第二章 网络的正弦稳态分析(刘).ppt

喝酒像喝汤 此人上班在工商 喝酒像喝水 朋友肯定在建委 喝酒不用劝 工作肯定在法院 举杯一口干 此人必定是公安 一口能干二两五 这人一定是国土 喝掉八两都不醉 这人他妈是国税 一天三顿不喊累 这帮弟兄是地税 天天醉酒不受伤 老弟八成在镇乡 起步就能喝一斤 准保是个解放军 白酒啤酒加红酒 肯定是个一把手 喝酒啥子都不怕 领导必定在人大 成天喝酒不叫苦 哥们高就在政府 一夜喝酒都不歇 老哥任职在政协 喝酒只准喝茅台 这位领导中央来 第二章网络的正弦稳态分析 2 1引言 分析动态网络的方法是时域分析法 它的解有两部分 暂态解和稳态解 在开关电路中 一般是求它的暂态解 一般电路中只对元件作稳态应用 所以只求它的稳态解 这种方法叫动态网络的稳态分析 如果电路中的电源的电动势或电激流是时间的正弦函数 求电路的稳态解的方法叫正弦稳态分析 用时域分析方法分析正弦稳态电路要建立微分方程 求其稳态解比较麻烦 运用相量分析法将电路的时域变换为电路的相量模型 则可以将微分方程问题转化为代数方程问题 简化求解过程 相量分析法是用复数将时间正弦量变换为相量 将电路中的元件特性方程及基尔霍夫定律的时域形式变换为相量形式 将电路的时域模型变换为相量模型 2 2正弦电流的有效值 一 正弦电流 随时间按正弦或余弦规律变化的电流 表示为 式中i是瞬时电流强度 Im是电流强度最大值 是电流变化频率 0是初相位 它们都是常量 二 有效值 同频率的正弦电流和正弦电流比较大小 可以通过其最大值来比较 不同频率的正弦电流 正弦电流和直流 非正弦电流之间就无法比较 因此引入正弦电流的有效值 通过有效值来比较各种电流的大小 有效值是根据电流的热效应定义的 1 定义 若周期性电流和一直流电流通过同一电阻 两电流在周期电流的一个周期内产生的热量相同 则称该直流电流为该周期电流的有效值 2 公式 故 同理可定义电压的有效值 3 正弦电流 电压的有效值 由电流有效值的定义 得 设 当正弦交流电的电源电动势 电流 电压用有效值表示时 为 若一交流电压有效值为U 220V 则其最大值为Um 311V 若一交流电压有效值为U 380V 则其最大值为Um 537V 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如设备铭牌额定值 电网的电压等级等 但绝缘水平 耐压值指的是最大值 因此 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 测量中 电磁式交流电压 电流表读数均为有效值 区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 例 求如图周期信号的有效值 解 b U2 A 有效值 若加在1 电阻上 则平均功率 2 3正弦量的相量表示基尔霍夫定律的相量形式 一 同频率正弦量的叠加 如图所示电路 设 1 两幅值相同 频率相同的正弦量叠加 e1和e2幅值相同 频率相同 同向叠加时 令 可见 两个同频率 同振幅的正弦量叠加后是和原来正弦量同频率的正弦量 在叠加后 在正弦量的三个特征量中 只有峰值和初相位发生变化 频率保持不变 当两个正弦量的振幅也不同时 设 则 令 2 两幅值不同 频率相同的正弦量叠加 二式平方相加 得 二式相除 得 结论 两个同频率的正弦量叠加后是一个频率不变 只有振幅和初相变化的正弦量 旋转矢量法可简单地得到 二 正弦量的相量表示法 1 向量与向量图 由上面可知 同频率正弦量叠加运算 参与运算的只是三个特征量中的两个 振幅和初相位 一个复数可以表示为 其中j是虚单位 几何表示如图 描述一个复数的特征量有两个x y或a 由于变换成复数的这个量并不等于原来的三角函数 故称之为相量 注意 相量与正弦量只有对应关系 不能用等号代替对应号 考虑将一个三角函数等效变换为复数 然后利用复数运算 再将最后结果等效变换成三角函数 方法 同复数一样 相量也可在复平面上用矢量表示 其几何图形称相量图 对应号 2 三角函数相加减与相量相加减的等效性 例 设两个电源反向串联 如图 其中 用相量法计算 由些我们可以看出 