浙江师范大学《高等数学》高数重积分复习题.ppt

多元函数的积分学 总复习重积分的计算及应用 考题分析 1987 2000共考30题 主要内容有 二重积分的计算 16题 三重积分的计算 9题 重积分的应用 重点求面积 体积 5题 例1计算 解 例2 积分 解 先交换顺序 原积分 例3 且 则 提示 由已知条件 例4 1 设 3 设D是由 和两坐标轴围成的三角形 则 提示 例5计算 解 化为二重积分 再利用极坐标得 例6计算 解 用形心公式 D的面积 例7 计算 解 积分区域 原点对称 于是 例8 设D是由 解 所围成的区域 为连续函数 计算 加辅助曲线 第二个积分为0 解 例9 计算 其中 是由心脏线 和圆 所围的面积 取圆外边 例10 解 例11 是D在第一象限的部分 则 提示 如图 由对称性知 在 上是关于y的奇函数 在 上是关于x的偶函数 A 设D是以 1 1 1 1 1 1 为顶点的三角 形域 例12 计算二重积分 其中 解 作曲线 分区域D为 则 原式 例13求球面 被平面 所夹部分的面积 解 例14 设 在 上连续 证明 证明 左端 例15 设 在 上连续 证明 证 左端 右端 辅导P246 例16一半圆环面 是由半径为a和b b a 的两个同 心圆围成 已知环的各点处的密度和到圆心的距离成 正比 且在内圆的圆周上密度为1 在圆心处有一质量 为m的质点 求圆环面对质点的引力 解由题意知 当 时有 根据对称性 引力在x轴上的投影为0 在y轴上的投影 解 利用球面坐标 例17 计算 其中 由 和 所围成的 关于yoz面对称 为的奇函数 有 解 方法1 用直角坐标计算 例18 用四种方法计算 在第一卦限的部分 辅导P242 用柱坐标计算 方法3 用球坐标计算 方法2 用 先二后一 计算 方法4 与平面围成的立体 解 用球面 例19 其中由锥面 两部分 辅导P250 与平面围成的立体 例19 其中由锥面 则 提示 其形心为 其体积为 例20 已知 例21 提示 记积分域为 由对称性知 原式 例7 由不等式 所确定形体 的体积V 提示 用柱坐标 例22 设 由 确定 由 所确定 则 提示 C 右边为正 显然不对 故选 C 利用对称性可知 A B D 左边为0 上半球 第一卦限部分 例23 计算三重积分 其中 解 积分域如图 用 先二后一 法计算 原式 练习 求曲面 和 所围 立体的体积V 答案 例24 将三次积分 化为球面坐标系下的三次积分 其中 在已知区域上连续 解 积分域 记 原式 例25 求 是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z 2 解 旋转曲面方程为 原式 和z 8所围成的立体 例26 围成 解 由积分域及被积函数的特点 故采用 先二后一 的方法较方便 即 计算 其中域由 例27 轴的转动惯量 解 即求 方法1 求均匀球体 体密度为1 绕 例28 方法2 先二后一 轴的转动惯量 求均匀球体 体密度为1 绕 例28 例29计算 解 先利用球面坐标求三重积分 例1 判断积分 有怎样的符号 解 选择题