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12 怎样求电容器的电容和能量一、电容的计算电容的计算一般有三种方法：1、 利用电容的定义式来计算，具体步骤如下：先计算电场强度，进而计算电势差。在电势差的表达式中，已经包含了电量与电势差U的比值，因此，对电势差表达式进行整理，即可由电容的定义算得电容。2、 通过电容器的储能公式来计算；由WeC； 或者是QWeC.3、 对于串联、并联、混联，可用前面两种方法，但往往直接用电容的串、并联计算公式更为方便。即：串联时： 并联时： 二、电容器储能的计算电容器的储能公式为：式中 -电容主板间电势差V-电容器极板间电场所占的空间因为故式(1)、(2)是一致的。储能计算时要注意L是维持电量Q不变(电容器充电后与电源断开), 还是维持电压不变(电容器充电后，不与电源断开)，否则就会把题做错。例如：有人问：如增大C，由可知W应增加；但从看，W又应减小。究竟应该是增加还是减小？同一习题之所以出现矛盾的结果 ，是因为问题本身不够明确：没有说明是Q不变，还是不变。如在Q不变下增大C，则由看，W应该减小；因，C增大时将减小，故从看，W也应减小。例1球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间有两层同心的均匀介质球壳，介质常数分别为、，两介持的分界面的半径为R2，导体球壳的内半径为R3 (图2-12-1) 。已知球壳不带电，内球带电+Q，求球形电容器的电容。分析球壳的带电总量为零，但在内球的静电感应的情况下，其内表面带负电，外表面带正电，电场具有对称性，电位移矢量垢方向沿半径向外。解利用电容的定义式来计算。1、 计算各场区的场强：区：以半径为r的同心球面为高斯面，利用有介质时的高斯定理得： 区：同理可知： 2、 计算内球与球壳间的电势差*式中已包含了，故易得：3、 利用电容的定义求电容例2五个电容连接如图2-12-2所示，在AB间加30V，求各电容器上的电量以及AB间的总电容，设五个电容器上的电量以Q1、Q2、Q3、Q4、Q5表示。解由： 得： 就电势差而言：沿APB支路： 沿ARB支路： 沿APRA支路： 由上列方程可以解得：上述结果是可信的，因为电路与相应的电势方程具有对称性，与、与分别相等，是理所当然的。为了求总电容，让我们看A侧、B侧的电量。在A侧：；在B侧：，根据电容的定义，合电容为：例3一厚度为b之铜板，插入平行板电容器的两极中央。求电容 (图2-12-3)。分析设平行板电容器极板的面积为S，板间距离为d，则电容为：铜板插入后，铜 板在静电场的作用下在表面产生感应电荷，它与极板上的电荷面密度相等(因为这时才达到静电平衡)。因此铜板插入后，等于两个电容 (极板间的距离为)的串联。,或者说，等于电容(极板间距离为)的串联，或者说等于电容器两板间距由d缩短为d-b。解铜板插入后，形成两电容器C1、C2的串联：故总的等效电容为： 将题目化一下：如铜板不是正好插在平板电容器的中央，结果又将如何变化(图2-12-3)？分析设铜板与上极板距为，则与下极板间距为d-b-d1，铜板插入后仍看为两个电容的串联：总的等效电容为：可见，结果没有变化。为什么等效电容与铜板在两极板间的位置无关呢？因为这种插入方式，相当于把电容器极板间距缩短。不管铜板是否插在中央，极板间距由d缩短为d-b，因而结果不发生变化。将题目再化一下：如以相对介电系数为的介电介质板代替铀板，结果是否仍然相同？分析电介质插入后，表面要产生束缚电荷，但束缚电荷总是比极板上的自由电荷要少。这时不能如上述一样，把它看为两个电容器的串联，因为：电介质板表面的电荷不是自由电荷；介质的场强不为零。有一点是肯定的，若电容需增大。这时可根据电容的公式，将介质板插入后的电容求出来。要求V， 先求E。计算设极板的电荷面密度为，则在真空中的场强为；在介质中的场强为，故檄板间的电势差为：因此总电容为：插入介质板前后电容的比值为：如，即相当于插入的不是介质板，而是金属板，则：与前面的结果一致。例4半径分别为R1、R2的同心导体球壳(图2-12-4)。求内球壳接地时的总电容。解设内球带电+Q，则根据高斯定理可知，外球的内表面带电-Q，它的外表面带电，这样内球壳的外表面与外球壳的内表面构成一个电容器，同时，外球壳的外表面与无限远处也形成一个电容器。假设它们的电容分别为C1、C2。球形电容器的电容为。