第二章：利息及等值计算.ppt

第二章利息及等值的计算 一 利息计算公式二 等值的计算 三 财务现金流量表 一 利息计算公式 一 利息的种类 1 单利计息 2 复利计息 二 现金流量图 CashFlowDiagram 三 利息计算公式 1 一次支付复利公式 2 一次支付现值公式 3 等额支付系列复利公式 4 等额支付系列积累基金公式5 等额支付系列资金恢复公式 6 等额支付系列现值公式 四 运用利息公式应注意的问题五 名义利率和有效利率 1 离散式复利 2 连续式复利 六 梯度公式 1 等差梯度系列 2 等比梯度系列 七 利息与本金的分离 一 利息计算公式 一 利息的种类1 单利计息 假设以年利率10 借入资金1000元 共借4年 其偿还情况如 下表所示 即每期均按原始本金计算利息 这种计息方式称为单利 计息 单利计息公式 利息与时间呈线性关系 不论计息期数为多大 只有本金计息 而利息本身不再计息 设P代表本金 n代表计息期数 i代表利率 I代表所付或所收的总利息 F代表本利和 则有 F P 1 ni I Pni I P 1 i 1 2 复利计息将本期的利息转为下期的本金 下期将按本利和的总额计息 这种计息方式称为复利 计息 同样设P代表本金 n代表计息期数 i代表利率 I代表所付或所收的总利息 F代表本利和 则 n 复利法推导公式计息期数期初本金期末利息期末本利和1PP iF1 P P i P 1 i 2P 1 i P 1 i iF2 P 1 i P 1 i i P 1 i 23P 1 i 2P 1 i 2 iF3 P 1 i 2 P 1 i 2 i P 1 i 3 n 1P 1 i n 2P 1 i n 2 iFn 1 P 1 i n 2 P 1 i n2 i P 1 i n 1nP 1 i n 1P 1 i n 1 iFn P 1 i n 1 P 1 i n 1 i P 1 i n即 其本利和的计算公式 F P 1 i n 一 现金流量所谓先进流量是指拟建项目在整个项目计算期内各个时点上实际所发生的现金流入 现金流出 以及流入与流出的差额 又称为净现金流量 现金流量一般以计息期 年 季 月等 为时间量的单位 用现金流量图或现金流量表来表示 现金流量的构成 二 现金流量图 CashFlowDiagram 1 水平线是时间标度 每一格代表一个时间单位 年 月 日 第n格的终点和第n 1格的起点是相重合的 2 箭头表示现金流动的方向 向下的箭头表示支出 现金的减少 向上的箭头表示现金收入 现金的增加 箭头的长短与收入或支出的大小成比例 3 现金流量图与立脚点 着眼点 有关 如贷款人的立脚点 或者借款人的立脚点 对现金流量图的几点说明 有关利息计算的几个概念1 i 利率 折现率 在工程经济分析中把根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为折现率 用i表示并且一般指年利率 年折现率 2 n 计息次数 指投资项目在从开始投入资金 开始建设 到项目的寿命周期终结为止的整个期限内 计算利息的次数 通常以 年 为单位 3 P 现值 表示资金发生在某一特定的时间序列始点上的价值 在工程经济分析中 它表示在现金流量图中0点的投资数额或投资项目的现金流量折算到0点的价值 4 F 终值 表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值 其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值 即期末的本利和价值 5 A 年金 是指各年等额收入或支付的金额 通常以等额序列表示 即在某一特定时间序列期内 每隔相同时间收支的等额款项 6 等值 是指在特定利率条件下 在不同时点的两笔绝对值不相等的资金具有相同的价值 F P 1 i 三 利息计算公式 1 一次支付终值复利公式 i 利率 interestrate n 计息期数 number P 现在值 PresentValue worth F 将来值 FutureValue worth 1 i n 一次支付复利系数 single paymentcompoundamount factor 有时记为 F P i n 则有F P F p i n n P 1 i n 第一年年初P第一年年末P Pi P 1 i 第二年年末P 1 i P 1 i i P 1 i 2 第n年年末 答F P 1 i n 1000 1 6 4 1262 5 案例 在第一年年初 以年利率6 投资1000元 则到第四年年末可得本利和若干 1000 1 