选修4-1几何证明选讲.doc

选修4-1 几何证明选讲1.1 平行线等分线段定理一、选择题1如图所示，已知abc，直线AB与a、b、c交于点A、E、B，直线CD与a、b、c交于点C、E、D，若AEEB，则有 ()AAECE BBEDE CCEDE DCEDE2顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是 ()A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形3如图所示，ABCDEF，且AOODDF，BC6，则BE等于 ()A9 B10 C11 D124如图，ABCDEF，AF，BE相交于O，若AOODDF，BE10 cm，则BO的长为 ()A. cm B5 cm C. cm D3 cm5如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABAD6，CD3，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF长为 ()A3 B6 C4.5 D46如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A、B、C，如果ABBC1，AB，则BC长为 ()A B C D二、填空题7梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是_ cm.8如图，在ABC中，E是AB的中点，EFBD，EGAC交BD于G，CDAD，若EG5 cm，则AC_cm；若BD20 cm，则EF_cm.三、解答题9如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点求证：APPQQC.10如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EFBF.1.1 平行线等分线段定理一、选择题1.C 2.B 3.A 4.A 5.A 6.D二、填空题713 8. 15，10三、解答题9. 证明四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，DF=BE且DFBE，四边形BEDF是平行四边形在ADQ中，F是AD的中点，FPDQ.P是AQ的中点，APPQ.在CPB中，E是BC的中点，EQBP，Q是CP的中点，CQPQ，APPQQC.10. 证明如图所示，连接AE交DC于O.四边形ACED是平行四边形O是AE的中点在梯形ABCD中，DCAB，在EAB中，OFAB，又O是AE的中点，F是EB的中点，EFBF.1.2平行线分线段成比例定理一、选择题1若，则下列各式一定成立的是 ()A. B.C. D.2如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是()A. B.C. D.3如图所示，在ACE中，B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()ABDCE BBDCECBDCE DBDCE4如图所示，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AFFD为()A21 B31 C41 D515某同学的身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，则这个路灯的高为()A4.8米 B3.2米 C0.8米 D2米6已知是的边的延长线上的一点，且，则()A32 B23 C52 D25二、填空题7如图所示，已知ab，3，则AEEC_.8如图所示，已知DEBC，BFEF32，则ACAE_，ADDB_.三、解答题9已知AD是ABC的内角平分线，求证：.10如图所示，已知ABC中，AEEB13，BDDC21，AD与CE相交于F，求的值1.2平行线分线段成比例定理一、选择题1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C二、填空题7 8. 3221三、解答题9. 证明过C作CEAD交BA的延长线于E，如图所示，则AECBAD，DACACE.又BADDAC，AECACE，ACAE，又由ADCE知，.10. 解过点D作DGAB交EC于G，则，而，即，所以AEDG，从而有AFDF，EFFGCG，故1.1.3.相似三角形的判定与性质一、选择题1在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，则CD为()A3B4 C5 D62如图，在ABCD中，E是BC上一点，BEEC23，AE交BD于F，则BFFD等于()A25 B35 C23 D573如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，则SCDE等于()A. B. C. D24如图，ABCCDB90，ACa，BCb，要使ABCCDB，那么BD与a，b应满足()ABD BBD CBD DBD5如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，则()A1 B2 C3 D46如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值A B C D二、填空题7 如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则BF_.8ABC是一块锐角三角形余料，边BC12 cm，高AD8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为_cm.三、解答题9已知ABC中，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)BPECPF；(2)EFPBCP.10如图，ABC中，BAC90，ADBC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：.1.3相似三角形的判定与性质一、选择题1.B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.B二、填空题74 8. 4.8 三、解答题9. 证明：(1)BFAC于点F，CEAB于点E，BFCCEB.又CPFBPE，CPFBPE.(2)由(1)得CPFBPE，.又EPFBPC，EFPBCP.10. 证明：E是RtADC斜边AC的中点，AEECDE.EDCECD，又EDCBDF，EDCCBDF.又ADBC且BAC90，BADC，BADBDF，DBFADF.