拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用 - 中山大学精品课程.doc

拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用张斯特物理科学与工程技术学院光信息专业 指导教师: 方奕忠摘要：Laplace方程在简单静电场问题中的应用一文主要阐述了Laplace方程这一经典方程在求解经电场问题中的使用方法。首先简单介绍了Laplace使用方程的原理和适用的范畴，接下来给出较为常用的坐标系内Laplace方程的解的形式，最后介绍典型的应用举例，这也是本文较为重点的部分，分别从几个例子中由简单到复杂的介绍了Laplace方程在求解过程中的使用方法、边值关系的确定以及求得解所反映的部分物理意义。关键词：Laplace方程 球对称解 轴对称解 边值关系 物理意义一、Laplace方程的使用原理和适用范围众所周知，电磁场的一般特性都是可以由maxwell方程反映出来，如下所示：D=fE=BtB=0H=Jf+Dt (1)而在本文所要讲述的静电场问题之中，我们紧紧需要方程组（1）之中的前两式即可。对于静止的情况而言，电场和磁场无关，此时有Bt=0所以上述用来描述电场特性的方程可以写成：D= (2)E=0 (3)其中，（2）式中的代表的含义是空间中自由电荷的分布，为了表示方便省去了下标。而从式（3）看来，静电场是一个无旋场，所以其特性可以引入一个标势来表示，这类似于在保守力场中引入的势函数。类似重力场中的势能函数一样，单独一点上的电势的绝对大小是没有意义的，只有两点之间的电势差才是有意义的。在电场中电势差的定义方法是：把单位正电荷由一点移动到另一点电厂对其所做的功。当电场做正功时电势下降（具体的定义方式可以参考电动力学第二章，高等教育出版社）。进而可以得出电场和电势之间的关系：E=- (4)这样一来，只要知道了用来描述电场的势函数即可通过它求解出该电场的E分布（不过反过来，当空间电场分布E确定之后，与之对应的势函数却可能不只一个；这是由于电势铃点选取不同造成的，这一点不同只是反映在不同的电势1和2之间可能会相差一个常数uc，但是这并不影响它所描述的电场E的性质）。对于均匀的各项同性介质，D、E之间有如下关系：D=E (5)现在只需要结合式（2）、（4）和式（5）就可以得出如下方程：2=- (6)式（6）是静电场电势满足的基本微分方程，成为Poisson方程。当给出必要的边界条件之后，相应的电势即可确定，当然可以进而得出电场E的空间分布，该静电场的一切特性都可随之解出。而对于更加特殊的情况，即需要求解的区域内部没有电荷分布，即=0的时候，Poisson方程化为更简单的形式：2=0 (7)这就是本文主要阐述的Laplace方程的形式。这虽然是一种特殊的Poisson方程，但是可以适用的范围还是有很多的，比如说在很多情况下，导体上面所代电荷只是分布在其表面，此时就可以选择导体的内部作为求解区域，这是一种完全满足Laplace方程形式的情况。处此之外，还可以对一些空间电荷分布较为简单的情况进行求解。因为对于方程（6）而言，它的解实际上可以写成两部分之和，即：=s+n (8)其中，n对应laplace方程2=0的通解；s对应Poisson方程2=-的特解。而当电荷分布较为简单，比如仅是在一个介质球的中心放置一个点电荷时，这一个特解的形式是很容易根据物理特性写出来的。所以在一定的应用范围之内Laplace方程对于求解静电场问题还是有一定作用的。二、 Laplace方程的一般形式及其一般解如上文所述，Laplace方程的形式如式（7）所示。对于不同的坐标系，Laplace方程的解也会有所不同，但是都可以通过分离变量的方式求出来。