2625 1262 50 或者F P F P i n 2 一次支付现值公式 4 1000 元 1 1 6 1262 50 案例为了在第四年年末得到1262 50元 按年利率6 计算 现在必须投资多少 答 ln100ln 1 i n 在利率为i的情况下1元增值为100元所需年数 3 等额支付系列复利终值公式 或者 F A F A i n 年金终值公式的推导过程 由一次终值公式可得 F A A 1 i A 1 i 2 A 1 i n 1 上式两边同乘以 1 i 则有F 1 i A 1 i A 1 i 2 A 1 i 3 A 1 i n 由 F 1 i F A 1 i n A 案例连续5年每年年末借款1000元 按年利率6 计算 第5年年末累积借款若干 1000 F A i n 1000 5 6371 5637 10 元 4 等额支付系列积累基金公式 案例 如果要在第5年年末得到资金1000元 按 年利率6 计算 从现在起连续5年每年必须存储若干 1000 0 1774 177 40 元 F A F i n 5 等额支付系列资金恢复公式 A P A P i n 公式推导 A F A F i n 如果现在以年利率5 投资1000元 在今后的8年中 每年年末以相等的数额提取回收本利和 则每年年末可以等额提取若干 1000 0 1547 154 70 元 P A P i n 答 案例 6 等额支付系列现值公式 A P A i n 或者 P 答 按年利率6 计算 为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润 假设不考虑残值的影响 现在应投资若干 100 4 2124 421 24 万元 A P A i n 案例 四 运用利息公式应注意的问题 1 实施方案所需的初始投资 假定发生在方案的寿命期初 期初惯例 2 方案实施过程中的经常性支出 假定发生在计息期 年 末 期末惯例 3 本年的年末即是下一年的年初 4 P是在当年度开始时发生 5 F是在当年以后的第n年年末发生 6 A是在考察期间各年年末发生 当现金流量系列包括P和A时 系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生 当现金流量系列包括F和A时 系列的最后一个A是和F同时发生 五 名义利率和有效利率当利率的时间单位与计息期不一致时 就出现了名义利率和有效利率的概念 例如 年利率12 每月计息一次 此时 12 为名义利率 有效利率为 12 1 12 68 i 1 1 1 案例 如果实际的年利率为12 按每月计息一次 那么实际的月利率为多少 解析 假设月实际利率为r 则有 1 r 12 1 12 从而可估算出月实际利率为0 95 年名义利率为12 0 95 11 4 1 离散式复利按期 年 季 月和日 计息的方法称为离散式复利 一年中计算复利的次数越频繁 则年有效利率比年名义利率越高 如果名义利率为r 一年中计算利息n次 每次计息的利率为rn 根据一次支付复利系数公式 年末本利和为 2 连续式复利按瞬时计息的方式称为连续复利 在这种情况下 复利可以在一年中按无限多次计算 年有效利率为 名义利率和有效利率 F P 1 i Pe 1 i 1 e 1 Ar 1 i 1 i 1 i e 1 Anrr 连续式复利下的计算公式 n nn nr n nre 1nre e 1 i F AP A 时期t以使收益最大化 令dtNPV t 0得r 也就是说 第一 最初的劳动投入是一种沉没成本 与利润最大化决策 f t 时 就到了伐树 无关 第二 当利率r等于树木的生长比例的季节 f t d f t f t f t L 决策选择 为L 则树木所有者净收益的折现值为NPV t e 假设一棵树在时刻t的价值为f t 其中f t 0 即树木永远生长 f t 0 生长率随时间而减缓 支付给植树工人的工资 最初投资 rt 案例 生长 假设利率为4 0 2 即t 25 树龄不到25年时 树木每年以超过4 的速度增长 因此 最优决策就是允许树木继续生长 但是 如果t 25 则树木每年增长率低于4 则林场主可以找到更好的投资方式 请思考 1 如果利率增至5 则最优收获树龄为多少 则可以求解最优收获树龄为r 0 04 假设树木按照f t e t f t f t 0 4t 六 梯度公式 一台机器设备随着使用而日益老化 维护所需劳动力和备件将越来越多 所需费用也将逐步增加 因而出现梯度现金流量 每期的增量变化可能是等差的 arithmetic 即以相同的金额变化 增加或减少 每期的增量变化可能是等比的 