两种运算得到的结果是相同的 所以两种计算是等效的 思考 利用相量图法求解 例1 解 将i1 i2化为标准sin形式 有效值相量 由相量形式写时域形式 i的有效值相量 i i1 i2的有效值相量图 注 频率不同的相量不能画在同一个相量图上 例1 解法2 将i1 i2化为标准cos形式 有效值相量 由相量形式写时域形式 i的有效值相量 注 频率不同的相量不能画在同一个相量图上 例2 将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想 由时域变换到频域 时域 在变量是时间函数条件下研究网络 以时间为自变量分析电路 频域 在变量经过适当变换的条件下研究网络 以频率为自变量分析电路 相量法 将正弦时间函数 变换 为相量后再进行分析 属于频域分析 三 正弦基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫定律适合所有电路 当应用于正弦稳态电路时 电流电压都是正弦稳态量 从而可以等效变换成相量形式 两种形式中参考方向和参考极性相同 说明 1 相量形式的基尔霍夫定律只能应用于正弦稳态电路 2 运用时注意参考方向和参考极性 对于第一定律 若电流相量背离节点 则取正好 反之取负号 对于第二定律 若电压参考极性与绕行方向相同 即后者从前者的正极指向负极 则取正号 反之取负号 1 复数A表示形式 一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量 此时a可看作与实轴同方向的向量 b可看作与虚轴同方向的向量 由平行四边形法则 则a jb即表示从原点到A的向量 其模为 A 幅角为 所以复数A又可表示为 A a jb 补充 两种表示法的关系 或 2 复数运算 则A1 A2 a1 a2 j b1 b2 1 加减运算 直角坐标 若A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 加减法可用图解法 2 乘除运算 极坐标 乘法 模相乘 角相加 除法 模相除 角相减 例1 5 47 10 25 3 41 j3 657 9 063 j4 226 12 47 j0 567 12 48 2 61 例2 3 旋转因子 复数ejq cosq jsinq 1 q A ejq相当于A逆时针旋转一个角度q 而模不变 故把ejq称为旋转因子 ejp 2 j e jp 2 j ejp 1故 j j 1都可以看成旋转因子 作业 P127 1 2 相量运算 略 1 同频率正弦量相加减 故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算 这实际上是一种变换思想 例 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 2 正弦量的微分 积分运算 证明 相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解 微分方程的特解 例 一阶常系数线性微分方程 自由分量 齐次方程解 Ae R Lt 强制分量 特解 Imcos wt yi wt u wt i q i u qq tg 1 wL R 用相量法求 2 4无源元件特性方程的相量形式 在第一章元件特性方程中 各元件的电流 电压 电源电动势和电激流都是时间的函数 所以特性方程叫时域形式特性方程 在正弦稳态电路计算中用相量分析法 所以要把时域形式的特性方程等效变换为相量形式 一 电阻元件特性方程的相量形式 1 电流和电压的相位关系 电阻元件特性方程的时域形式为 当采用无源惯例时 设uR是正弦量 即 则 可见 电阻R上的电流是和电压同相位的正弦量 2 电流和电压的数量关系 可见 电阻元件电流电压数量关系和直流电路中的欧姆定律同形 在电流电压的数量关系中 它和电流电压的参考正向无关 3 电阻元件特性方程的相量形式 此即电阻元件特性方程的相量形式 特性方程中 不论是时域形式还是相量形式 和参考正向有关 无源惯例非无源惯例 电流和电压的有效值关系称为电流电压的数量关系 