又RtABDRtCBA，因此.1.4直角三角形的射影定理一、选择题1在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，则相似三角形共有 ()A0对 B1对 C2对 D3对2在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD14，则tanBCD的值是 ()A. B. C. D23如图，ACB90，CDAB于D，AD3，CD2，则的值为 ()A. B. C. D.4在RtABC中，BAC90，ADBC，垂足为D.若BCm，B，则AD长为 ()Am sin2 Bm cos2 Cm sin cos Dm sin tan 5在RtABC中，C90，ab1，tan A，其中a、b分别是A和B的对边，则斜边上的高h等于 ()A. B. C. D.6如图所示，D为ABC中BC边上的一点，CADB，若AD6，AB10，BD8，则CD等于()A. B. C. D.二、填空题7已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.8如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，AD4，sinACD，则CD_，BC_.三、解答题9如图所示，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F.求证：AFFDCFFE.10已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为35两部分(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长1.4直角三角形的射影定理一、选择题1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B二、填空题7 8. ，三、解答题9. 证明因为ADBC，CEAB，所以AFE和CFD都是直角三角形又因为AFECFD，所以RtAFERtCFD.所以AFFECFFD.所以AFFDCFFE.10. 解(1)如图，设CD3x，BD5x，则BC8x，过D作DEAB，由题意可得，DE3x，BE4x，AEAC12x48，又AEAC，AC246x，AB242x，(246x)2(8x)2(242x)2，解得：x10(舍去)，x22，AB20，AC12，BC16，三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CFAB于F点，AC2AFAB，AF(cm)；同理：BF(cm)两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.2.1圆周角定理一、选择题1下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有 ()A1个 B2个 C3个 D4个2如图所示，D是的中点，与ABD相等的角的个数是()A7 B3C2 D13如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于 ()A4 B8C12 D164如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()A1对B2对C3对D4对5如图所示，在ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为()A4 B3.6 C6.4 D96如图所示，在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的周长是_A6 B12 C16 D9二、填空题7如图所示，AB为O的直径，弦AC4 cm，BC3 cm，CDAB于D，则CD的长为_ cm.8如图所示，等腰ABC内接于O，ABAC，A40，D是B的中点，E是A的中点，分别连接BD、DE、BE，则BDE的三内角的度数分别是_三、解答题9如图所示，AB是O的直径，弦AC3 cm，BC4 cm，CDAB，垂足为D，求AD、BD和CD的长10如图所示，在圆内接ABC中，ABAC，D是BC边上的一点，E是直线AD和ABC外接圆的交点(1)求证：AB2ADAE；(2)如图所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由2.1圆周角定理一、选择题1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D二、填空题7 8. 5520105三、解答题9. 解AB是O的直径，ACBC.CDAB，AC2ADAB，BC2BDAB.AC3 cm，BC4 cm，AB5 cm.AD cm，BD cm.CD2ADBD cm2.CD cm，AD cm，BD cm.10. 证明(1)如图，连接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.ABDAEB.ABAEADAB，即AB2ADAE.(2)如图，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)2.2圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有 ()如果AC，则A90如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形A的外角与C的外角互补ABCD可以是1234A1个B2个C3个D4个2如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果E30，F50，那么A为()A55 B50C45 D403圆内接平行四边形一定是 ()A正方形 B菱形 C等腰梯形 D矩形4如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形()A5对 B4对 C3对 D2对5若圆内接四边形中3个相邻的内角比为564，则这个四边形中最大的内角为()A60 B30 C120 D1506已知的斜边的两个端点分别在轴、轴的正半轴上移动，顶点与原点分别在的两侧，则点的轨迹是()A圆 B线段 C射线 D一段圆弧二、填空题7如图所示，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD60，则BAD_，BCD_.8若两条直线(a2)x(1a)y30，(a1)x(2a3)y20与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a_.三、解答题9如图所示，AB、CD都是圆的弦，且ABCD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.