地图数学模型原理与分析 课程作业.doc

地图数学模型原理与分析课程作业院 系： 资源与环境科学学院专 业： 学生姓名： 学 号： 指导教师 12一、在空间数据库中，把大比例尺图形数据缩编成小比例尺，图形数据是按要素分层的，各要素应采用什么模型确定选取指标?答：按要素分层的GIS图形数据主要包括:居民地、河流、道路网、独立地物、岛屿(湖泊)等。大比例尺缩编成小比例尺时,应根据不同的要素的特点采用不同的数学模型确定指标。1.居民地选取指标模型确定居民地选取指标的模型较多,有一元回归模型、多元回归模型、图解计算法、开方根规律模型等。实施地图制图综合时,以多元回归模型为例进行说明。在地图制图综合中，影响居民地选取指标的因素很多，诸如居民地密度，人口密度，地形，水系，交通等。宜采取多元回归模型，并采用居民地密度，人口密度和居民地选取程度三个变量之间的相关，进行多元回归分析，建立选取模型。1）建立确定居民地选取指标的多元回归模型的基本原理根据分析，确定居民地选取指标的多元回归模型为。 （1-1）式中，y为居民地选取程度,为居民地密度,为人口密度,、为待定参数。设y1为单位面积内居民地选取的个数，则有 （1-2）把（1-2）式代入（1-1）式有 （1-3）下面对参数的性质进行讨论参数：决定总的选取水平=0时y=0；所以：0参数：决定不同居民地密度的选取程度如果0，居民地密度越大，选取程度越大，这是违背地图制图综合原理的如果-1，居民地密度越大，选取数量反而少，这是违背地图制图综合原理的，所以：-10参数：如果0，人口密度越大的区域，居民地选取程度反而小，这也是违背地图制图综合原理的所以：0.2）各种比例尺地形图上选取指标模型对各种比例尺的量测数据进行整理，由实地居民地密度（个/100km2），人口密度（人/km2）和相应比例尺的居民地选取程度，得各种比例尺居民地选取模型1：10万 1：20万 1：100万 1：150万 1：200万1：250万3）通用居民地选取模型从以实地居民地密度建立的系列比例尺的居民地选取程度模型中，可以看出b0、b1、b2随比例尺变化而变化，它们同地图比例尺分母M有相关关系。可用多项加以描述b0=3.5976-0.0552M+0.0003M2-0.00001M3b1=-1.0144+6.4187/Mb2=0.02442+0.00247M-0.000012M2+0.00000002M3如果要求出1：25万地形图的居民地选取模型，则M=25从而得出：2、河流选取指标模型确定河流选取指标模型主要有一元回归模型、多元回归模型、方根模型等。实施地图综合时,应根据具体情况,选择合适的模型。河流选取的模型和居民地相似。3、其他地理要素选取主要使用方根模型道路网选取指标模型道路网选取指标可用方根模型确定：。随着比例尺的缩小,选取级别x应逐渐提高,最高可使用4级。独立地物选取指标模型地形图上的地物可根据方根通用模型: 确定选取指标。岛屿(湖泊)选取指标模型地形图上岛屿(湖泊)的综合,可按方根基本模型确定选取指标。二、在空间数据库中，把大比例尺图形数据缩编成小比例尺，图形数据是按要素分层的，各要素应采用什么模型进行具体的选取?答：地图要素结构选取模型是确定选取具体要素的模型。根据制图物体的结构模型,从大比例尺图上寻找出更重要的一部分物体表示在小比例图上。结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学模型和图论模型。一般地图要素主要包括河流、道路网、地貌等。现在分别就这三种地图要素选取不同的模型来叙述。1、河流结构选取模型河流结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学法和图论模型。现就模糊数学法进行叙述。1）选取因素集合地图上河流选取主要考虑河流的长度、河流的密度（间距）。根据地图制图综合原理，河流越长，选取的可能性越大；河流越密（间距越小），选取的可能性越小；另外，还要考虑河流在人文、地理位置上的重要性和河网类型等。因此，地图上对河流选取的因素集合为U=u1（河流长度），u2（河流间距），u3（河流的重要性），u4（河网类型）2）河流选取的评判集在地图制图综合中，对河流只有选取或舍去，故河流选取的评判集为V=v1（选取），v2（舍去）3）因素权重集影响河流选取的四个因素中，它们所起的作用并不相等，所以要对这些因素分配不同的权重。根据专家评定和统计分析得4)模糊综合评判矩阵为了得到模糊综合评判矩阵，必须确定各因素对选取河流的隶属度。