高中数学必修5自主学习导学案：2.2等差数列的概念及其性质.doc

2.2 等差数列（学生版）1新课引入请同学们思考，这四个数列有何共同特点? 0，5，10，15，20 2，4，6，8，10，. 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10072，10144，10216，10288，10360 规律：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母表示。定义的符号表示是：，这就是数列的递推公式。有时也可以写成：最简单的等差数列：由三个数a，A， b组成的等差数列，这时数A叫做数a和b的等差中项，用等式表示为【例1】判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7， （2）9，6，3，0，-3 （3）-8，-6，-4，-2，0， （4）3，3，3，3， （5） （6）15，12，10，8，6，3等差数列通项公式的推导方法一：根据等差数列的定义填空a2 a1d， a3 d （ ） d a1 d，a4 d （ ） d a1 d ，an d方法二：，所以，即，等差数列的通项公式：4等差数列的性质若数列an是公差为d的等差数列，则(1)当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d1)，记bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式分析：一般要证一个数列bn成等差数列，最基本的方法是证明bn1bnd.点评：(1)判断数列为等差数列，要严格紧扣定义，本例的解法就是利用bn1bnd来判断的(2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法方法符号语言结论定义法anan1d(常数)(n2且nN*)an是等差数列等差中项法2anan1an1(n2且nN*)通项公式法anknb(k，b为常数，nN*) 当堂检测1判断下列数列是否为等差数列(1)an3n2； (2)ann2n. (3)已知数列an满足：a11，an1.2已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由3求数列的通项公式.4已知数列an满足a13，anan12an11(n2)(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列是等差数列，并写出an的一个通项公式考点4等差中项的应用【例6】在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列 当堂检测1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A2 B3 C6 D92设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab Ba3b Cab或a3b Dab03设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.考点5等差数列性质的应用【例7】 (1)已知an为等差数列，a3a4a5a6a7450，则a2a8的值为_(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.点评：(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想，法二用到了等差数列的性质(2)等差数列中，若m，n，p，qN*且mnpq，则amanapaq；若mn2k，m，n，kN*，则aman2ak是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，可以达到事半功倍的效果 当堂检测1在等差数列an中，a121，a718，则公差d()A. B. C D2已知等差数列an中，a2a46，则a1a2a3a4a5()A30 B15 C5 D103已知an为等差数列，a2a812，则a5等于()A4 B5 C6 D74在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12 B16 C20 D245设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么由anbn所组成的数列的第37项为()A0 B37 C100 D376已知数列an满足a11，若点在直线xy10上，则an_.7已知等差数列an中，a2a6a101，求：(1)a4a8；(2)若a3a6a9，求通项公式6等差数列设元的应用【例8】(1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数点评：(1)若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；若四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列 当堂检测1已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式2已知三个数依次成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数构成的等差数列一、选择题1an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于()A2 B C. D22等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A50 B49 C48 D473在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20 B30 C40 D504首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是()Ad Bd3 C.d3 D.0 Ba7a90时，数列为递增数列；当d1)，记bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式分析：一般要证一个数列bn成等差数列，最基本的方法是证明bn1bnd.解析：(1)证明：bn1bn，又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知bn(n1)n，bn，an22.点评：(1)判断数列为等差数列，要严格紧扣定义，本例的解法就是利用bn1bnd来判断的(2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法方法符号语言结论定义法anan1d(常数)(n2且nN*)an是等差数列等差中项法2anan1an1(n2且nN*)通项公式法anknb(k，b为常数，nN*) 当堂检测1判断下列数列是否为等差数列(1)an3n2； (2)ann2n. (3)已知数列an满足：a11，an1.解析：(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*) 这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2(nN*)，2n2不是常数，这个数列不是等差数列(3)an1，.即，(nN*)数列为等差数列.2已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解：数列是等差数列理由如下：a12，an1.(常数) 是以为首项，公差为的等差数列.3求数列的通项公式.解：取倒数：则是等差数列， 4已知数列an满足a13，anan12an11(n2)(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列是等差数列，并写出an的一个通项公式解：(1)由anan12an11，得an2.a13，a22，a32，a42.(2)证明：由(1)知，当n2时，an11，那么1.考点4等差中项的应用【例6】在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列解：因为 3，A，7 成等差数列，所以A3 7A，2 A 3 7解得 A5 当堂检测1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A2 B3 C6 D9解析：由题意得，mn6，m、n的等差中项为3.答案：B2设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab Ba3b Cab或a3b Dab0解析：由等差中项的定义知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.