求证：AEACAFDE.10如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF.2.2圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B二、填空题730150 8. 1或1三、解答题9. 证明连接BD，因为ABCD，所以BDAC.因为A、B、D、F四点共圆，所以EBDF.因为E为EBD和EFA的公共角，所以EBDEFA.所以.所以，即AEACAFDE.10.证明(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD，CE是角平分线，所以HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.因为EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30，所以CE平分DEF.2.3圆的切线的性质及判定定理一、选择题1已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ()A0B1C2D不能确定2下列说法中正确的个数是 ()垂直于半径的直线是圆的切线；过圆上一点且垂直于圆的半径的直线是圆的切线；过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心；过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点A2 B3 C4 D53如图所示，已知O的直径与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC5，则O的半径为 ()A. B. C10 D54如图所示，在RtABC中，C90，AC4，BC3，以BC上一点O为圆心作O与AB相切于E，与AC相切于C，又O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为 ()A1 B. C. D.5直线l与半径为r的O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是()A B. C. D. 6如图所示，直线AB与O相切于点P，CD是O的直径，C、D与AB的距离分别为4 、2 ，则O的半径为()A8 B.4 C.6 D.3二、填空题7如图所示，CD是O的直径，AE切O于B，DC的延长线交AB于A，A20，则DBE_.8如图所示，O内接正方形ABCD中，O的半径为4 cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是_ cm.三、解答题9如图所示，AB为O的直径，AE平分BAC交O于E点，过E作O的切线交AC于点D，试判断AED的形状，并说明理由10如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sinB，D30.(1)求证：AD是O的切线(2)若AC6，求AD的长2.3圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D二、填空题755 8. 4三、解答题9. 解AED为直角三角形，理由如下：连接OE，ED为O切线，OEED.OAOE，1OEA.又12，2OEA，OEAC，ACDE，AED为直角三角形10. (1)证明如图，连接OA，sinB，B30，AOC2B，AOC60，D30，OAD180DAOD90，AD是O的切线(2)解OAOC，AOC60，AOC是等边三角形，OAAC6，OAD90，D30，ADAO6.2.4弦切角的性质一、选择题1如图，O内切于ABC，切点分别为D、E、F.已知B50，C60，连接OE、OF、DE、DF，那么EDF等于()A40B55C65D702如图所示，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC的长为()A2 B3C2 D43如图所示，经过O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若CAP40，ACP100，则BAC所对的弧的度数为()A40 B100C120 D304如图所示，AB是O直径，直线EF切O于B，C、D为O上的点，CBE40，则BCD的度数是()A110 B115 C120 D1355如图所示，AC切O于点A，BAC25，则B的度数为()A25 B45C60 D65 6已知PA、PB是O的两条切线，点A、B为切点，AC是O的直径，BAC20，则P的大小为()A40 B50 C60 D65 二、填空题7如图所示，已知AB与O相切于点M，且，且、为圆周长，则AMC_，BMC_，MDC_，MOC_.8如图所示，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知BAC80，那么BDC_.三、解答题9如图所示，已知BC是O的弦，P是BC延长线上一点，PA与O相切于点A，ABC25，ACB80，求P的度数10 如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC、BD相交于E.(1)求证：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长2.4弦切角的性质一、选择题1.B 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A二、填空题7451354590 8. 50三、解答题9. 解因为PA与O相切于点A，所以PACABP25.又因为ACB80，所以ACP100.又因为PACPCAP180，所以P1801002555.10. (1)证明因为XY是O的切线，所以12.因为BDXY，所以13，23.因为34，所以24.因为ABDACD，又因为ABAC，所以ABEACD.(2)解因为32，ABCACB，所以BCEACB，ACCEBC2.因为ABAC6 cm，BC4 cm，所以6(6AE)16.所以AE cm.2.5 与圆有关的比例线段一、选择题1如图所示，PC切O于A，PO的延长线交O于B，BC切O于B，若ACCP12，则POOB等于()A21 B11C12 D142如图所示，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形个数分别为 ()A1,2 B2,2 C2,6 D1,63圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点