河流长度对其选取的隶属度的确定根据等比数列选取表5-2，当河流长为Li时，资料图上河流间隔为di时，利用回归分析方法，可求出选取时所需的河流间隔C。这个C值是河流选取和舍去的临界值，隶属度为0.5。因此，有 式中，D为河流选取时与已取河流间隔值。河流间隔对其选取的隶属度的确定在制图综合中，河流间隔越小，选取河流的长度越长；因此，利用回归分析可求出河流长度S和河流间隔d之间相关关系。同样，S值是河流选取与舍去的临界值，隶属度为0.5。所以有： 式中，L1是选取的最短河流长度，L为河流长度。河流在人文、地理位置上重要性对河流选取隶属度的确定河流在人文、地理位置上重要性对河流选取的作用是比较复杂的模糊概念，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表1）表1河流重要性重要一般次要100503河网类型对河流选取隶属度的确定河网类型对河流选取的作用也是比较复杂的模糊概念，同样，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表2）表2河网类型树枝状格子状平行状扇状辐射状网状060050055050056055模糊综合评判矩阵对于每个单因素评价为式中，为单因素对河流选取的隶属度，为单因素对河流舍去的隶属度。因此，模糊综合评判矩阵为5）模糊综合评判结果集根据模糊综合评判矩阵和因素权重集，通过模糊变换可得评判结果根据最大隶属原则，在中，看谁的数值大。如果该河流选取。如果该河流舍去。为了防止情况出现，要采用清晰大的模糊算子。如M（，）模糊算子；这里，采用“V”模糊算子。2、道路网选取模型道路网结构选取模型主要是图论模型。图1 节点与编号1）道路网图形处理将道路的交叉衔接处定义为节点。2）建立道路网的邻接矩阵根据确定道路网节点集合的衔接矩阵。3）道路网边值的确定道路等级的高低是决定边值大小的依据。采用仿数字化的方法，将各种道路的边值确定为铁路：公路：大车路：4）确定节点选取数量5）计算节点强度值6）按选取指标和节点强度值大小进行自动选取图2 借助图论进行选取的1：50万地形图3.地貌结构选取模型以等比数列法来阐述地貌结构选取数学模型，该模型利用谷地长度和谷地密度（谷间距）来确定谷地的取舍1）谷地长度分级数列Ai的确定根据图上能表达的长度和实际情况，将谷地分为4级: 5mm，且 A1= 1mm，A2= 3mm，A5= 5mm，2）谷间距分级数列Bj的确定地图上可以表达的最小谷间距为0.5mm，取B1=0.5mm，=1.6.3）选取表的构成地貌谷地选取表分成两个基本部分，表其结合部的右侧为主表，适用于一般地区，左侧为辅表，适用于特别破碎的地区。表3 单位：mm间隔选取间隔长度1.21.91.93.13.14.94.97.97.912.612.620.1535130，选取程度将随着增加而增大，也就是说河流密度越大，选取程度越大，这是违背地图制图综合原理的。当然，b1也不能小于-1。若b1-1，那么由公式(3-3)可以看出，河流密度越大的区域，河流选取数量反而越少，这也是违背地图制图综合原理的。所以：-1b10（3）参数b2在模型公式3-1中，如果b0、b1、不变，b2一定，越大则相应增大。决定不同河流密度的河流选取程度。如果b20，河流密度越大的区域，河流选取程度反而小，这是违背地图制图综合原理的。所以b20四 .以数据的分布特征进行分级的方法有哪几种模型？各适应什么情况？答：地图制图的空间要素分级主要有以下七种分级模型：1 等差分级模型等差分级又包括界限等差分级模型和间隔递增等差分级模型。一般，数量间隔趋向呈等差排列，可采用等差分级模型。例如对统计地图的分级一般采用的就是等差分级模型。2 等比分级模型等比分级分为界限等比分级模型和间隔等比分级模型。一般，数量间隔趋向呈等比排列，通常较多运用等比分级方案，如地貌结构选取模型、河流结构选取的数学模型等主要运用这种模型。3 统计分级模型包括面积相等分级模型、正态分布分级模型及其它分布分级模型。由于分级界线的确定是以一些统计量为基础的，所以这类分级模型能较好地反映数据的分布特征。在地图上表示与区域面积分布有关的现象要素分级时，如各级面积均匀相等，或者最大和最小数据的级别所占面积较小，中间级别较大，基本上具有正态分布函数的特征，或者各级面积的对比具有其它分布函数特征，一般采用统计分级模型较为合适。统计分级模型还可以用来分析分级统计地图或等值线图上各级（层）面积分布的合理性。