第六章 力法(一).doc

第六章 力 法6.1 超静定结构及超静定次数的确定6.1.1 超静定结构前面几章主要是讨论静定结构的内力分析及位移计算方法。本章主要是讲述超静定结构的内力分析及位移计算方法。力法解超静定结构是最早提出的方法，也是其他求解超静定结构方法的基础。在实际工程结构中，不仅有静定结构，而且更多的是超静定结构。作为一名土木工程的结构师或施工现场的技术人员必须掌握超静定结构内力及位移的计算方法。静定结构和超静定结构在几何构成及解法上是有区别的，以图6.1所示为例，图（a）是静定结构，图（b）是超静定结构。 FP FP FXCBCB C FYC FYC FXA A FXA A FYA FYA （a） （b） 图6.1 静定结构与超静定结构图6.1（a）所示从几何构成分析的角度来看是无多余约束的几何不变体系，称为静定结构；从受力的角度分析，其结构有三个支座反力，利用三个静力平衡方程（X=0，Y=0，M0=0）可以求出其支座反力，进而可以求出结构中任何一个截面的所有内力。图6.1（b）所示，从几何构成分析的角度来看是有一个多余约束的几何不变体系，称为超静定结构；从受力的角度分析，其结构有四个支座反力，利用三个静力平衡方程不能求出其全部支座反力，因而也不可能对结构内力进行完全求解。要想求得支座反力，就必须增加一个补充方程。超静定结构中的多余约束，是以几何构成分析得出的结论，并不是不需要的约束。合理的设置多余约束使结构受力更合理，但增加了解题的难度。超静定结构的基本类型如下：1） 超静定梁。有单跨超静定梁；多跨超静定梁，也称为连续梁（图6.2）。2） 超静定刚架。分为单跨或多跨；单层或多层刚架（图6.3）所示。 （a） （b）（c）图6.2 超静定梁（a）（b） （c） （d）（e） （f）图6.3 超静定刚架3） 超静定桁架。分为外部有多余约束；内部有多余约束；内、外部均有多余约束的桁架（图6.4）。（a） （b） （c）图6.4 超静定桁架4） 超静定拱。分为无铰拱；两铰拱；带系杆的拱（图6.5）。（a） （b） （c） 图6.5 超静定拱5） 超静定组合结构。由受弯杆和轴力杆组成（图6.6）。 （a）（b）图6.6 超静定组合结构 6.1.2 超静定次数的确定超静定次数等于超静定结构多余约束的个数，需要用几何构成分析的方法确定。从受力分析来看，多余约束的个数就是求解全部未知量所需要增加方程的数目。从几何构成分析来看，可以认为在静定结构中加了多余约束，就成了超静定结构。将超静定结构（这里称原结构）的多余约束去掉，用未知力X代替的图称为基本体系，如图6.7所示。 X1原结构 基本体系(a) (b) 图6.7 原结构和基本体系基本体系必须是没有多余约束的几何不变体系，没有多余约束和几何不变两个条件缺一不可，这是非常重要的。一个超静定结构可能有多个不同的基本体系。如图6.7（a）所示的结构，可以取几种不同的基本体系,如图6.8（a）(f)所示。 X1 X1X1（a） （b） （c） X1 X1 X1 X1X1 （d） （e） （f）图6.8 同一个原结构多种基本体系原结构取基本体系，去除多余约束的方法可归纳如下：（1）去掉或切断一根链杆，相当于去除一个约束，代之以一个未知力X1，如图6.9（a）所示。（2）将刚结点或梁式杆某个截面改为单铰，相当于去除一个约束，代之以一个未知力X1，如图6.9（b）、（c）所示。（3）拆开一个单铰或去掉一个铰支座，相当于去除两个约束，代之以两个未知力X1、X2，如图6.9（d）、（e）所示。（4）将梁式杆截断或去掉一个固定支座，相当于去除三个约束，代之以三个未知力X1、X2、X3，如图6.9（f）、（g）所示。X 2X 1 X1 X2 （a） X3 X1 X1 X1 X1（b） （c） X2 X2 X2X1X1 X1（d） （e）X1X1 X3 X3X3X1X2X2X2（f） （g）图6.9X4X4X5根据上面的总结很容易确定基本体系。如图6.10所示。