2019_2020学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的图象和性质讲义新人教A版.docx

第2课时指数函数的图象和性质基础自测1下列函数中是奇函数，且在(0，)上单调递增的是()AyBy|x|Cy2x Dyx3解析：y在(0，)上单调递减，所以排除A；y|x|是偶函数，所以排除B；y2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.答案：D2下列判断正确的是()A1.51.51.52 B0.520.53Ce2e D0.90.20.90.5解析：因为y0.9x是减函数，且0.50.2，所以0.90.20.90.5.答案：D3已知y1x，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()解析：方法一y23x与y410x单调递增；y1x与y310xx单调递减，在第一象限内作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y23x与y410x单调递增，且y410x的图象上升得快，y1x与y23x的图象关于y轴对称，y310x与y410x的图象关于y轴对称，所以选A.答案：A4已知函数f(x)4ax1(a0且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x10，得x1，此时f(1)5.所以函数f(x)4ax1(a0且a1)的图象恒过定点P(1,5)答案：(1,5)题型一利用指数的单调性比较大小教材P117例3例1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8，0.8；(3)1.70.3,0.93.1.【解析】(1)1.72.5和1.73可看作函数y1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值因为底数1.71，所以指数函数y1.7x是增函数因为2.53，所以1.72.51.73.(2)同(1)理，因为00.81，所以指数函数y0.8x是减函数因为，所以0.80.8.(3)由指数函数的性质知170.31.701，093.10.901，所以1.70.30.93.1.对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值可以利用函数y1.7x和y0.9x的单调性，以及“x0时，y1”这条性质把它们联系起来.教材反思1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系2比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小： (1)1.8与2.5；(2)0.5与0.5；(3)0.20.3与0.30.2.解析：(1)因为01，所以函数yx在其定义域R上单调递减，又1.82.5，所以1.82.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数yx与yx的图象，如图所示当x0.5时，由图象观察可得0.50.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.底数相同，指数不同；底数不同，指数相同；底数不同，指数不同题型二指数函数的图象问题例2(1)如图所示是下列指数函数的图象：yaxybxycx ydx则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc(2)当a0且a1时，函数f(x)ax32必过定点_【解析】(1)可先分为两类，的底数一定大于1，的底数一定小于1，然后再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a0且a1时，总有f(3)a3321，所以函数f(x)ax32必过定点(3，1)【答案】(1)B(2)(3，1)1先由a1,0a1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象2由yax过定点(0,1)来求f(x)过定点方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a0，a1)的图象与直线x1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大跟踪训练2(1)已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()(2)若a1，1b0，则函数yaxb的图象一定在()A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限解析：(1)由于0mn1，所以ymx与ynx都是减函数，故排除A、B，作直线x1与两个曲线相交，交点在下面的是函数ymx的图象，故选C.(2)a1，且1b0，故其图象如右图所示答案：(1)C(2)A由底数的范围判断函数图象 .题型三解简单的指数不等式例3(1)不等式3x21的解为_(2)若ax153x(a0，且a1)，求x的取值范围【解析】(1)3x213x230x20x2，所以解为(2，)(2)因为ax153x，所以当a1时，yax为增函数，可得x13x5，所以x3.当0a1时，yax为减函数，可得x13x5，所以x3.综上，当a1时，x的取值范围为(，3)，当0a1时，x的取值范围为(3，)【答案】(1)(2，)(2)见解析首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围.方法归纳解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解跟踪训练3(1)解不等式3；(2)已知(a22a3)x(a22a3)1x，求x的取值范围解析：(1) (31) 3，原不等式等价于 331.y3x是R上的增函数，2x21.x21，即x1或x1.原不等式的解集是x|x1或x1(2)a22a3(a1)221，y(a22a3)x在R上是增函数x1x，解得x.x的取值范围是.(1)化成同底，确定指数函数的单调性(2)判断a22a3的范围题型四指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)a(xR)(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1,5上的最小值【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)f(x2)aa.因为x1x2，所以220，又(12)(12)0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数(2)因为f(x)在xR上为奇函数，所以f(0)0，即a0，解得a.所以f(x)，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间1,5上的最小值为f(1)因为f(1)，所以f(x)在区间1,5上的最小值为.(1)用定义法证明函数的单调性需4步：取值；作差变形；定号；结论(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(x)f(x)或f(x)f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)0，建立方程求参数跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2xa2x成立，即2x(1a)(1a)，所以1a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)2x，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)2(22)(22)(22)(22)，因为x1x2，且x1，x2(0，)，所以22，21，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递增(3)由(2)知f(x)在0，)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)f(0)2.故函数f(x)的值域为2，)(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，)上的单调性(3)利用单调性求最值，得值域一、选择题1设f(x)|x|，xR，那么f(x)是()A奇函数且在(0，)上是增函数B偶函数且在(0，)上是增函数C奇函数且在(0，)上是减函数D偶函数且在(0，)上是减函数解析：因为f(x)|x|x|f(x)，所以f(x)为偶函数又当x0时，f(x)x在(0，)上是减函数，故选D.答案：D2函数ya|x|(0a1)的图像是()解析：ya|x|(0a1)是偶函数，先画出x0时的图像，再作关于y轴对称的图像，0a1，故选C.答案：C3若2a132a，则实数a的取值范围是()A(1，)B.C(，1) D.解析：函数yx在R上为减函数，所以2a132a，所以a.答案：B4设x0，且1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab解析：1bx，b0bx.又x0，b1.bxax，x1，又x0，1，ab，即1ba.答案：C二、填空题5三个数，中，最大的是_，最小的是_解析：因为函数yx在R上是减函数，所以，又在y轴右侧函数yx的图象始终在函数yx的图象的下方，所以.即.答案：6函数y的单调增区间是_解析：令tx24x3，则其对称轴为x2.当x2时，t随x增大而减小，则y增大，即y的单调增区间为(，2答案：(，27已知f(x)ax(a0且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析：f(x)axx，f(2)f(3)，23，即a2a3.a1，即0a1.答案：(0,1)三、解答题8比较下列各组值的大小：(1)1.80.1与1.80.2；(2)1.90.3与0.73.1；(3)a1.3与a2.5(a0，且a1)解析：(1)由于1.81，所以指数函数y1.8x，在R上为增函数所以1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31,0.73.11，所以1.90.30.73.1.(3)当a1时，函数yax是增函数，此时a1.3a2.5，当0a1时，函数yax是减函数，此时a1.3a2.5.故当0a1时，a1.3a2.5，当a1时，a1.3a2.5.9函数f(x)的定义域为集合A，关于x的不等式2x2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围解析：由0，解得x2或x1