4 具有数学法则的最优分级模型包括任意数列分级模型和任意级数分级模型，这类分级模型一般适用于那些数据本身能提供大量信息，可根据一定的数学规则确定分级界线，使分级结果更能反映数据分布特征的情况。5 最优分割分级模型在地图制图数据处理中，有些样本的次序是很重要的，不能随便将它们的次序打乱。例如，一些与年代有关的地图制图数据处理，年代就是有序的，最优分割分级模型解决这类数据分级问题比较有效。6 逐步模式识别分级模型这种分级模型根据模式识别的基本原理进行分级，适合于大批量数据的分级。7 聚类分级模型为使分级结果便于数值估读，使估读误差尽可能小，可以采用统计上的聚类分级方案。五、试分析空间分布趋势模型与动态分析预测模型的异同点。答：相同点:都是通过一些已知要素的特征分析估算其它要素的特征，都可以运用回归模型。不同点：（1）从模型的研究对象来看：空间分布趋势模型的主要任务是研究空间要素地带性分布规律，并用数学方法建立分布规律模型，揭示组成地带性的基本区域结构，并尽可能顾及各区域的特殊规律，为地图制图综合、地图设计等提供科学依据。动态分析预测模型主要研究如何根据一种或几种要素来估计、推算或者预测其它有关要素的情况，确定要素之间相互制约的定量关系，这对于经济建设中的规划、设计和决策都有重要意义。（2）从模型使用数学方法来看：空间分布趋势模型一般是按规模大小分布的规律，运用数理统计中的递减指数分布函数拟合。动态分析预测模型使用回归分析方法，根据一组自变量来预测因变量的值。它建立的多个变量与因变量预测值之间的函数关系。六、简述类型划分的变量平均值逐步替代（贝利）聚类模型的原理与方法。答：原理：在每合并一次类后，需要根据合类样品各指标的平均值重新计算新的距离系数，再在新的距离系数矩阵中进行聚类；如此逐步计算合并，直至达到所需要的分类数目为止。方法：设有样品单元为各单元的指标为，变量为。经数据规格化并计算距离系数后得 。假如在中最小，则A、B合并为一类；合并后计算A和B样本各指标相应的平均值，得其余类推。据此计算新的距离系数矩阵，再进行分类合并。如果第二次是为最小，则合并C，D。那么，计算新的指标为再计算距离系数矩阵；如果第二次是为最小，则A，B，C应合并为一类，新的指标应为。据此计算距离系数矩阵，进行分类合并。直至所需分类数目为止。七 简述数学形态学、分形理论、小波理论在空间多尺度处理中应用的现状和前景。答：空间数据多尺度处理与表示是当今地理信息科学领域研究的重要的前沿性课题。综合运用现代数学理论、计算机科学技术和计算智能技术，可为空间数据多尺度处理与表示的问题解决提供思路。近年来，数学形态学、分形理论和小波理论等现代数学理论和方法为智能化的空间数据多尺度处理，跨尺度的空间分析和自适应可视化等课题的研究提供了新的途径。 1数学形态学：数学形态学（Mathematical Morphology）诞生于1964年。最大特点是能将大量复杂的影像处理运算用基本的移位和逻辑运算组合来描述和实现，使得算法设计更加灵活，运算速度也大大加快。由于数学形态学从提出之初就主要用于处理二值图像，因而很自然地被应用于基于栅格数据模型的空间数据处理领域。1983年Monmoners首先用数学形态学腐蚀算子(erosion)研究栅格数据模型的面状要素地图综合。近十年来,不少学者用数学形态学研究空间数据处理问题,建立了化简,合并,删除,移位等综合算子的数学模型和算法.数学形态学在空间多尺度处理中的应用主要有以下几个方面：（1）在居民地街区综合中的应用居民地是重要的社会经济要素，在大比例尺（1:5万）地形图上，其面积载负量约为图幅的70%，对其实施综合的结果直接影响地图的质量。依比例尺街区的自动综合是目前空间数据多尺度处理的难题之一。研究依比例尺街区的自动综合对数字地图生产和基础地理信息系统建设都有重要的现实意义。将依比例尺街区处理成二值图像，用数学形态学能较好地解决依比例尺街区的自动综合问题。 （2）在数字地图要素移位处理中的应用移位是数字地图综合中很难实现的操作，用数学形态学能较好地实现数字地图要素的移位处理。数学形态学在数字地图要素移位处理中的应用又分为在线状要素与面状要素移位处理中的应用和在线状要素之间移位处理中的应用。2分形理论：自法国数学家Mandelbrot教授于1975年首次提出分形理论，这一理论已在广泛的领域中得到应用。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。分形理论在空间多尺度处理中的应用主要有以下几个方面：（1）分形理论在地图点状要