geometric 即以相同百分比率变化 1 等差梯度系列 第一个G发生在系列的第2年年末 首先把梯度系列0 G 2G n 1 G分解成 n 1 个年末支付为G的等额支付 并通过等额支付复利公式求得将来值F 再通过等额支付系列积累基金公式求得A 案例 假设某台设备在未来5年中预计的操作费用分别为1100元 1225元 1350元 1475元和1600元 如果折现率为12 那么其等额的年成本是多少 1100 125 1 7746 1323 A 1100 125 A G 12 5 i g时 P A i g 或者 P A 当i g时 P An 1 i 2 等比梯度系列在等比梯度系列中 流量以一个不变的百分比率变动 其变动的方向可能是正的 也可能是负的 设变动的百分比为g 请证明 1 1 g n 1 i n1 F P g n P F i n i g 1 当 A 1 g 2 1 i 3 A 1 g 1 i 2 A1 i A 1 g n 1 1 i n P AP 1000 76211000 案例 在某高层建筑的经济分析中 估计第一年的经营收入为1000万元 并且以后每年以8 的比率递增 分析的时间边界为10年 资金的机会成本为12 如果忽略税收和通货膨胀等因素 在所选择的时间边界中 收入的现值为多少 0 04 1 2 1589 0 3220 12 8 1 F P 8 10 P F 12 10 i g 1 F P g n P F i n 七 利息与本金的分离 贷款的定期偿还通常分为两部分 利息与本金 这是由于利息可能从一项业务的应税收入中扣除 而本金则不能扣除 例如 某人借贷10万元购买住宅 5年期 12 的利率 如果房屋贷款利息可以从应税收入中扣除 试计算每年的贷款利息 解 每年的总支付 本金和利息 为 100000 A P 12 5 100000 0 27741 27741 元 A P A P i n 各年度总支付中 利息部分与本金部分的 计算如下表所示 其中 任意第j年的余额Rj之计算通式为 Rj A P A i n j 下图中 利息部分与本金部分的分割线是一条曲线 二 等值 Equivalent Value 的计算 货币等值是考虑了货币时间价值的等值 即使是金额相等 由于发生的时间不同 其价值并不一定相等 反之 不同时间上发生的金额不等 其货币的价值却可能相等 货币的等值包括三个要素 1 金额 2 金额发生的时间 3 利率 以10 的利率等值 1 1年后偿还本利 2 5年后偿还本利 3 每年支付当年利息 本金于第5年末一次性偿还 4 5年内平均偿还本金 每年支付当年利息 5 5年内 每年等额偿还本利 结论 如果两个现金流量等值 则在任何时间 着眼点 其相应的值必定相等 某企业以年利率8 向银行借款10 000元 准备在4年内将本利还 清 还款方法有如下几种 方法一 每年年末归还2500元借款 加上当年借款的利息 4年内还清 方法二 前三年每年年末仅归还借款的利息800元 第四年年末归还全部借款和第四年借款的利息 方法三 前三年年末均不归还 第四年年末归还借款和4年的借款利息 9 525 300 1 i i 6 415 当利率为多大时 现在的300元等值于第9年年末的525元 解析 F P F P i n 假如某人目前借入2000元 在今后两年中分24次偿还 每次偿还99 80元 复利按月计算 试求月有效利率 年名义利率和年有效利率 1 i 1 99 802000 0 0499 i 1 i 2424 A P i 24 1 计算月有效利率99 80 2000 A P i 24 i 1 5 2 计算年名义利率r 1 5 12 18 3 计算年有效利率n 1 i 23 45 i 8 i 10 n 7 27i 5 n 14 2 2 n log2 log 1 i n 假设利率为10 现在的一笔借款需多少年翻倍 n 9 00i 3 n 70 i 求每半年向银行借款1400元 连续借10年的等额支付系列的将来值 利息分别按 一 年利率为12 二 年利率为12 每半年计息一次 三 年利率为12 每季度计息一次三种情况 解析 通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息 即计息期间的存款应放在期末 而计息期间的提款应放在期初 A F 3 2 F A 3 40 三 计息期短于支付期 F A 6 20 二 计息期等于支付期 F A 12 10 一 计息期长于支付期 F 1400 0 4926 75 4013 52000元 F 1400 36 7856 51500元 F 14