林建伟《大学物理》振动.ppt

第四章振动与波动 4 1振动 Vibration 4 1 1简谐运动的描述 4 1 2简谐振动与旋转矢量 4 1 4 阻尼振动 4 1 3简谐振动 动力学部分 4 1 6简谐振动的合成 4 1 5受迫振动与共振 4 1 8垂直方向同频率简谐振动的合成 4 1 7 同方向不同频率的简谐振动的合成 4 1 9谐振分析 火山 4 1振动 Vibration 振动的概念 机械振动电磁振动 广义振动 任一物理量 如位移 电流等 振动分类 3 受迫振动 外界作用力下的振动 1 自由振动 没有能量的输入与输出 2 阻尼振动 振幅减少的振动 介质阻尼和辐射阻尼 在某一数值附近反复变化 4 参变振动 参数变化的振动 5 随机振动 用概率统计的方法研究 4 1 1简谐运动的描述 一 简谐振动的定义 表达式 x t Acos t 特点 1 等幅振动 2 周期振动x t x t T 二 描述简谐振动的特征量 1 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离 2 周期T和圆频率 T 2 1 T Hz 2 3 相位 1 t 是t时刻的相位 2 是t 0时刻的相位 初相 本章主要研究自由振动 而自由振动中最基本的振动是简谐振动 它是其它一切振动的基础 说明 相位是确定物体振动状态的物理量 不同的相反映不同的态 旋转矢量的长度 M 旋转矢量与参考方向x的夹角 旋转矢量旋转的方向 旋转矢量旋转的角速度 振动位相 振动圆频率 振幅A 逆时针向 M点在x轴上投影P点的运动规律 4 1 2简谐振动与旋转矢量 一 旋转矢量 为在x方向的分量 M P x M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 结论 特别有 表示质点的运动状态 即x和v的情况 例 一物体沿x轴作振幅为A的简谐振动 若初始时该球的状态为 1 x0 A 2 在平衡位置向x轴正方向运动 3 在x0 1 2A处向x轴负方向运动 4 在 处向正方向运动 试用旋转矢量法确定相应的相位 1 x o x 2 解 称振动2超前振动1 若位相差 0 称两振动反相 称两振动同步 振动1滞后振动2 二 相位差 2t 2 1t 1 领先 落后以 的相位角来判断 反相 同相 2 1 0 x2比x1超前 或x1比x2落后 则x2比x1较早达到正最大 三 简谐振动的速度 加速度 1 速度 速度也是简谐振动 比x领先 2 2 加速度 也是简谐振动 v的周相超前x位相 2 a与x的周相相反 速度曲线是x t 曲线的斜率 加速度曲线是v t 曲线的斜率 例 两质点作同方向 同频率的简谐振动 振幅相等 当质点1在x1 A 2处 且向左运动时 另一个质点2在x2 A 2处 且向右运动 求这两个质点的相位差 解 由牛顿定律 4 1 3简谐振动 动力学部分 一 简谐振动的动力学方程 1 动力学方程 当t 0时 2 初始条件 得 振动动力学方程 二 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例 1 简谐振动系统的能量特点 1 动能 2 势能 3 机械能 简谐振动系统机械能守恒 2 由起始能量求振幅 x t T E Ep Ek 1 2 kA2 o 三 简谐振动的动力学解法 例 a b k1 k2同时存在 结论 串联 并联 例 一弹簧振子k 8N m m 2kg x0 3m v0 8m s 求 A 及振动方程 若取 则有 不合题意 t 0时 t 1时 本题 的另一种求法 例 质点振动方程为 SI 1 当x 系统势能为总能量的一半 2 系统由平衡位置到此位置所需的最短时间 解 1 2 例 一只钟摆 单摆 在g 9 8m s2处走时准确 移到另一地点 每天快10s 问该地的重力加速度为多大 解 方法一 牛顿定律法 例 角振动单摆 方法二 能量法 取如图位置重力势能为0 例一落地座钟的钟摆是由长为l的轻杆与半径为r的匀质圆盘组成 如图所示 如摆动的周期为1s 则r与l间的关系如何 解 可得r与l的关系式 比较上两式得到 取静平衡位置为坐标原点 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b 用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手 求证 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 kb mg 0 方法一 牛顿第二定律方法 自然长度 b 平衡位置 x 任意位置时小球所受到的合外力为 可见小球作谐振动 mg kb 0 mg F 方法二 能量法 自然长度 考虑任意位置 