长征医院护士值班安排

医院护士值班安排计划一问题重述长征医院是长宁区的一所区级医院，该院每天各个时间段内欲求的值班护士数如表一所示：表1：各时间段值班护士需求人数时间区段6:0010:0010:0014:0014:0018:0018:0022:0022:006:00需求数1820191712该医院护士上班分五个班次, 每班八小时, 五个班次分别为：2:00-10:00,6:00-14:00,10:00-18:00,14:00-22:00,18:00-2:00（次日）.每名护士每周上五个班, 并被安排在不同的日子.方案要求人员或经济上比较节省接且合情合理.方案1：每名护士连续上班5天, 休息2天, 并按从第一天起从第一班到第五班顺序安排.方案2:每名护士在周六、周日两天内安排一天, 且只安排一天休息, 再在周一到周五安排4个班, 同样上班五天分别顺序安排5个不同班次.方案3:在方案2基础上, 部分护士放弃周末休息, 即周一到周三顺序安排三天值班, 加周六周日共五个班分别安排不同班次.作为奖励，规定放弃周末休息的护士，其工资和奖金总额比其他护士增加a%.根据上述，帮助长征医院的总护士长分析研究： （a）对方案1,2建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解; （b）对方案3，同样建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解，然后回答a的值为多大时，第3方案较第2方案更经济.二问题分析与模型的建立方案1:此方案要求连续上班五天且五天内顺序安排五个不同的班次，则设：表示星期i上第一班的护士人数，则由题意可得值班人数安排表如下：表2:方案1护士值班安排模型 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:006:0014:0010:0018:0014:0022:0018:002:00 由题已知得，在6:0010:00这个时间段内第一班和第二班的时间均在其内，则第一班和第二班总人数应满足这个时间段内的需求人数，同理：二、三班总人数应满足10:0014:00时间段内的人数需求，三、四班总人数应满足14:0018:00时间内的人数需求，四、五班总人数应满足18:0022:00时间内的人数需求，另外应注意的是在22:006:00这个时间段内第五班和第一班应分别满足这个时间段内的人数需求，则由此可得出以下约束条件： 最后，题目要求值班护士人数最少，即就是使最小，令 Z 为安排的值班护士的总人数，将上述条件整理可列出如下线性规划模型：方案2：此方案规定每名护士在周六、周日两天里必须工作一天, 安排休息一天，周一到周五连续安排4个班, 所以可以先安排周末的护士值班情况: 周六、周末两天共10个班次, 设：表示周六周末两天10个班次的值班护士人数, 其中分别代表周六第1个到第5个班次的护士人数, 分别代表周日从第1个到第5个班次的值班护士人数. 其值班安排表如下: 表3：方案2护士值班安排模型 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:00+6:0014:00+10:0018:00+14:0022:00+18:002:00+分析同方案一可得：将上述条件整理可列出如下线性规划模型：方案3： 此方案中一部分护士周末两天都上班, 另外一部分护士周末只上一天.连续上班5天, 休息2天，且5个班分别安排在不同的班次. 因此, 先安排周末的值班, 设: 为周末只上一天班的护士人数，其中分别代表周六第1个到第5个班次的护士人数, 分别代表周日从第1个到第5个班次的值班护士人数，周末两天都上班的护士人数，其中表示周六第1个到第5个班次的护士人数,则其值班安排表示如下:表4：方案3护士值班安排模型 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:00+6:0014:00+10:0018:00+14:0022:00+18:002:00+同上可列出线性规划模型如下：三模型的求解方案1：用lingo解得：=12，=12，=12，=12，=12，=12，=12；所需的最少值班总人数为84人，其值班安排表如下：表5：方案1护士值班安排 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:00121212121212126:0014:001212121212121210:0018:001212121212121214:0022:001212121212121218:002:0012121212121212方案2:用lingo求解得：=12，=12，=13，=7，=12，=12，=13；=7，=12，=12；所需的最少值班总人数为112人，其值班安排表如下：表6：方案2护士值班安排 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:00122414261212126:0014:001224241413121310:0018:0013242424713714:0022:0072624241271218:002:0012142624121212方案3： 用lingo求解得：=12，=12，=6，=14，=5，=5，=13；=0，=1，=12，=0，=7，=11，=0，=7；表7：方案3护士值班安排 星期班次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2:0010:00121721191212126:0014:00122417146191310:0018:0013172461417714:0022:0072624245141218:002:0012211917121212方案3与方案2的比较：由于放弃周末休息的护士其工资和奖金总额比其他护士增加a%, 假设未放弃周末休息的护士的工资为：P元，在方案3中放弃周末休息的人数有25人，周末休息一天的有80人，若使第3方案较第2方案更经济，可有如下式子成立：80*P+25*P*(1+a%)112*P 。