体现了将正弦量化为相量时乘以常数的变换法则 一个正弦量与一常数相乘之积的相量等于该正弦量的相量乘以同一常数 二 电容元件特性方程的相量形式 1 电流和电压的相位关系 充电惯例时电容元件的特性方程时域形式为 设uc为正弦量 可见 电容器两端电压与电流相位不同 电流超前电压 2相位 2 电流和电压的数量关系 或 这就是电容器上的电流电压数量关系 由此知 电容器对交变电流有阻碍作用 当C越大时 越小 电流越大 即对电流的阻碍作用小 反之则大 则电容器上的电流电压数量关系可以写为 3 电容器特性方程的相量形式 这就是电容元件特性方程的相量形式 相量形式中的微分关系没有了 所以相量分析法中不会再有微分方程 体现了将正弦量化为相量的导数的变换法则 即一个正弦量对时间的导数的相量等于该正弦量的相量乘以j 三 电感元件特性方程的相量形式 1 电流和电压的相位关系 设有自感系数为L的电感元件中通有正弦电流 当按电感元件的第一种配合时 则 可见 电感线圈上的电压和电流的相位不同 电压超前电流 2相位 2 电流和电压的数量关系 由上面的关系知 则 电感器对交变电流也有阻碍作用 XL是电感器对电流阻碍能力大小的物理量 3 电感器特性方程的相量形式 设电感器上通有正弦交流电 将它等效变换为相量形式 而 其相量形式为 所以电感元件特性方程为 在变换中 正是如此 正弦稳态电路的相量分析中不再有微分方程 变换后是复数 求解微分方程问题变换为了作复数代数运算 体现了将正弦量化为相量的积分的变换法则 即一个正弦量对时间的积分的相量等于该正弦量的相量除以j 四 实际元件 以上介绍的元件都是理想元件 理想元件在实际中是不存在的 1 实际电阻元件在低频时可认为是理想电阻 在高频时会呈现出来电容 另外 由于趋肤效应 交流电阻和直流电阻呈现很大差异 2 电感器本来是有电阻的 直流时只呈现电阻 交流时还呈现出自感 低频应用时通常用一个理想电感器和一个电阻串联来等效 如图A 高频应用时 除了呈现电阻 电感外 匝间也呈现电容 此情况下电感器等效成一个理想电感器和一个电阻串联再和电容器并联 如图B 3 对于电容器考虑材料损耗和漏电 等效为理想电容和电阻并联 理想元件的R L C都是常数 属于线性元件 而实际的这些元件 都或多或少地要呈现出非线性 2 5复阻抗 有源元件特性方程的相量形式 一 复阻抗 定义 一段无源电路两端的电压相量对通过它的电流相量之比称为复阻抗 用Z表示 则 电阻 由复阻抗定义并利用特性方程可得R L C的复阻抗 电容 电感 注 复阻抗是复数 不能称为相量 二 RLC串联时的复阻抗 如图是RLC串联电路 首先将时域模型改为相量模型 由图知 由复阻抗定义 利用元件特性方程相量形式 得到RLC串联时的复阻抗 则 由于它是复数 故称为是复阻抗 在极坐标系中 可以将复阻抗写为 叫辐角或阻抗角 RLC串联被等效为一个复阻抗 三 复阻抗串联的一般形式 当若干个复阻抗串联时 串联方式如图所示 则 结论 若干个复阻抗串联可以用一个复阻抗来等效 等效复阻抗等于各复阻抗的代数和 设 则 令 则 例 如图所示电路 R 5 L 50mH C 100 F 电源电压220V 频率50Hz 求 1 各元件复阻抗的指数形式和极坐标形式 2 等效复阻抗的极坐标形式 3 各元件的电流 电压相量 4 作相量图 解 1 将电路变换成相量模型 各元件电压相量 2 四 有源元件特性方程相量形式 1 电压源特性方程相量形式 1 发电机惯例 2 电动机惯例 将电路和特性方程中各量由时域模型变换为相量模型 3 三同惯例 2 电流源特性方程相量形式 发电机惯例 一 复导纳概念 RLC的联接方式有串联也有并联 串联时计算电路用复阻抗方便 并联时不方便 为此引入复导纳 1 复导纳概念 一个复阻抗 其电流电压关系 交流电路欧姆定律 为 在计算串联时 由于各支路电压相加 用Z比较简单 当计算并联时 各支路的电流相加 利用复阻抗定义时会出现1 Z Z是复数 计算就比较麻烦 2 6复导纳 定义 复阻抗的倒数称为复导纳 记为Y 2 复阻抗和复导纳等效变换 证明 由于是同一元件 G称为电导 B叫电纳 公式 单位 西 门子 S 同理可证 3 三种理想元件的复导纳 1 电阻 2 