（试题 试卷 真题）探索规律型问题（共14页）

探索规律型问题探索规律型问题 一 选择题 1 2013 年安徽初中毕业考试模拟卷一 在平面直角坐标系中 对于平面内任一点 m n 规定以下两种变换 f m nmn 如 2 1 2 1 f g m nmn 如 2 1 2 1 g 按照以上变换有 3 43 43 4fgf 那么 3 2gf 等于 A 3 2 B 3 2 C 3 2 D 3 2 答案 A 2 2013浙江省宁波模拟题浙江省宁波模拟题 图 1 是一个 八角星形纸板 图中有八个直角 八个相等 的钝角 每条边都相等 如图 2 将纸板沿虚线 进行切割 无缝隙无重叠的拼成图 3 所示的 大正方形 其面积为 8 42 则图 3 中线段 AB的长为 答案 12 3 2013浙江省宁波模拟题浙江省宁波模拟题 如图 已知A1 A2 A3 An是x轴上的点 且 OA1 A1A2 A 2 A 3 An An 1 1 分别过点A1 A2 A 3 A n 1作x轴的垂 线交一次函数 1 2 yx 的图象于点B1 B2 B3 B n 1 连结A1 B2 B1 A2 A2 B3 B2 A3 An B n 1 Bn A n 1依次产生交点P1 P2 P3 Pn 则 Pn的横坐标是 B A 图 1 图 2 图 3 2 1 P1 P2 P3 B1 B2 B3 B4 A5A4 A3A2 y x O A1 x y 第 18 题 答案 或 4 2013 浙江锦绣浙江锦绣 育才教育集团一模育才教育集团一模 如图 将正 ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三 角形和一个黑色菱形 这个黑色菱形可分割成 n 个 边长为 1 的小三角形 若 9 41 n m 则 ABC 的周长是 答案 15 5 2013 年江苏南京一模 小明用棋子摆放图形来研究数的规律 图 1 中棋子围成三角形 其颗数 3 6 9 12 成为三角形数 类似地 图 2 中的 4 8 12 16 称为正方 形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 2010 B 2012 C 2014 D 2016 答案 D 6 2013 杭州江干区模拟 已知两直线1 1 kkxy kkxky 1 2 为正整数 设这两条直线与x轴所围成的三角形的面积为 k S 则 1232013 SSSS 的值是 A 2012 2013 B 4024 2013 C 2014 2013 D 4028 2013 答案 D 2 22 21 nn n 21 n n n 第 16 题 图 图 3 6 9 4 8 12 图 1 图 2 7 2013 年广东省佛山市模拟 如图 在 Rt ABC 中 AB 3 BC 4 ABC 90 过 B 作 BA1 AC 过 A1作 A1B1 BC 得阴影 Rt A1B1B 再过 B1作 B1A2 AC 过 A2作 A2B2 BC 得阴影 Rt A2B2B1 如此下去 请猜测这样得到的所有阴影三角形的 面积之和为 模拟改编 模拟改编 A 16 25 B 96 25 C 54 41 D 96 41 答案 D 8 2013 年广东省珠海市一模 如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒 a b 是某 行的前两个数 当 a 7 时 b 等于 A 20B 21C 22D 23 答案 C 9 2013 凤阳县县直义教教研中心 如图 将边长为 cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻 动 不滑动 当正方形连续翻动 8 次后 正方形的中心 O 经过的路线长是 cm A 8 B 8 C 3 D 4 D 10 2013 年湖北省武汉市中考全真模拟 观察下列图形 它们是按一定规律排列的 依 照此规律 第 20 个图形共有 A 63 个 B 57 个 C 68 个 D 60 个 D 11 2013 宁波五校联考一模 观察图 1 容易发现图 2 中的 1 2 3 把图 2 推 广到图 3 其中有 8 个角 1 2 8 可以验证 1 2 5 8 成立 除此 之外 恰好还有一组正整数 x y z 满足 2 x y z 8 使得 1 x y z 那么 这组正整数 x y z A 3 4 7 B 3 5 7 C 3 3 7 D 4 6 7 答案 C 12 2013 宁波五校联考二模 黑板上写有 111 1 23100 共 100 个数字 每次操 作先从黑板上的数中选取 2 个数ab 然后删去ab 并在黑板上写上数abab 则经过 99 次操作后 黑板上剩下的数是 A 2012 B 101 C 100 D 99 答案 C 13 2013 年广西梧州地区一模 已知 1 1 xa x 0 且 x 1 12 11aa 23 11aa 1nn 11 aa 则 2011 a等于 A x B x 1 C x 1 D 1 x x 答案 14 2013 年湖北武汉模拟 将正方体骰子 相对面上的点数分别为1 和 6 2 和 5 3 和 4 放置于水平桌面上 如图 6 1 在图 6 2 中 将骰子向右翻滚 90 然后 在桌面上按逆时针方向旋转 90 则完成一次变换 若骰子的初始位置为图 6 1 所示 的状态 那么按上述规则连续完成10 次变换后 骰子朝上一面的点数是 答案 5 二 填空题 1 2013 年北京顺义区一模 