答案：C3设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.解析：设等差数列an的公差为d(d0)a1a2a33a215，a25.又由a1a2a380，得(a2d)a2(a2d)80，解得d29.又d0，d3，a11a12a133a123(a210d)3(5103)105.答案：105考点5等差数列性质的应用【例7】 (1)已知an为等差数列，a3a4a5a6a7450，则a2a8的值为_(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.分析：利用等差数列的性质求解解析：(1)法一：根据等差数列通项公式得a3a4a5a6a7(a12d)(a13d)(a14d)(a15d)(a16d)5a120d450，a14d90.a2a82a8d2(a14d)180.法二：a3a4a5a6a7450，由等差数列的性质知：a3a7a4a62a5，5a5450.a590. a2a82a5180.(2)法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5 a5b535.答案：(1)180(2)35点评：(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想，法二用到了等差数列的性质(2)等差数列中，若m，n，p，qN*且mnpq，则amanapaq；若mn2k，m，n，kN*，则aman2ak是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，可以达到事半功倍的效果 当堂检测1在等差数列an中，a121，a718，则公差d()A. B. C D解析：a7a1(71)d216d18，d.答案：C2已知等差数列an中，a2a46，则a1a2a3a4a5()A30 B15 C5 D10解析：数列an为等差数列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)(a2a4)615.答案：B3已知an为等差数列，a2a812，则a5等于()A4 B5 C6 D7解析：由等差数列性质得a2a82a512，所以a56. 答案：C4在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12 B16 C20 D24解析：根据等差数列的性质求解a2a10a4a816.答案：B5设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么由anbn所组成的数列的第37项为()A0 B37 C100 D37解析：设cnanbn，则cn为等差数列又c1a1b12575100，c2a2b2100，则dc2c10，故cn100(nN*)，从而c37100.故选C.6已知数列an满足a11，若点在直线xy10上，则an_.解析：由题设可得10，即1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式n，所以ann2.7已知等差数列an中，a2a6a101，求：(1)a4a8；(2)若a3a6a9，求通项公式解：(1)解法一：根据等差数列性质得a2a10a4a82a6由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.解法二：根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.由题意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).(2)由(1)知，a6. 解得：a3a9，an(nN*).6等差数列设元的应用【例8】(1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数分析：若直接设所求的三个数或四个数列方程，未知数个数较多，且方程组难解可采用对称设法，既减少了未知数的个数，又降低了计算量解析：(1)设这三个数分别为ad，a，ad. 则解得或这三个数分别为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，则解得或这四个数依次为2,4,10,16或16,10,4，2.点评：(1)若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；若四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有ac2b；反之，若ac2b，则a，b，c成等差数列 当堂检测1已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式解析：解法一：根据题意，设等差数列an的前三项分别为a1，a1d，a12d，则即解得或因为数列an为单调递增数列，因此从而等差数列an的通项公式为an4n1.解法二：由于数列an为等差数列，因此可设前三项分别为ad，a，ad，于是可得即解得或由于数列an为单调递增数列，因此从而an4n1.2已知三个数依次成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数构成的等差数列解：解法一：设第一个数为a1、公差为d，由已知条件列方程组，得，所以，解得或，所以三个数构成的等差数列为4,6,8或8,6,4.解法二：设三个数依次为ad，a，ad，由已知条件得(ad)a(ad)18，解得a6，又知(ad)2a2(ad)2116，得3a22d2116，解得d2.当d2时，三个数构成的等差数列为4,6,8.当d2时，三个数构成的等差数列为8,6,4.3已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解：a1a72a4，a1a4a73a415.a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，亦即(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.一、选择题1an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于()A2 B C. D2解析：根据题意，得a72a4a16d2(a13d)1，a11.又a3a12d0，d.答案：B2等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A50 B49 C48 D47解析：设等差数列an的公差为d，由题意得a1da14d4，又a1，所以d.又ana1(n1)d33，所以n50.答案：A3在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20 B30 C40 D50解析：a3a5a7a9a115a7100，a720，3a9a133(a18d)(a112d)2a112d2(a16d)2a740.故选C.答案：C4首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是()Ad Bd3 C.d3 D.d3解析：从第10项开始为正数，则0 Ba7a90，b1.故选B.二、填空题13ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AC40，则A_.解析：A，B，C成等差数列，2BAC.又ABC180，B60，AC120.又AC40，A80.答案：8014已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4.度数为120的内角必是最长边x4所对的角由余弦定理，得(x4)2x2(x4)22x(x4)cos120，2x220x0，x0(舍去)或x10.SABC(104)10sin12015.答案：1515已知数列1，x1，x2,9和1，y1，y2，y3,9都是等差数列，则_.解析：设两个等差数列的公差分别为d1和d2，则3d19(1)10，d1，4d29(1)10，d2，于是.答案：16在直角坐标平面上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数n，点Pn位于函数y3x的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn，则Pn的坐标为_解析：xn(n1)(1)n，yn3xn3n，Pn点的坐标为.B组能力提升11若一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于()A. B.C. D.解析：a，bx，.故选C.答案：C三、解答题17四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的