电容器 3 电感器 证明 由 二 复导纳并联 1 RLC并联时的复导纳 由交流电路欧姆定律 由电路知 导纳和辐角为 2 复导纳并联的一般形式 由电路知 可见 若干个复导纳并联后的等效复导纳等于各复导纳之和 例1 如图所示RLC并联电路 已知R 30 L 0 1H C 50 F 通过线路的总电流4A f 50Hz 求 1 各支路复导纳指数形式和极坐标形式 2 等效复导纳极坐标形式 3 电压和各支路电流相量 4 作相量图 解 1 3 设电流相量为 解 2 2 7分析正弦交流电路的基本方法 一 简单正弦交流电路分析方法 采用相量分析法分析简单正弦交流电路和计算一个简单的直流纯电阻电路很相似 所不同的是电路模型是相量模型 电流电压是相量 元件是复阻抗或复导纳 电路方程是复数的代数方程 二 复杂正弦交流电路分析方法 复杂正弦交流稳态电路分析通常用两种方法 相量分析法和图解法 前者建立电路方程求解电路 后都则以相量图为主分析电路 相量分析法方法 支路电流法结点分析法回路分析法 1 结点分析法 结点分析法步骤 1 将电路模型变换成相量模型 规定参考结点 写出各独立结点的KCL方程 2 规定各结点结电压相量的参考极性 利用元件特性方程的相量形式将各支路电流相量表示成结电压的函数 3 将步骤 2 的结果代入KCL方程 解方程得到结电压 取3为参考结点 由KCL方程 各支路电流用结电压表示 将它们代回KCL方程 并整理 解方程组得 2 回路分析法 回路分析法步骤 1 选取独立回路 规定各支路电压相量参考极性和回路绕行方向 写出KVL方程 2 规定各支路电流相量参考正向及回路电流参考正向 将支路电压表示为回路电流函数 3 代入a步的KVL方程 解方程组 求得回路电流 解 按回路分析标出所有相关量的代数表示符号和参考正向 如图 对回路I II III KVL方程为 各支路电流表示为回路电流函数 代回到KVL方程 把已知数据代入 解方程组得 总电流相量 AB间的等效复阻抗 CD间的电压相量 图解法 了解 自学 2 9交流电路的功和功率 一 无源元件吸收的瞬时功率和有功功率 电阻上的电流电压同相 则 可见 电阻R吸收的瞬时功率是按正弦平方规律变化的 求瞬时功率没有多少实际意义 一般是用平均功率 平均功率 电流电压在一周期中瞬时功率的平均值 也叫有功功率 它和直流电路中电阻上损耗的功率是相同的 由相位关系知 电流为 则电容器上的瞬时功率为 电容器吸收的平均功率为 可见 电容器不损耗电源的功率 它不是耗能元件 电容器吸收的瞬时功率并不是始终为零 说明它和电源间有能量交换 在一周期中从电源吸收和向电源释放的能量相等 电容器中有能量存储 所以是储能元件 电容器的有功功率为零 由相位关系知 电压为 电感器吸收的平均功率为 可见 电感器不损耗电源的功率 它也不是耗能元件 也是一种储能原件 二 无源二端网络吸收的瞬时功率和有功功率 1 吸收的瞬时功率 设有无源二端网络 无源惯例 吸收功率为正 设 显然 是电压超前电流的相位 是二端网络的阻抗角 二端网络吸收瞬时功率为 由积化和差公式 则电感器上的瞬时功率为 分析 在第一项中 为常量 则cos 为常量 当二端网络为感性时 当二端网络为纯电阻性时 0 当二端网络为容性时 另外 在二端网络不是纯电感或纯容网络时 由分析知 瞬时功率中的第一项只取正值 反映网络的功率传输是单向的 是一个功率不可逆传输项 换句话说 它是只从电源吸收功率的项 在瞬时功率的第二项中 sin 是可正可负的常量 sin2 t也可正可负 则瞬时功率表示为 所以瞬时功率中的第二项是可逆项 当它取正值时从电源吸收功率 当为负时向电源释放功率 它反映的是无源二端网络和电源间的能量交换 2 吸收的平均功率 讨论 在电流电压有效值一定时 三 动态元件和二端网络吸收无功功率 1 动态原件吸收的无功功率 电容和电感元件是储能元件 它们和电源间只有能量交换 不损耗电源的能量 其有功功率为零 为了量度动态元件和电源间交换能量的多少和快慢并区分交换能量的类别 电容性还是电感性 为此定义无功功率 电容器和电感器的无功功率是反号的 由此判断和电源交换能量的类别 电容型还是电感型 习惯上说 电感元件吸收无功功