高考数学总复习测评课件51.ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 基础梳理 1 直线与平面平行的判定与性质 1 判定定理如果一条直线和这个的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 2 性质定理如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面 那么这条直线就和平行 平面外 平面内 相交 交线 2 平面与平面平行的判定与性质 1 判定定理如果一个平面内有两条都平行于另一个平面 那么这两个平面 2 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么所得的两条交线 3 两个平行平面间的距离两个平行平面的的长度叫做两个平行平面间的距离 相交直线 平行 平行 公垂线段 典例分析 例1 已知四边形abcd是空间四边形 e f g h分别是边ab bc cd da的中点 求证 四边形efgh是平行四边形 题型一线线平行 分析若证四边形是平行四边形 只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可 证明如图 连接bd eh是 abd的中位线 eh bd eh bd 又 fg是 cbd的中位线 fg bd fg bd fg eh 且fg eh 四边形efgh是平行四边形 学后反思证明四边形efgh是平行四边形 可有两条途径 一是证两组对边分别平行 二是证明一组对边平行且相等 举一反三1 已知e 分别是正方体的棱ad 的中点 求证 bec 证明 如图 连接 e分别为 ad的中点 ae 四边形为平行四边形 又 四边形是平行四边形 eb 同理 ec 又 与 ceb方向相同 ceb 例2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 侧面对角线ab1 bc1上分别有两点e f 且b1e c1f 求证 ef 平面abcd 题型二线面平行 分析要证ef 平面abcd 方法有两种 一是利用线面平行的判定定理 即在平面abcd内确定ef的平行线 二是利用面面平行的性质定理 即过ef作与平面abcd平行的平面 证明方法一 过e作em ab于m 过f作fn bc于n 连接mn 如图 则em bb1 fn bb1 em fn ab1 bc1 b1e c1f ae bf 又 bb1 cc1 em fn 四边形emnf是平行四边形 ef mn 又 ef 平面abcd mn 平面abcd ef 平面abcd 方法二 连接b1f 并延长交bc的延长线于点p 连接ap 如图 bp b1c1 b1fc1 pfb ab1 bc1 b1e c1f ae bf ef ap 又 ef 平面abcd ap 平面abcd ef 平面abcd 方法三 过点e作eh bb1于点h 连接fh 如图 则eh ab 又 ab1 bc1 b1e c1f fh b1c1 b1c1 bc fh bc eh fh h 平面efh 平面abcd ef 平面efh ef 平面abcd 学后反思判断或证明线面平行的常用方法有 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 举一反三2 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 e为pc中点 求证 pa 面edb 证明 如图 连接ac交bd于o 连接eo 四边形abcd为正方形 o为ac的中点 e为pc的中点 eo为 pac的中位线 故eo pa 又 eo 面edb 且pa 面edb pa 面edb 题型三面面平行 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 其棱长为1 求证 平面ab1c 平面a1c1d 分析要证明面ab1c 面a1c1d 根据面面平行的判定定理或推论 只要证明ac 面a1c1d ab1 面a1c1d 且ac ab1 a 即可 证明方法一 aa1 bb1aa1 bb1aa1 cc1bb1 cc1bb1 cc1 四边形aa1c1c为平行四边形 ac a1c1a1c1 平面a1c1dac 平面a1c1d 方法二 易知aa1和cc1确定一个平面ac1 于是 平面ac1 平面a1c1 a1c1平面ac1 平面ac ac平面a1c1 平面aca1c1 aca1c1 平面ab1cac 平面ab1c ac 平面a1c1d同理 ab1 平面a1c1d平面ab1c 平面a1c1d ac ab1 a a1c1 平面ab1c同理 a1d 平面ab1c平面ab1c 平面a1c1d a1c1 a1d a1 学后反思证明平面与平面相互平行 一般利用面面平行的判定定理 将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明 具体方法有 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n e f分别是棱a1b1 a1d1 b1c1 c1d1的中点 求证 平面amn 平面efdb 举一反三 证明 如图 连接mf m f分别是a1b1 c1d1的中点 且四边形a1b1c1d1为正方形 