高考数学总复习测评课件41.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 1 平面的基本性质平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础 即三个公理和公理3的三个推论 公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是 基础梳理 两点 所有的点 经过这个公共点的一条直线 公理3 经过不在同一条直线上的三点 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点 推论2 经过两条相交直线 推论3 经过两条平行直线 2 空间两条直线的位置关系 有且只有一个平面 有且只有一个平面 有且只有一个平面 有且只有一个平面 异面直线 在同一平面内 有且只有一个 3 平行直线的公理及定理 1 公理4 平行于同一条直线的两条直线 2 定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向 那么这两个角相等 4 异面直线的判定及所成的角 1 异面直线的判定过平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内的直线是异面直线 互相平行 平行 相同 不经过该点 3 异面直线垂直的定义若两条异面直线a b所成的角是直角 则称异面直线a b 记作 2 异面直线所成的角如果a b是两条异面直线 那么经过空间任意一点o 作直线a a b b 直线a 和b 所成的 或直角 叫做异面直线a b所成的角 锐角 互相垂直 a b 例1 下列命题 空间不同三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 典例分析 题型一点 线 面的位置关系 分析根据公理及其推论作判断 解由公理3知 不共线的三点才能确定一个平面 所以知命题 均错 中有可能出现两平面只有一条公共线 当这三个公共点共线时 对于 空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点 若为三个交点 则这三条直线共面 若只有一个交点 则可能确定一个平面或三个平面 正确 中平行四边形和梯形由公理3的推论及公理1可得必为平面图形 而四边形有可能是空间四边形 对于 如图 在正方体abcda b c d 中 直线bb ab bb bc 但ab与bc不平行 所以 错 ab cd bb ab b 但bb 与cd不相交 所以 错 四边形ad b c中 ad d b b c ca 但它不是平行四边形 所以 也错 故只有 正确 学后反思平面性质的三个公理及其推论 是论证线面关系的依据 在判断过程中要注意反例和图形的应用 举一反三1 给出下列命题 如果平面 与平面 相交 那么它们只有有限个公共点 经过空间任意三点的平面有且只有一个 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面重合为一个平面 不平行的两直线必相交 其中正确命题的序号为 解析 由公理2知 错 由公理3知 错 对 不平行的两直线可能异面 答案 题型二证明三点共线 例2 如图 是正方体的上底面的中心 m是对角线和截面的交点 求证 m a三点共线 分析要证明 m a三点共线 只需证明三点都在平面和平面的交线上 学后反思证明多点共线的方法 以公理2为依据 先找出两个平面的交线 再证明各个点都是这两个面的公共点 即在交线上 则多点共线 或者 先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线 然后证明第三个点也在交线上 同理其他的点都在交线上 即多点共线 证明 平面 平面 平面 平面 平面 m 平面 m 平面 m 平面又 a 平面 a 平面 m a在两个平面和平面的交线上 由公理2可知 m a三点共线 举一反三2 已知e f g h分别是空间四边形abcd 四条线段首尾相接 且连接点不在同一平面内 所组成的空间图形叫空间四边形 各边ab ad cb cd上的点 且直线ef和gh的延长线交于点p 如图 求证 点b d p在同一条直线上 证明 由于直线ef和gh交于点p p 直线ef 又 直线ef 平面abd p 平面abd 同理 p 平面cbd p在平面abd与平面cbd的交线bd上 即b d p三点在同一条直线上 题型三证明点线共面 例3 求证 两两相交且不共点的四条直线在同一平面内 分析由题知 四条直线两两相交且不共点 故有两种情况 一种是三条直线交于一点 另一种是任何三条直线都不共点 故分两种情况证明 证明 1 如图 设直线a b c相交于点o 直线d和a b c分别相交于a b c三点 直线d和点o确定平面 由o 平面 a 平面 o 直线a a 直线a 知直线a 平面 同理b 平面 c 平面 故直线a b c d共面于 学后反思证多线共面的方法 1 以公理 推论为依据先证两直线共面 然后再由公理1证第三条也在这个平面内 同理其他直线都在这个平面内 2 先由部分直线确定平面 再由其他直线确定平面 然后证明这些平面重合 2 如图 设直线a b c d两两相交 且任何三线不共点 交点分别是m n p q r g 由直线a b m 知直线a和b确定平面 由a c n b c q 知点n q都在平面 内 故c 同理可证d 所以直线a b c d共面于 由 1 2 可知 两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内 举一反三3 在正方体中 e是ab的中点 f是的中点 求证 e f c四点共面 证明 如图 连接 ef e是ab的中点 f是的中点 ef ef 故e f c四点共面 题型四证明三线共点 例4 14分 已知空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且 求证 直线eg fh ac相交于同一点p 分析先证e f g h四点共面 再证eg fh交于一点 然后证明这一点在ac上 证明 e f分别是ab ad的中点 ef bd且ef bd 3 又 gh bd且gh bd ef gh且ef gh 5 四边形efhg是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰eg fh的延长线相交于一点p 7 eg 平面abc fh 平面acd p 平面abc p 平面acd 9 又 平面abc 平面acd ac p ac 12 故直线eg fh ac相交于同一点p 14 学后反思证明三线共点的方法 首先证明其中的两条直线交于一点 然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线 由公理2可知 两个平面的公共点必在这两个平面的交线上 即三条直线交于一点 举一反三4 已知正方体中 e f分别为棱ab 的中点 求证 三条直线da ce 交于一点 证明 如图 直线da 平面 直线 平面 显然直线da与直线不平行 设直线da与直线交于点m 同理 直线da与直线ce都在平面ac内且不平行 设直线ad与直线ce相交于点m 又e f为棱ab 的中点 易知ma ad m a ad 所以m m 为直线ad上的同一点 因此 三条直线da ce 交于一点 易错警示 例 如图 过已知直线a外一点p 与直线a上的四个点a b c d分别画四条直线 求证 这四条直线在同一平面内 错解 p a b三点不共线 p a b共面 即pa pb ab共面 同理 pb pc bc共面 pc pd cd共面 a b c d均在直线a上 pa pb pc pd四条直线在同一平面内 错解分析错解在证明了四条直线分别在三个平面 平面pab 平面pbc 平面pcd 内后 用a b c d均在a上 而认为三个平面重合在同一个平面上 这种方法是错误的 错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合 正解过直线a及点p作一平面 a b c d均在a上 a b c d均在 内 直线pa pb pc pd上各有两点在 内 由公理1可知 直线pa pb pc pd均在平面 内 即四条直线共面 考点演练 10 异面直线a b所成的角为60 p为空间一点 求过p与a b均成60 角的直线的条数 解析 先利用平移把异面直线转化到一个平面上的相交直线 且夹角为60 交点为p 然后利用图形判断把直线进行旋转 可以得到这样的直线仅有3条 11 如图 在空间四边形abcd中 e g分别是bc ab的中点 f在cd上 h在ad上 且有试判定ef gh bd的位置关系 并证明 解析 ef gh bd交于一点 证明如下 fh ac fh ac 又g e分别为ab bc的中点 ge ac ge ac 于是ge fh且ge fh 四边形eghf是梯形 gh与ef的延长线必相交于一点p 则p gh 又gh 平面abd p 平面abd 同理可证p 平面bcd 而平面abd 平面bcd bd p bd 直线ef gh bd交于