解得：a=20;x1+x7=20;x2+x3=20;x3+x4=20;x4+x5=20;x5+x6=20;x6+x7=20;x1=12;x2=12;x3=12;x3=12;x4=12;x5=12;x6=12;x7=12;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 84.00000 Objective bound: 84.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 12.00000 1.000000 X2 12.00000 1.000000 X3 12.00000 1.000000 X4 12.00000 1.000000 X5 12.00000 1.000000 X6 12.00000 1.000000 X7 12.00000 1.000000方案2：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;x1+x5+x9+x10=20;x1+x2+x6+x10=20;x2+x3+x6+x7=19;x3+x4+x7+x8=18;x1+x2=18;x1+x5=17;x2+x3=20;x3+x4=20;x4+x5=19;x6+x7=18;x7+x8=20;x8+x9=19;x9+x10=17;x2+x6=12;x3+x7=12;x4+x8=12;x5+x9=12;x1=12;x2=12;x5=12;x6=12;x9=12;x10=12;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);gin(x8);gin(x9);gin(x10);运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 112.0000 Objective bound: 112.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost X1 12.00000 1.000000 X2 12.00000 1.000000 X3 13.00000 1.000000 X4 7.000000 1.000000 X5 12.00000 1.000000 X6 12.00000 1.000000 X7 13.00000 1.000000 X8 7.000000 1.000000 X9 12.00000 1.000000 X10 12.00000 1.000000方案3：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+y1+y2+y3+y4+y5;x4+x5+x8+x9+y2+y3=18;x1+x2+x6+x10+y4+y5=20;x1+x5+x9+x10+y3+y4=20;x2+x3+x6+x7+y1+y5=19;x3+x4+x7+x8+y1+y2=17;X6+x10+y4+y5=18;x3+x4+x7+x8=18;x1+x2+y1+y2=18;X6+x7+y1+y5=20;x4+x5+x8+x9=20;x2+x3+y2+y3=20;X7+x8+y1+y2=20;x1+x5+x9+x10=19;X3+x4+y3+y4=19;X8+x9+y2+y3=19;x1+x2+x6+x10=17;X4+x5+y4+y5=17;X9+x10+y3+y4=17;x8+x9+y2+y3=19;x7+x8+y1+y2=19;x4+x5+y4+y5=17;x9+x10+y3+y4=17;x5+x9+y3=12;x4+x8+y2=12;x3+x7+y1=12;X2+x6+x1=12;x2+x3=18;x3+x4=20;x4+x5=19;x1+x5=17;x10+y4=12;x1+y1=12;x6+y5=12;x9+y3=12;x5+y5=12;x10+y4=12;x3+x7=12;x1=12;x2=12;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);gin(x8);gin(x9);gin(x10);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 105.0000 Objective bound: 105.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 14 Variable Value Reduced Cost X1 12.00000 1.000000 X2 12.00000 1.000000 X3 6.000000 1.000000 X4 14.00000 1.000000 X5 5.000000 1.000000 X6 5.000000 1.000000 X7