在此直接给出Laplace方程在较为常用的球坐标系(R，)中的通解形式（具体的求解过程可以参考）：R，=n,manmRn+bnmRn+1Pnmcoscosm +n,mcnmRn+dnmRn+1Pnmcossinm (9)上式中，anm，bnm，cnm和dnm是任意常数，将在具体问题的求解中确定。Pnmcos是缔合Legendre函数。对于式（9）所示的Laplace方程一般解，如果所选问题具有轴对称性，我们不妨选取球坐标系的极轴为对称轴，则此时的解应该和方位角是无关的，解的形式得到简化，如下所示：R，=nanRn+bnRn+1Pncos (10)其中，an，bn为任意常数，视具体问题而定。Pncos是Legendre函数。进一步考虑更为特殊的球对称情况，此时Laplace方程的解将是仅仅与R有关的函数，其形式如下：R=a+bR (11)其中a和b是任意常数，视具体问题而定。 以上已经给出了三种情况下，在球坐标系中Laplace方程的解，接下来需要做的就是对应实际问题找到恰当的方程的解的形式来标示相应的电势，并利用边界条件确定之。下面将举例说明。三、 Laplace方程的应用举例本文的重点在于应用举例，即在于习题的解法说明。故本文中的数学过程可能并不够严密，很多时候的做法可能会从实际的物理意义出发，先在此说明。先从最为简单的情况入手，考虑如下情况：A. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为，球外为真空，如何求解空间电势分布呢？Qf首先想象一下上述问题的物理图象，因为介质球本身为球对称空间，而置入的电荷又处于介质球的中心，所以可以推断全空间之内的电势分布也是球对称的，直接选曲介质球的球心作为坐标空间的原点即可。电势函数满足Poisson方程：2=-图1这是对于整个空间之内而言，如果我们把整个空间划分为球内部和外部两个部分呢？不妨设球外空间的电势函数为1，球内部分的电势函数设为2。这样一来，对于1而言，所对应的区域之内并没有自由电荷的分布，所以1实际上是满足Laplace方程的，即：22=0对于完全的球对称情形而言，其合适的解可以写成：2=a+bRRR0 (A-1)其中R0表示介质球的半径，a和b是任意常数。而对于球内的部分，由于包含了自由电荷，所以其形式并不能化为较为简单的Laplace方程。但是却可以很容易的找到一个满足式21=-的特解，这个解就是单一点电荷在其周围激发电场的势函数：1s=Qf4RRR0 (A-2)而满足它的通解就是满足方程21=0的通解，即：1n=c+dRRR0 (A-3)所以球内部的电势可以写成如下形式：1=1s+1n=Qf4R+c+dRRR0 (A-5)对于1=1s+1n，它有两部分组成。1s所表示的是置于中心的点电荷电势，1n表示的是介质球面上产生的极化电荷的电势。现在考虑球心一点的电势。由于点电荷的存在，球心处的电势应为无穷大。但是对于位于介质球上的感应电荷在此处产生的电势1n而言，必为以有限值，这要求：1nR=0=c+dR=有限值这样便有d=0的结论，于是式（A-4）可以写成：1=Qf4R+cRR0 (A-6)现在在表示空间电势的两个式子中仅仅包含两个尚未确定的常数b和c。接下来利用电势的边值关系确定之：1R=R0=2R=R0 (A-7)-02RR=R0-1RR=R0=0 (A-8)其中式（A-8）的值为零是因为在两种绝缘介质的交接面上是没有自由电荷分布的。接下来就可以把式（A-5）和（A-6）分别代入到上面的边界条件表达式之中。可以得到：Qf4R0+c=bR00bR02=Qf4R02由以上二式联立即可解出：b=Qf40c=-0Qf40R0再将其代回至式（A-5）和（A-6），即可得到空间内的电势分布：1=Qf4R+-0Qf40R0RR0 (A-10)既然已经得出空间中的电势分布，电场分布则可以通过E=-来求解（对于完全的球对称问题，算符的作用可以化简为=ReR）:E1=Qf4R3RRR0 (A-12)观察上述的结果，可以看出当在介质中置入点电荷之后，介质内会出现相应的极化电荷，但是这一部分的极化电荷仅仅会对介质球内部的电势分布产生影响；对介质球外的电势以及整个空间之内的电场分布都没有影响。