X4X2X2X4X3 X3 X1 X1 X6 X6 X1 X2X5 X3 X6 原结构基本体系一 基本体系二 （a） （b） （c） 图6.106.2 力法的基本概念与力法的典型方程6.2.1 力法的基本概念静定结构可以由静力平衡条件求出所有的支座反力和内力，超静定结构就不那么简单了。超静定结构由于存在多余约束，需要补充方程才能求解，补充的方程称为力法方程，力 法解题需要考虑以下三个方面的问题：1）静力平衡条件：X=0，Y=0，M=02）变形协调条件：也称位移协调条件，即基本体系的变形与原结构的变形相一致。3）物理条件：在线弹性条件下，位移与力成正比。以图6.11(a)所示的一次超静定结构为例，分析是如何满足以上三个条件的。q q qB1PAEIBEI C AX1 B C A C 原结构 基本体系 （a） （b） （c）ABCAB11 11CX1 X1=1 （d） （e） 图6.11（1）基本未知量和基本体系在图6.11(a)中把B支座作为多余约束,去掉B支座用未知力X1代替,则基本体系为图6.11(b)。显然，基本体系是简支梁，上面作用两个荷载，即均布荷载q和未知力X1。（2) 受力分析在原结构中，荷载q为常数时，B支座反力是被动力，为固定值。在基本体系中，只要简支梁不破坏，无论X1大小怎样变化，简支梁均可以维持平衡。（3) 变形协调条件在原结构中，由于B点受支座约束，B点的竖向位移等于零，即： （6-1a）当均布荷载q为常数单独作用在基本体系上，B点向下的位移是定值为1P，如图6.11(c)所示；X1单独作用在基本体系上，在B点产生的位移是11，如图6.11(d)所示，如果X1大小是变化的，11也随之变化，根据叠加原理X1和荷载q共同产生的位移11+1P也是一个不确定的量。但是，根据变形协调条件原结构与基本体系的变形应该是协调一致的，即基本体系中B点的位移与原结构中B点的位移相等，其代数和为零。因此有： （6-1b） （4）物理条件设X1=1作用时产生的位移是11，根据线性弹性体的条件，位移与力成正比，则X1产生的位移为： （6-1c）（5) 力法方程及解答由式（6-1b）及式（6-1c）得： （6-1）式（6-1）是补充方程，它实质是变形协调方程，称为力法方程。式（6-1）把求X1的问题转化为求位移11和1P的问题，可以利用第四章的积分法或图乘法求解位移得到11和1P。 2X11图 MP图 M图 （a） (b) （c）图6.1211是X1=1单独作用在基本体系上时沿X1方向的位移，1P是原结构的外荷载单独作用在基本体系上时沿X1方向的位移。在以图乘法求解位移时，图是X1=1单独作用在基本体系上时，求得的弯矩图，如图6.12(a)所示；MP是原外荷载单独作用在基本体系上，求得的弯矩图，如图6.12(b)所示。11为图自乘： 1P为图和MP图图乘： 代入（6-1）式得： 计算结果X1为正值，说明X1的实际方向与假设方向相同，如果求得的X1为负值，说明X1的实际方向与假设方向相反。(6)作M图作最后的弯矩图可由两种途径考虑。一是把X1=及原有外荷载均加在基本体系上，由平衡条件作出M图；二是利用叠加原理，按（6-2）公式的弯矩方程求出控制点的弯距值，根据荷载情况连线即可。 （6-2）由以上分析可知，力法解超静定结构在选取了基本体系后，就变成了静定结构求内力和位移的问题了。因此，静定结构求内力和位移是解超静定结构的基础。6.2.2 力法的典型方程在6.2.1节中，我们以一次超静定为例讨论了力法的概念，从整个过程看，建立力法方程是力法解超静定结构的关键。因为涉及到的其他知识，如几何构成分析确定多余约束、利用平衡条件及叠加法作静定结构内力图、求静定结构的位移等，在前面几章中都已经掌握，因此, 我们下面只讨论力法的核心问题：超静定结构的力法典型方程。1 多次超静定结构的力法方程我们以三次超静定结构的力法求解为例。图6.13 (a)所示为三次超静定结构，把固定端B支座去掉，分别用三个未知力X1、X2、X3代替多余约束，基本体系见图6.13 (b)，为静定悬臂刚架。