-1=0.（2）求数列an的通项公式；（）an1+答案：（）5.f(x)=ln(2-x)+ax在开区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围答案： f(x)=-由于f(x)在(0,1)内是增函数若数列|an|满足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nn+),证明0anan+10且ak+1=ln(2-ak)+ak1(由(1)知f(x)=ln(2-x)+x在(0,1)上是增函数)n=k+1时命题成立，故0an0, 0anan+11若数列|b1|满足b1(0,1),bn+1=2 ln(2-bn)+bn(nn+),问数列|bn|是否单调？答案：数列bn不具有单调性令6在直角坐标平面上有一点列p1（x1,y1）,p2(x2,y2)pn(xn,yn)对一切正整数n，点pn位于函数y=2x+的图象上，且pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等数列|xn|，求点pn的坐标；答案：（2）设抛物线列c1 ,c2 ,c3,，cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为pn,且过点dn(0,n2+1),记与抛物线cn相切于dn的直线的斜率为kn求：答案：cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为pn. cn设的方程为：（3）设s=x|x=2xnnn+,n1，t=y|y=4yn,n1，等差数列an的任一项anst,其中a1是st中最大数，-265a100不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c，()求xn+1与xn的关系式；()猜测：当且仅当x1,a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)()设a=2，c=1，为保证对任意x1(0，2)，都有xn0，nn+，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论【错误答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分别为繁殖量、捕捞量，死亡量)5假设某市：2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85?万平方米设新建住房面积形成数列bn，由题意可知 bn是等比数列，其中b1=400，q=108，则bn=400(108)n-1085由题意可知an085bn，有250+ (n-1)50400(108)n-1085由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85【变式探究】 1. 将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 1l 12 13 14 15 16其中排在第i行第j列的数若记为aji，则数表中的2005应记为_.答案： 解析：略.2.用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了_块砖答案：1022 解析：由题意知第九层为3. 已知一列非零向量an满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2) (1)证明：|an|是等比数列； 答案：4.在一次人才招聘会上，有a,b两家公司分别开出他们的工资标准：a公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元：b公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5。设某人年初被a，b两家公司同时录取，试问：若该人分别在a公司或b公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少? 5.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4又被沙化(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1=,经过n年绿化总面积为an+1.求证an+1=1 已知公比为q的等比数列an，若bn=an+2an+2，nn*，则数列bn是 ( ) a.公比为q的等比数列 b公比为q2的等比数列 c.公差为q的等差数列 d公差为q2的等差数列 答案： a 解析：由bn=an+2an+2=a1qn-1+2a1qn+1=a1(1+2q2)qn-1,b