再考虑一下空间中极化电荷的分布情况：既然电场分布E现在已知，则可以根据在均匀线性介质中的性质得到如下的关系：D=E=0E+P (12)于是可以得出电场强度矢量和极化强度矢量之间的关系，即：P=-0E (13)直接把式（A-11）和（A-12）所示的电场强度函数带入到式（13）中即可得到计划强度。在此先不必带入，因为最终感兴趣的是介质球内的极化电荷分布。所以由极化电荷体密度与极化强度矢量之间的关系p=-P就可以得到相应部分的计划电荷体密度。对于球内部分：P1=Qf-04R3R=Qf-04R2eR (A-13)而算符在完全的球对称问题当中的作用即为：f=1R2R(R2fR)则球内的极化电荷体密度：p=-P1=-1R2RR2Qf-04R2=0注意到，上述计算均是在0RR0的情况下，此空间中依然没有电荷分布，因此这部分的电势分布函数可以写成：2=nanRn+bnRn+1PncosRR0 (B-1)对于球内的部分，可以将Poisson方程的解分为特解和通解两部分的合成，方法与上例中的做法类似。不同点在于此时特解对应的电势分布函数应该是有居于球心的电偶极子产生的，可以表示为：1s=PfR4R3 (B-2)进而球内区域的电势分布函数可以表示为：1=PfR4R3+ncnRn+dnRn+1PncosRR0 (B-4)1=PfR4R3+ncnRnPncos =Pfcos4R2+ncnRnPncosRR0 (B-10)1=Pfcos4R2+-0PfRcos2R03+0 =PfR4R3+-0PfR2R03+0RR2 (C-1) 1=PfR40R3+ncnRnPncos =Pfcos40R2+ncnRnPncosRR1 (C-2)接下来利用在两种介质交界面上电势值的连续性，同时注意到对于导体而言，上面每一点的电势值都是相等的，即导体是等势体。所以，导体球壳外表面和内表面上的电势也是一样的，即可得：2R=R2=1R=R1将（C-1）和（C-2）两个表达式代入可得：nbnR2n+1Pncos=Pfcos40R12+ncnR1nPncos (C-3)而对于另一个条件，整个导体球壳上带电总量是Q，应该如何利用？可以先初步的分析一下该问题下的条件：因为球壳是导体，基于这个特点我们可以知道自由电荷Q一定是分布在导体表面，即只可能在R=R2或者R=R1两处有自由电荷分布，而对于R1RR2的这一区域内是不可能有自由电荷分布的。但是接下来如何确定自由电荷是仅仅分布在内（外）表面还是在内外表面上均有分布呢？i. 先从物理的角度作一下分析：如果导体球壳的内表面上带电，不妨使用高斯定理来考察空间的电场分布，对R=Rc, R1RcR2这样的一个球面，它刚好处于球壳的内外表面之间，假设球壳的内表面上带电量为Qi，而球心处的电偶极子对于R=Rc球面之所包含的电荷总量是没有贡献的，故由高斯定律得到：EdS=Qi而导体之内部是没有电场的，即在R1R1)则空间电势的表达式可以写成如下的形式：2=Q40RRR2 (C-10)1=Pfcos40R2+Q40R2-PfRcos40R13=PfR40R3+Q40R2-PfR40R13RR1 (C-11)自然的可以写出空间电场的分布函数：E2=Q40R2eR (C-12)E1=Pf20R3+Pf40R13coseR+Pf40R2-PfR40R13sine (C-13)观察上面两式，可见导体球外部的电场分布相当于在球心处放置电量为Q的点电荷的效果，这一点也可以由高斯定理轻易的得出。而电偶极子对空间电场的影响仅仅存在于导体球壳之内部，这一结果也印证了金属导体的电磁屏蔽效果。纵观全文，专门介绍Laplace方程在解决静电场问题中的基础应用方法，基本是遵循电动力学（郭硕鸿）的阐述，但重点在于解决问题的方法的介绍。在三个例子中解释