在基本体系上作用有X1、X2、X3、FP四个力。X3 X1=12131BBFpBFP C B C X1 C X2 原结构 基本体系 A A A （a） （b） （c） 122232BBFp2P1P3PBBX3=13313BBC 23 C X2=1 C （f）（e）A A A （d）图6.13设X1=1单独作用在基本体系上时，自由端B点在X1、X2、X3方向上的位移分别为11、21、31，图6.13（c）所示，根据位移与力成正比的关系，X1作用下B点在X1、X2、X3方向上的位移分别为11 X1、21 X1、31 X1；设X2=1单独作用在基本体系上时，自由端B点在X1、X2、X3方向上的位移为12、 22、32，图6.13（d）所示，根据位移与力成正比的关系，X2作用下B点在X1、X2、X3方向上的位移分别为12 X2、22 X2、32 X2；同理，设X3=1单独作用在基本体系上时，图6.13（e）所示，X3作用下B点在X1、X2、X3方向上的位移分别为13X3、23X3、33X3；FP单独作用在基本体系上时，图6.13（f）所示，B点在X1、X2、X3方向上的位移分别为1P、2P、3P。令X1=1、X2=1，X3=1，FP四个力分别单独作用在基本体系上，如图（c）、（d）、（e）、（f）。由叠加原理可以求得上述四个力在基本体系上沿X1、X2、X3方向的位移之和分别为1、2、3：1=11 X1+12 X2+13 X3+1P 2=21 X1+22 X2+23 X3+2P （6-3a）3=31 X1+32 X2+33 X3+3P在原结构上由于B点是固定端，B点的水平位移1（沿X1方向），竖向位移2（沿X2方向），转角3（沿X3方向）均为零，即有：1=0 2=0 3=0因此，由位移协调条件得：11 X1+12 X2+13 X3+1P=021 X1+22 X2+23 X3+2P=0 （6-3b）31 X1+32 X2+33 X3+3P=02 n次超静定结构力法方程的建立n次超静定结构具有n个多余约束，把多余约束去掉用力来代替得到基本体系，必然有n个未知力，基本体系上所受的力有X1、X2、Xn和原有外荷载，它们分别在基本体系上沿X1、X2、Xn方向上产生位移，根据叠加原理和位移协调条件得： 11 X1+12 X2+1n Xn+1P=021 X1+22 X2+2n Xn +2P=0 （6-4）n1 X1+n2 X2+nn Xn +nP=0式（6-4）为n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般表达式，称为力法典型方程。如果所求的结构有n个基本未知量，根据典型方程即可列出n个方程。说明：（1）ij（ij）：表示Xj =1单独作用在基本体系上沿Xi方向产生的位移，下标第一个字母表示产生位移的方向，第二个字母表示产生位移的力。ij称为副系数，根据位移互等定理，ij=ji，则副系数沿对角线是对称的。（2）ii（11、22、nn）：Xi=1单独作用在基本体系上沿Xi方向产生的位移，在主对角线上，称为主系数，均为正值。（3）iP：表示原结构的外荷载单独作用基本体系上时，在i方向产生的位移。iP称为自由项。副系数和自由项可以是正值，也可以是负值，或为零。力法典型方程中的系数和自由项均为已知荷载作用在基本体系上产生的位移，可以用第四章求位移的计算方法求得。力法方程系数也称柔度系数，力法方程也称柔度方程，力法也称柔度法。力法解超静定结构时基本未知量为力，力法方程是位移协调方程，即为位移方程。力法典型方程计算系数、自由项的一般公式： （6-5）6.3 力法的计算步骤和示例6.3.1 力法的计算步骤1 基本未知量的确定及基本体系的选择利用几何构成分析确定超静定次数，把多余约束去掉，用未知力X代替，称为选定基本体系。一个题目可能有多种基本体系，选定的基本体系一定是无多余约束的几何不变体系，如果不慎选择了常变体系或瞬变体系就错了。2 列力法方程基本体系确定后，则确定了未知量的个数。