取平衡位置重力势能为0 可见小球作谐振动 例 水面上浮有一方形木块 在静止时水面以上高度为a 水面以下高度为b 水密度 不计水的阻力 现用外力 木快密度为 为 将木块压入水中 使木快上表面与水面平齐 求证 木块将作谐振动 并写出谐振动方程 平衡时 任意位置木块受到的合外力为 合外力和位移成正比 方向和位移相反 木块作谐振动 任意位置 由牛顿定律 任意位置 例 一物体放在水平平板上 此板沿水平方向作谐振动 2Hz 物体与板面间的摩擦系数 0 50 问 1 要使物体在板上不滑动 振幅的最大值是多少 2 若使该板作竖直方向的谐振动 A 5Cm 使物体与板保持接触的最大频率是多少 x f a 解 1 m x a mg 2 据分析可知物体应该在平衡位置上方才能分离 当在下方时 N mg ma 0 不可能分离 此时 mg N maN mg ma m g a 欲使物体不分离 需当a amax时 N 0 即当amax g时 物体m不分离 反之 则分离 若已知 问物体在何处分离 例 质量为m的比重计 放在密度为 的液体中 已知比重计圆管的直径为d 试证明 比重计推动后 在竖直方向的振动为简谐振动 并计算周期 解 取平衡位置为坐标原点 平衡时 浮力 其中V为比重计的排水体积 一 阻尼振动方程 1 系统受力 弹性力 kx 2 振动方程 阻尼力 4 1 4阻尼振动 其中 解得 方程的解为 其中3是刚好是使物体做非周期性的运动 这种情况叫做临界阻尼 处于这种状态物体从运动到静止所需的时间是最短的 在灵敏电流计等精密仪表中 为了使人们能较快地进行读数测量 常使电流计偏转系统处于临界阻尼状态下工作 4 1 5受迫振动与共振 一 受迫振动在外来策动力作用下的振动 1 系统受力 弹性力 阻尼力 强迫力的圆频率 力幅 周期性干扰力 强迫力 kx 2 动力学方程 令 得 方程的解为 在达到稳定态时 系统振动频率等于强迫力的频率 3 稳态解 x Acos t 4 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 1 频率 等于策动力的频率 2 振幅 求A的极值得 3 初相 二 共振 在一定条件下 振幅出现极大值 振动剧烈的现象 1 位移共振 1 共振频率 2 共振振幅 若 则 r 0Ar h 2 称尖锐共振 2 速度共振 一定条件下 速度幅 A极大的现象 r 0 mr h 2 vr 0 速度共振时 速度与策动力同相 一周期内策动力总作正功 此时向系统输入的能量最大 1940年 TacomaNarrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动 又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌 物体同时参与两分振动 合振动的振幅为 一 同方向同频率振动的合成 4 1 6简谐振动的合成 x Acos t 3 两种特殊情况 1 若两分振动同相 2 1 2k k 0 1 2 2 若两分振动反相 2 1 2k 1 k 0 1 2 如A1 A2 则A 0 则A A1 A2 两分振动相互加强 则A A1 A2 两分振动相互减弱 例 设有N个矢量 模的大小都为a 相邻两个矢量依次构成夹角 求合矢量的大小和方向 并作讨论 解 N 二 同方向N个同频率的简谐振动的合成 R N 二 同方向N个同频率的简谐振动的合成 例 三个同方向同频率的谐振动 试用旋转矢量法求合振动的方程 解 三个对应的旋转矢量如图所示 2 合振动 合振动不是简谐振动 当 2 1时 2 1 2 1 其中 随 缓变 随 快变 合振动可看作振幅缓变的简谐振动 x x1 x2 4 1 7同方向不同频率的简谐振动的合成 1 分振动 x1 Acos 1tx2 Acos 2t 例 第一音叉和第二音叉 f2 384Hz 的标准音叉同时振动 它们每秒产生三个拍频 当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时 拍频减少 试问第一个音叉的频率是多少 拍频 单位时间内强弱变化的次数 合振动振幅为 4 1 8垂直方向同频率简谐振动的合成 1 分振动 2 合运动 设 设 合振动振幅为 合运动一般是在2A1 x向 2A2 y向 范围内的一个椭圆 椭圆的性质 方位 长短轴 左右旋 在A1 A2确定之后 主要决定于 2 1 四 垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小 2 1 t 2 1 可看作两频率相等而 2 1随 缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形 x y 3 2 2 0 1 4