由此可见，当时，即得弧立球的电容，按题设条件，故总电容为：讨论此题要求的总电容是按并联计算的。也就是说，内球接地后，把大地与无限远- 处都作为电势零点，不然是不可以按并联而论的。有人说，把内球接地后作为电势零点，则在无限远处，就不可能再作为电势零点了。因此，此题要求的总电容是按串联公式来计算。两种说法哪一种对呢？请思考的。例5一同心球形电容器内外径分别为R1=5.00cm，r2=6.00cm ，电容器中有一半空间充有电解质(图2-12-5)，求电容(不计电场在两半球交界面上的弯曲。)解法一设两球间的电势差为U，在两球面间无电介质部分，内球面的半个上有电量为，在有电介质部分内球的半个上的电荷为，电容器中各部分电场沿半径方向，故在每一部分用的一部分球面和的一部分球面以及与半径平行的侧面构成之闭合面为高斯面，由于侧面上的通量为0，半径为 r 的部分球面上D为0，则通过此闭合面之总的通量为：高斯面中的自由电荷为：或而，故在电容器的两部分各得：两部分的场强为：再分别求电势差：于是得电量：内球面上的总电量为：故总的电容量为：解法二把整个电容器看作两个电容并联，一个是没有充介质的，一个是充有介质的半球形电容。其电容是同心球形电容的一半：两者并联电容为：例6如图2-12-6所示，求A障总电容。解从左向右不易算，应该从右向左逐步合成。ABC1C1C1C1C1C1C2C2C1P1P2P3P4R1R2R3R4图2-12-6P1R1间的电容：间的电容：间的电容：间的电容：AB间的总电容C：例7平板电容器的极板面积为S，间距为x，现将其间距从x增大到，当极板间电势差不变时；当极板上电量Q不变时，电容器的能量变化多大？解平行板电容器的电容，其能量为(1) 在(2) 在Q=cont时：设极板间距离为x，电为Q时，其间电势差为，则讨论当时，。于是。平行板电容器极板上，一块正电，一块带负电，正、负电荷互相吸引，要将两板距离拉开一段距离，就得克服吸引力作功，于是电容器能量增加，即和一样应该都是正的。为什么dW1小于零呢？这是因为：，当间距增大时，C减小了。电容器的储能随之减少，于是。或者说当极板间距离增大dx时，为了维持不变，只得减弱电场强度，即减少极板上的电量。虽然储能决定于E和体积V，V随x的增大而线性地增大，E随x增大线性地减弱，但它对能量的作用不是一镒方而是二次方，因此，总的来说储能还是减少了。在Q=常数的情况下，极板间距离增大时，体积增大了，而电场强度不是减小而是不变，因此，总的来说能量增加了。就和的数值而言，为什么两者又却好相等呢？请读者思考。例8容量为C1、C2、Cn 个电容器，其上电压为U1、U2、Un，连成如图2-12-7a所示然后将其两个端点A、闭合成图2-12-7b，求此时的电量的变化和残留的全部能量。a)分析假设AA/连接前后，各电容器的电量分别为q1、q2、qn与、，则AA/连接后，由于AA/ 这两点原来的电势不同，电容器C1与Cn上的电量要发生变化，进而涉及其它全部电容器上的电量发生变化。变化量分别为、。根据题设条件q1、q2、qn是已知的，则、怎么求呢？ 假设连接后，各电容器上的电压分别为、，则根据题设条件可知，连接后，其间的电势差为零，则：要将、全部解出，还缺 n-1个独立方程。这又从何下手呢？解决问题的办法往往孕育在问题本身中，让我们从电路本身的特点来寻找并建立(n-1)个独立方程。在连接前后，C1的阳极与C2的阴极及其连接导线自成一个封闭系统产(注意：因为连接后形成的闭合回路中没有电源；如有，则情况就不同了)根据电荷守恒定律可知：同理可得：由(3)式得：(6)式 式(3)+式 (4)得： 同理可得： 这样就找到了(n-1)个独立方程。它与(2)式结合，就可得到、。至此，电量的变化量、可经求出来了。、可以求出来了。解据题意设有：根据守恒定律有： (3) 把(3)代入(2)式，经过整理：其中 同理可得： 故电量的变化为： (7)由此可见，两点连接后，渡过的电量是相等的，即：这个结果如何解释？为了方便起见，我们讨论最简单的情况：n个电容器的电容、电压、电量都相同，设每个电容 的电容、电压、电量分别为，现将n个电容串联成一直线，再将短接。这时将发生什么情况呢？由于间的总电压U为，总电容，电量为，即为每个电容器上的电量。短接后，第一个电容器负极上的电荷与第n个电容器上正极上的电荷就要发生定向流动，从而影响相邻正负极间电荷同样发生定向流动，一直流到相邻两极之间没有电势差为止，这时，总的电量虽都为CU。其实，也就是每个电