有n个多余约束就有n个基本未知量，也就有n个方程，根据式（6-4）力法典型方程的规律可以直接写出力法方程。3 求力法方程的系数和自由项利用静定结构求位移的知识求系数和自由项，将X1=1、X2=1、Xn=1及原结构外荷载分别单独作用在基本体系上，并作出内力图。求系数和自由项要看下标，如求ij一定是Xi=1和Xj=1对应的内力图图乘或积分求得；iP一定是Xi=1和外荷载对应的内力图图乘或积分求得。4 解方程把求得系数和自由项代回到力法方程中，解方程即可求得X1、X2、Xn。5 作内力图利用叠加法作内力图。 (6-6) 式中：、Xi=1单独作用在基本体系上时，产生的内力；、外荷载单独作用在基本体系上时，产生的内力。另外，也可以把X1、X2、Xn及外荷载共同加在基本体系上，由于基本体系是静定结构，很容易求出其内力。一般是把上面两种方法综合起来应用，首先利用式（6-6）求控制截面内力，然后用第二种方法绘制内力图。6.3.2 超静定梁和刚架示例在刚架的位移计算中，除了高层结构考虑柱轴力的影响，一般情况下，在梁、刚架和排架的位移计算中，忽略轴向和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形的影响。因此（6-5）式可以简化为： （6-7）对于特殊情况，要根据实际受力状况处理，如高层框架结构柱的轴力比较大时，要考虑轴力对位移的影响；杆件短而截面尺寸比较大时，要考虑剪力对位移的影响。1 超静定梁的计算【例61】 已知如图6.14(a)所示，作内力图，并求出支座反力。q=10KN/mX1X1X2X2BCADBCEI2EIEI4m8m8mq=10KN/mAD 基本体系原结构（a） （b）X2=1X2=11X1=1X1=1 1 （c） （d）23.8417.028059.57图（单位: KNm） 图(单位:KNm)（e） （f） 图6.14【解】：（1）确定超静定次数，取基本体系。根据几何构成分析，图6.14（a）所示为二次超静定结构，取基本体系如图6.14(b) 所示。（2）列力法方程。由于原结构在B处为连续梁，AB杆B端与BC杆B端的转角为同一数值，相对转角为零。C点的分析同上。根据变形协调条件有：11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0（3）求系数和自由项。基本体系如图6.14（b）所示，利用几何构成分析，AB、BC、CD可以看作独立的静定梁。将X1=1、X2=1、荷载分别作用在基本体系上，作出弯矩图、，如图（c）、（d）、（e）所示。图乘求系数和自由项。（4）解方程。将求出的系数和自由项代入到力法方程中简化为： 解得： 计算结果X1、X2为负值，说明实际方向与基本体系中假设的未知量方向相反。（5）作M图。利用叠加原理：= 求出A、B、C、D点及BC杆跨中的弯矩，并作出M图，如图6.14（f）所示。（6）利用弯矩图作剪力图。分别取AB杆、BC杆、CD杆为隔离体，如图6.15（a）、（b）、（c）所示。FQBCFQCBB Cq=10KN/m23.8423.84 FQAB17.02FQBA17.02C D23.84 A BFQDCFQCD（a） （b）（c）FQ图（KN）39.152.9840.85ABMA17.02 39.15000FxAFyB （d） （e） （f）40.852.98CFyC2.98FyDD图6.15（g） (h)AB杆：，求得：；，求得：BC杆、CD杆同理，得：作出剪力图，如图6.15（d）所示。（7）求支座反力。利用剪力求支座反力，分别取A、B、C、D支座为隔离体，如图6.15（e）、（f）、（g）、（h）所示。利用静力平衡条件：A支座：MA=0，MA=17.02(KNm) X=0，FXA=0；B支座：Y=0 FyB=39.15(KN)同理：C支座：FyC=43.83(KN)；D支座：FyD=2.98(KN) 2静定刚架的计算【例62】 已知如图6.16 (a)所示，求作内力图。【解】（1）选基本未知量，确定基本体系。