如图 边长为 1 的菱形ABCD中 60DAB 则菱形 ABCD的面积是 连结对角线AC 以AC为边作第二个菱形 11 ACC D 使 1 60D AC 连结 1 AC 再以 1 AC为边作第三个菱形 122 AC C D 使 21 60D AC 按此规律所作的第n个菱形的面积为 图 6 1 图 6 2 向右翻滚 90 逆时针旋转 90 答案 3 2 21 3 2 n 2 2013 年安徽省模拟八 如图 ABC 中 AB BC CA 8 一电子跳蚤开始时在 BC 边的 P0处 BP0 3 跳蚤第一步从 P0跳到 AC 边的 P1 第 1 次落点 处 且 CP1 CP0 第 二步从 P1跳到 AB 边的 P2 第 2 次落点 处 且 AP2 AP1 第三步从 P2跳到 BC 边 的 P3 第 3 次落点 处 且 BP3 BP2 跳蚤按照上述规则一直跳下去 第 n 次落 点为 Pn n 为正整数 则点 P2012与点 P2013之间的距离为 答案 5 3 2013 年湖北荆州模拟 6 如图 ABC 是边长为 1 的等边三角形 取 BC 边中点 E 作 ED AB EF AC 得到四边形 EDAF 它的面积记作 S1 取 BE 中点 E1 作 E1D1 FB E1F1 EF 得到四边形 E1D1FF1 它的面积记作 S2 照此规律作下去 则 S2012 答案 2011 4 1 8 3 4 2013 年湖北荆州模拟 6 已知a 0 1 2Sa 2 1 2 S S 3 2 2 S S 2012 2 011 2 S S 则 2012 S 用含 a 的代数式表示 答案 a 1 5 2013 年上海长宁区二模 已知边长为 1 的正方形 按如图所示的方式分割 第 1 次分 割后的阴影部分面积 S1 2 1 第 2 次分割后的阴影部分面积 S2 4 3 第 3 次分割后的阴 影部分面积 S3 8 7 按照这样的规律分割 则第 n n 为正整数 次分割后的阴影部 分面积可用 n 表示为 Sn 第 1 题图 第 2 题图 O x y 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 12 0 1 1 5 1 9 1 3 2 7 2 11 2 Y 答案 1 n 2 1 6 2013 年江苏南京一模 如图 45AOB 过OA上到点O的距离分别为 135 7 911 的 点作OA的垂线与OB相交 得到并标出一组黑色梯形 它们的面积 分别为 1234 SSSS 观察图中的规律 第 n n 为正整数 个黑色梯形的面积 n S 答案 8n 4 7 2013 年江苏南京一模 若有一列数依次为 则第 n 个数可以表示 2 3 4 8 8 15 16 24 32 35 为 答案 2n n n 2 8 2013 云南勐捧中学一模 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列 按照 这样的规律 第 n 个图形需要棋子 枚 用含 n 的代数式表示 答案 3n 1 9 2013 云南勐捧中学二模 如图 动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动 第 1 次从原点运动到点 1 1 第 2 次接着运动到点 2 0 第 3 次接着运动到点 3 2 按这样的运动规律 经过第2012 次运动后 动点P的坐标是 答案 2012 0 10 2013 云南勐捧中学三模 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而 成 依此规律 第 n 个图案中白色的正方形个数为 第一个第二个第三个 答案 5n 第 14 题图 11 2013 年广州省惠州市模拟 如图 是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的 一组有规律的图案 则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 答案 答案 4n 2 12 2013 山东德州特长展示 如图 在平面直角坐标系中 AOB 30 点 A 坐标为 2 0 过 A 作 AA1 OB 垂足为点 A1 过点 A1作 A1A2 x 轴 垂足为点 A2 再过点 A2作 A2A3 OB 垂足为点 A3 再过点 A3作 A3A4 x 轴 垂足为点 A4 这样一直作 下去 则 A2013的纵坐标为 2013 3 2 13 2013 郑州外国语预测卷 用形状相同的两种菱形拼成如上图所示的图案 用 an表示 第 n 个图案中菱形的个数 则 an 用含 n 的式子表示 答案 6n 2 14 2013 辽宁葫芦岛一模 如图 在第 1 个 ABA1中 B 20 AB A1B 在 A1B 上取一点 C 延长 AA1到 A2 使得 A1A2 A1C 在 A2C 上取一点 D 延长 A1A2到 A3 使得 A2A3 A2D 按此做法进行下去 第 n 个三角形的以 An为顶点的内角的度数为 答案 0 1 80 2n x y OA 1 A 3 A 4 A 2 A B 第 1 题图 O 3 x 2 y A B C D E A1A2A3A4An 15 2013 年唐山市二模 根据以下等式 222 11 12 12 1232 13 对于正整数 n n 4 猜想 l 2 n 一 1 n n 一 l 2 1 答案 4 16 2013 年广西钦州市四模 