mf a1d1 又a1d1 ad mf ad 四边形adfm为平行四边形 am df 又 am 平面efdb df 平面efdb am 平面efdb 同理可证 an 平面efdb am an 平面amn am an a 平面amn 平面efdb 题型四平行的探究问题 例4 长方体abcd a b c d 点p bb 不与b b 重合 pa ba m pc bc n 求证 mn 平面ac 分析要证明mn 平面ac 只要证明mn平行于面ac内的一条直线即可 而这条直线应与mn共面 由于ac与mn共面 只要证明ac mn即可 解如图 连接a c ac abcda b c d 为长方体 ac a c ac 平面a c b a c 平面a c b ac 平面a c b 又 平面pac过ac与平面a c b交于mn mn ac mn 平面ac ac 平面ac mn 平面ac 学后反思定理 定义是做题的依据 具备了条件 便可得到结论 条件不足 要通过题设和图形的结构特征 性质去寻求 增添辅助线是解决问题的关键 4 如图 四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形 侧棱pa 底面abcd 侧面pbc内有be pc于e 且 试在ab上找一点f 使ef 平面pad 举一反三 解析 如图 在面pcd内作eg pd于g 连接ag pa 平面abcd cd ad cd 面pad cd pd cd eg 又 ab cd eg ab 若有ef 平面pad 则ef ag 四边形afeg为平行四边形 即eg af 且易知 pbc为直角三角形 bc2 ce cp cp 故af fb 2 1时 ef 平面pad 题型五平行关系的综合应用 例5 14分 如图 正三棱柱的底面边长为2 点e f分别是棱 上的点 点m是线段ac上的动点 ec 2fb 2 1 当点m在何位置时 mb 平面aef 2 若mb 平面aef 判断mb与ef的位置关系 说明理由 并求mb与ef所成角的余弦值 分析对于第 1 问 可采用分析法得到 即假设mb 平面aef 则平面mbf与aef的交线与mb平行 由平面几何的知识不难探求m应为ac的中点 第 2 问mb与ef异面可由判定定理推证 求夹角用平移法 解 1 如图 当m是线段ac中点时 mb 平面aef 取ae中点n 连接nf mn 则mncebf 即mnbf 2 mnfb是平行四边形 mbnf 4 又 nf 平面aef mb 平面aef mb 平面aef 6 2 mb与ef是两条异面直线 ef 平面 b 平面 b ef m 平面 mb与ef是异面直线 8 由 1 知mb nf efn就是异面直线mb与ef所成的角 10 由平面abc 平面 bm ac 知mb 平面 又nf mb fn 平面 fn ae 而n是ae的中点 ef af nf bm 12 在rt efn中 cos efn 即所求角的余弦值为 14 5 如图所示 在四面体abcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问 截面在什么位置时 截面的面积最大 举一反三 解析 ab 平面efgh 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg eh ab fg ab eh fg eh 同理可证 ef gh 截面efgh是平行四边形 设ab a cd b fgh a b 均为定值 其中 为异面直线ab与cd所成的角 又设fg x gh y 由平面几何知识 得 两式相加 得 即y a x sefgh fg gh sin x a x sin x a x x 0 a x 0 且x a x a 定值 当且仅当x a x 即x 时 s efgh max 故当截面efgh的顶点e f g h分别为棱ad ac bc bd的中点时 截面面积最大 易错警示 例 如图所示 已知e f分别是正方体棱 上的点 且ae 求证 四边形是平行四边形 错解在正方体中 平面 平面由两平行平面与第三平面相交 得交线平行 故 fb 同理可证 eb 故四边形为平行四边形 错解分析错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题 正确的思路应分为两步 第一步将立体几何问题化归为平面几何问题 即先证明四边形为平面四边形 四点共面 第二步再证四边形为平行四边形 或者用平行四边形的充要条件证明 正解方法一 如图 在平面中 作eg ad交于g点 连接gc 易证egadbc 四边形gebc为平行四边形 ebgc 又由ae 得fc 四边形为平行四边形 gc 于是eb 四边形为平行四边形 方法二 在平面中 过a作ah 交于h 连接hf 易得四边形为平行四边形 于是ae 四边形为平行四边形 hf 又ab hfab 四边形habf为平行四边形 ahbf 又ah bf 四边形为平行四边形 考点演练 10 如图 正方体的棱长为1cm 过ac作平行于对角线的截面 求截面面积 解析 如图 设过ac的平面交于e点 连接bd交ac于点f 平面aec 平面 平面 平面aec ef ef ab 1 ac ef bd1 11 在空间四边形abcd中 p q r分别为ab ad cd的中点 平面pqr交bc于s 求证 四边形pqrs为平行四边形 证明 如图 p