图6.16(a) 所示是一个二次超静定结构，可以把D铰拆开，用力代替。CD杆D端的X1、X2与BD杆D端的X1、X2互为作用力与反作用力，基本体系如图 6.16 (b)所示。（2）列力法方程。由于原结构BC杆和CD杆由铰C连在一起，变形协调条件为：CD杆D端及BD杆D端的相对水平位移和相对竖向位移均等于零。力法方程为：11X1+12 X2+1P=021X1+22 X2+2P=0 qqX1X1=1 C DX2X2EI 2EI 2EI X1 X1=1 AB原结构 基本体系 图（a） （b） （c） X2=1 X2=1M图 图图 （d） （e） （f） q FN图FQ图（g） （h） （i）图6.16（3）求系数和自由项。将X1=1、X2=1、原外荷载分别单独作用在基本体系上，作出弯矩图、，如图6.16（c）、（d）、（e）所示。利用图乘法求系数和自由项。 （4）解方程。简化为： 解得： 计算结果X1、X2为正值，说明未知力实际方向与假设方向相同。（5）根据=，作M图，见图6.16（f）所示。 （6）作FQ、FN图将荷载、及荷载加在基本体系上，如图6.16（g）所示，利用平衡条件求静定结构的FQ、FN图，如图6.16（h）、（i）所示。3. 排架结构的计算单层工业厂房通常为排架结构，排架结构由牛腿柱和屋架组成，图6.17（a）所示。柱与杯型基础之间由细石混凝土浇筑，屋架与柱顶预埋的钢板焊接。在计算简图（b）中，柱底简化为固定端，屋架被作为刚度无限大的链杆（EA，C、D两点的相对线位移保持不变），与柱顶铰接。图（b）所示排架为一次超静定结构，通常取基本体系是把CD杆的轴力约束去掉，如图（c）所示，在链杆的切口处，可理解为如图（d）的形式。屋架ABX1X1C EA D C X1 X1 D吊车梁(d)吊车钢架梯形柱A B杯型基础（a） （b） （c） 图6.17 【例63 】 已知如图6.18（a）所示，柱上部抗弯刚度为EI1，下部抗弯刚度为EI2，其中：。柱承受吊车制动力为15KN，试作M图。2m15KNE EAFX1 X 1X1=1 X1=1 1mG 15KN EI1 2C D 3 EI2 7mAB10 10原结构基本体系图（a） （b） （c）15KN 9.74150.3912071.3 48.7图(KNm) 图(KNm)（d） （e） 图6.18【解】（1）确定基本体系。选基本未知量，确定基本体系，如图6.18（b）所示。（2）列力法方程。在切口处的相对线位移为零。力法方程为：11X1+1P=0（3）求系数和自由项。 （4）解方程。 （5）作M图。 如图6.18（e）所示。6.3.3超静定桁架的计算超静定桁架结构，受结点荷载作用，由于杆件只受轴力的作用，弯矩和剪力为零。位移计算只与轴力相关。通常情况，桁架各杆为等直杆，EA=常数，因此计算力法方程中的系数和自由项公式为： （6-8）解力法方程，求出未知量后，各杆的轴力为：=X1+X 2+X n+ （6-9）【例64】 已知如图6.19（a）所示，杆件EA=常数，求各杆的内力。-0.40FP1.41FP-0.85FP0.57FP00 1E F FP FP 0 0 FP 0 FPa00 00 -FP 0 -FPC D X1 X 1 X 1=1 0 0 -0.40FP2FP1.60FP -1.40FPa 1 1 -FPA B FP a原结构 基本体系 图 FNP图 FN图（a） （b） （c） （d） （e）图6.19【解】（1）确定基本体系。确定基本未知量，选基本体系，如图（b）所示。（2）列力法方程。由于CD杆切口处在原结构中是连续的，切口的相对位移为零。变形协调方程为：（3） 求系数和自由项。将X1=1和荷载分别作用在基本体系上，求得各杆的轴力，如图6.19（c）、（d）所示。系数和自由项计算见表6-1，由表最后一行可知。（4）解方程。 （5）求各杆的轴力。见表6-1最后一列及图6.19（e）。表6-1桁架杆内力计算杆件杆长AB10aa/EA00.40FPAC12FPaa/EA2FPa/EA1.60FPAD0a