高考数学总复习测评课件36.ppt

第二节直接证明与间接证明 基础梳理 1 直接证明 1 定义 直接从原命题的条件推得命题成立的证明方法 2 一般形式 3 综合法 定义 从出发 以已知的 为依据 逐 本题结论 逐步 本题条件 已知定义 已知公理 已知定理 已知条件 定义 公理 定理 步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法称为综合法 推证过程 4 分析法 定义 从问题的出发 追溯导致结论成立的条件 逐步 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 这种证明方法称为分析法 推证过程 已知条件 结论 结论 已知条件 2 间接证明 1 常用的间接证明方法有 等 2 反证法的基本步骤 结论 上溯 反证法 同一法 枚举法 假设命题的不成立 即假定原结论的反面为真 从反设和出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 由矛盾结果 断定不真 从而肯定原结论成立 典例分析 题型一综合法的应用 例1 已知a b 0 求证 证明 a b 0 b 即2b 进而 2b a b a b 2b 即0 2 a b 分析从已知条件和已知不等式入手 推出所要证明的结论 反设 结论 归谬 已知条件 存真 反设 学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发 依次推出一系列的真命题 最后达到我们所要证明的结论 在用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐引出结论 证明 a b 1 当且仅当a b 时 成立 举一反三 1 设a 0 b 0 a b 1 求证 题型二分析法的应用 例2 设a b c为任意三角形三边长i a b c s ab bc ca 试证 i2 4s 分析将i平方得出a b c两两乘积及a2 b2 c2和的式子 比较已知条件和结论 宜采用分析法 证明i2 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac a2 b2 c2 2s 故要证i2 4s 只需证a2 b2 c2 2s 4s 即a2 b2 c2 2s 这对于保证结论成立是充分必要的 欲证上式 只需证a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 即证 a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 0 只需证三括号中的式子均为负值即可 即证a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 即a b c b a c c a b 它们显然成立 因为三角形任一边小于其他两边之和 故i2 4s 学后反思 1 应用分析法易于找到思路的起始点 可探求解题途径 2 应用分析法证明问题时要注意 严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 2 若sin cos 1 求证 sin6 cos6 1 举一反三 证明 由sin cos 1 sin2 cos2 2sin cos 1sin cos 0 欲证sin6 cos6 1 只需证 sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 cos4 1 即证sin4 cos4 sin2 cos2 1 即证 sin2 cos2 2 3sin2 cos2 1 即证sin2 cos2 0 由 式知 上式成立 故原式成立 题型三反证法的应用 例3 14分 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 分析命题伴有 至少 不都 都不 没有 至多 等指示性语句 在用直接方法很难证明时 可以采用反证法 证明假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 2 则a b c 0 4 而a b c x2 2y y2 2z z2 2x x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 6 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 8 a b c 0 10 这与a b c 0矛盾 12 因此a b c中至少有一个大于0 14 学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般形式是 或者是a 或者非a 即在同一讨论过程中 a和非a有一个且仅有一个是正确的 不可能有第三种情况出现 举一反三3 已知a b c是一组勾股数 且 求证 a b c不可能都是奇数 证明 假设a b c都是奇数 且a b c是一组勾股数 又 a b c都是奇数 也都是奇数 是偶数 与已知相矛盾 a b c不可能都是奇数 易错警示 例 设函数f x 对定义域内任意实数都有f x 0 且f x y f x f y 成立 求证 对定义域内任意x都有f x 0 错解分析反证法的关键是从假设出发 经过推理论证得出和已知 定义 定理 公理等相矛盾 错解中从这点上出现了错误 错解假设f x 0 f x y f x f y 与假设f x 0矛盾 结论成立 正解 又 f x 0 f x 0 对定义域内任意x都有f x 0 考点演练 10 函数y a 0 a 1 的图象恒过定点a 若点a在直线mx ny 1 0上 其中mn 0 求的最小值 解析 a 2 1 a在直线mx ny 1 0上 2m n 1 0 即2m n 1 mn 0 m 0 n 0 当且仅当 即当m n 时等号成立 故的最小值为8 11