古希腊数学家把数 1 3 6 10 15 21 叫做三角形数 它有一定的规律性 若把第一个三角形数记为 1 a 第二个三角形数记为 2 a 第n个三角形数记为 n a 计 算 213243 aaaaaa 由此推算 10099 aa 100 a 答案 100 1 分 5050 2 分 17 2013 年杭州拱墅区一模 在平面坐标系中 正方形 ABCD 的位置如图所示 点 A 的 坐标为 1 0 点 D 的坐标为 0 2 延长 CB 交 x 轴于点 A1 作正方形 A1B1C1C 延长 C1B1交 x 轴于点 A2 作正方形 A2B2C2C1 按这样的规律进行下去 第 2013 个正方形的面积为 答案 4024 2 3 5 18 2013 年江苏东台第二学期阶段检测 如图所示 已知直线1 3 3 xy与x y 轴交于B C两点 0 0 A 在ABC 内依次作等边三角形 使一边在x轴上 另一 个顶点在BC边上 作出的等边三角形分别是第 1 个 11 AAB 第 2 个 122 B A B 第 3 个 233 B A B 则第n个等边三角形的边长等于 答案 3 2n 17 题 三 解答题 1 2013 年安徽初中毕业考试模拟卷一 给出下列命题 命题 1 点 1 1 是直线yx 与双曲线 1 y x 的一个交点 命题 2 点 2 4 是直线2yx 与双曲线 8 y x 的一个交点 命题 3 点 3 9 是直线3yx 与双曲线 27 y x 的一个交点 1 请观察上面命题 猜想出命题n n是正整数 2 证明你猜想的命题n是正确的 答案 命题n 点 n 2 n 是直线ynx 与双曲线 3 n y x 的一个交点 证明 当xn 时 2 yn nn A 即点 n 2 n 在直线ynx 上 同理点 n 2 n 也在双 曲线 3 n y x 上 故点 n 2 n 是直线ynx 与双曲线 3 n y x 的一个交点 2 2013 年安徽省模拟六 下图中 图 1 是一个 AOB 将其作如下划分 第一次划分 如图 2 所示 过 OA 的中点 A1作 A1B1 AB 交 OB 于点 B1 再作 AOB 的平分线 OC 交 A1B1于点 C1 得到三角形的总数为 6 个 分别为 AOB AOC COB A1OB1 A1OC1 C1OB1 第二次划分 如图 3 所示 在 扇形 C1OB1中 按上述划分方式继续划分 可以得 到三角形的总数为 11 个 第三次划分 如图 4 所示 依次划分下去 1 根据题意 完成下表 2 根据上表 请你判断按上述划分方式 能否得到三角形的总数为 2013 个 为什 么 第 1 题图 答案 解 1 从上至下依次填 16 21 5n 1 6 分 2 不能够得到 2013 个扇形 因为满足 5n 1 2013 的正整数 n 不存在 8 分 3 2013 年安徽省模拟七 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列 其中 杨辉三角 就 是一例 如图 这个三角形的构造法则 两腰上的数都是 1 其余每个数均为其上方左右 两数之和 它给出了 n 为正整数 的展开式 按 a 的次数由大到小的顺序排列 的 系数规律 例如 在三角形中第三行的三个数 1 2 1 恰好对应 展开式中的系数 第 四行的四个数 1 3 3 1 恰好对应着 展开式中的系数等等 第 2 题图 1 根据上面的规律 写出 的展开式 2 利用上面的规律计算 答案 解 3 分 原式 1 8 分 注 第 2 问不用以上规律计算不给分 4 2013 年安徽省模拟八 观察下列等式 第 1 个等式 a1 1 第 2 个等式 a2 第 3 个等式 a3 第 4 个等式 a4 请解答下列问题 1 按以上规律列出第 5 个等式 a5 2 用含有 n 的代数式表示第 n 个等式 an n 为正整数 3 求 a1 a2 a3 a4 a100的值 答案 解 根据观察知答案分别为 1 2 3 a1 a2 a3 a4 a100的 1 1 1 5 如图 一个 4 2 的矩形可以用 3 种不同的方式分割成 2 或 5 或 8 个小正方形 1 一个 3 2 的矩形用不同的方式分割后 小正方形的个数可以是 一个 5 2 的矩形用不同的方式分割后 小正方形的个数可以是 2 一个 n 2 的矩形用不同的方式分割后 小正方形的个数最少是 以上均直接填写结果 实践探究实践探究 1 在图 2 中 图 1 E D CF B A 图 4 图 2 图 3 A BC D E F 分别为矩形 ABCD 的边 AD BC 的中点 则 之间满足的关系式为 2 在图 3 中 E F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD BC 的中点 则 之间满足 的关系式为 3 在图 4 中 E F 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD BC 的中点 则 之间满足 的关系式为 解决问题 解决问题 4 在图 5 中 E G F H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD AB BC CD 的中 点 并且图中阴影部分的面积为 20 平方米 求图中四个小三角形的面积和 即 S1 S2 S3 S4 1 2 分 分 2 2 分 分 3 2 分 分 4 由上得 S1 x S2 S3 y S4 S1 m S4 S2 n S3 S