高中数学论文：圆锥曲线的几个最值问题.doc

圆锥曲线的几个最值问题圆锥曲线的最值问题一直是圆锥曲线中的重点学习、研究的问题，并有许多结果在数学通报、数学通讯等刊物上发表。文1研究了抛物线的十个最值问题(见文1定理1定理10)，受文1的启发，在文1的基础上，文2研究了椭圆和双曲线的一些最值问题，获得了九个最值问题（见文2定理1定理9）。受文1和文2的启发，在文1和文2的基础上，本文进一步研究了椭圆、双曲线的一些最值问题，获得了七个结果。1.圆锥曲线的垂直弦三角形面积的最值关于抛物线的垂直弦三角形面积的最值，在文1中有：定理 过抛物线的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则. AO X B (图1)关于椭圆和双曲线的垂直弦三角形面积的最值，我们有下列结果：定理2 过椭圆的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则，。证明：不妨设A，B YB AO X （图2）因OAOB，故，即B=OAOB= = =故当时，；当或时，。定理3 过双曲线的中心O引两条互相垂直的动弦OA和OB，则。证明：不妨设A，B， （图3）又OAOB，故，即B=OAOB= = = =故当时，2.圆锥曲线的焦点弦三角形面积的最值关于抛物线的焦点弦三角形面积的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的焦点弦，O为坐标原点，则。 （图4）关于椭圆和双曲线的焦点弦三角形面积的最值，我们有下列结果：定理5 设AB是椭圆的焦点弦，O为坐标原点，则.证明：如下图，以为极点建立坐标系，则椭圆方程， A O X B （图5）过A，B两点向X轴作垂线段，令，则= = = = =，即。当且仅当=，即=时取等号，故有.定理6 设AB是双曲线的焦点弦，O为坐标原点，则.证明：如下图，以为极点建立坐标系，则椭圆方程， Y A O XB（图6）过A，B两点向X轴作垂线段，令，则= = = =令，再令，则，因且，故，即在上为增函数。故于是。3.圆锥曲线的准线与焦点弦的张角的最值关于抛物线的准线与焦点弦的张角的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的焦点弦，准线与抛物线对称轴的交点M，则。 （图7）关于椭圆的准线与焦点弦的张角的最值，在文2中有：定理 设AB是椭圆的右焦点弦，右准线与X轴的交点为M，则。Y A O M XB（图8）关于双曲线的准线与焦点弦的张角的最值，我们获得下列结果：定理9 设AB是双曲线的右焦点弦，右准线与X轴的交点为M，则证明：如下图，过分别作右准线的垂线，垂足分别为. Y O X （图8）由相似关系有：又则=当时，即，于是；当时，即，于； 当时，即,于是. 4.圆锥曲线定长动弦中点到坐标轴距离的最值关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在文1中有：定理 设AB是抛物线的长为的动弦，则（1）当时，AB的中点M到轴的距离的最小值为；（2）当时，AB的中点M到轴的距离的最小值为. Y X （图10）关于抛物线定长动弦中点到坐标轴距离的最值，在本文中有下列结果：定理11 设AB是抛物线的长为的动弦，则AB的中点M到轴的距离的最小值为. （图11）证明：设M，将直线AB的参数方程表示为代入到抛物线方程中，化简并整理得：又A，B即A，B.令， 则由韦达定理和的几何意义及，得故因，故不存在.关于椭圆的定长动弦中点到坐标轴距离的最值，我们有下列结果：定理12 设AB是椭圆的长为的动弦，则（1）当时AB的中点M到轴的距离的最小值为0，最大值为；（2）当时AB的中点M到轴的距离的最小值为0，最大值为证明：设M，将AB的参数方程表示为代入到椭圆方程中，化简并整理得： Y A MB O X （图12）又A，B即A，B.令，则 由韦达定理和的几何意义及，得整理，得，（1）令，则，于是， 因，故，于是为上的增函数.故则当时,即为增函数.故,所以，.（2）令，则，于是，因，故，于是为的减函数.故则当时,即为增函数.故，.所以，.参考文献1李迪淼.关于抛物线的十个最值问题J.数学通报，2002，(8)：