高考数学总复习测评课件33.ppt

第十五单元推理与证明 知识体系 第三节数学归纳法 基础梳理 1 数学归纳法的适用对象一般地 对于某些与有关的数学命题 我们用数学归纳法公理 2 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时 其步骤如下 1 如果当n取第一个值n0 例如n0 1 2等 时结论正确 2 假设当时结论正确 证明当n 时结论也正确 那么 命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 正整数 n k k n 且k n0 k 1 典例分析 题型一与自然数n有关的等式的证明 例1 用数学归纳法证明 分析用数学归纳法证明问题 应严格按步骤进行 并注意过程的完整性和规范性 证明 1 当n 1时 左边 12 4 18 右边 18 等式成立 2 假设当n k k n 时 成立 当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 综上可得 等式对于任意n n 都成立 学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可 证当n k 1时命题成立 必须要用当n k时成立的结论 否则 就不是数学归纳法证明 举一反三1 求证 其中n n 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即那么当n k 1时 左边 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 2 可知 等式对任何n n 都成立 题型二用数学归纳法证明整除问题 例2 求证 n n 能被9整除 分析当n 1时 原式 27能被9整除 因此要研究与之间的关系 以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除 证明设 1 f 1 3 1 1 7 1 27能被9整除 因此当n 1时命题成立 2 假设n k k n 时命题成立 即 k n 能被9整除 则 由于f k 能被9整除 能被9整除 所以能被9整除 由 1 2 知 对所有正整数n 能被9整除 学后反思整除问题一般是将n k 1时的结论设法用n k时的结论表达 而后利用假设来讨论判断是否满足整除 举一反三2 用数学归纳法证明 n n 能被x 2整除 证明 1 当n 1时 1 3 x 2 x x 2 能被x 2整除 2 假设当n k时 能被x 2整除 则可设 f x 为k 1次多项式 当n k 1时 能被x 2整除 综上可知 对任意n n 1 3 x n能被x 2整除 题型三用数学归纳法证明不等式 例3 求证 n 2 n n 分析和正整数有关 因此可用数学归纳法证明 证明 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 k n 时不等式成立 即成立 则当n k 1时 所以当n k 1时不等式也成立 由 1 2 可知原不等式对一切n 2 n n 都成立 学后反思在用数学归纳法证明不等式时 往往需综合运用不等式证明的其他方法 如比较法 放缩法 配方法 分析法 基本不等式等 举一反三3 求证 n n 证明 1 当n 1时 左边 n 1时不等式成立 2 假设n k k n 时原不等式成立 即则当n k 1时 左边 左边 1 n k 1时原不等式成立 综上可得 原不等式对于一切n n 都成立 题型四用数学归纳法证明有关数列问题 例4 14分 在数列 an 中 当n n 时满足 且设 求证 各项均为3的倍数 分析由于要证的是与正整数n有关的命题 可用数学归纳法证明 这里要注意是由递推关系给出的 证明 1 2 当n 1时 能被3整除 6 2 假设n k k n 时命题成立 即bk a4k是3的倍数 则当n k 1时 10 由归纳假设 是3的倍数 故可知是3的倍数 当n k 1时命题成立 12 综合 1 2 知 对任意n n 数列各项都是3的倍数 14 学后反思在证n k 1时 对应用递推关系式裂项 裂项后需产生项 这样便于应用归纳假设 除此之外就是凑成3的倍数 举一反三4 是等比数列 公比为q 求证 对于一切n n 都成立 证明 1 当n 1时 等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时等式也成立 由 1 2 可得 等式对一切n n 都成立 易错警示 例 已知 n n 用数学归纳法证明时 错解 错解分析 中共有n项相加 中应有项相加 中应有项相加 中应有项 正解 考点演练 10 用数学归纳法证明等式 n n 则从n k到n k 1时 求左边应添加的项 解析 n k时 等式左边 n k 1时 等式左边 比较上述两个式子 n k 1时 等式左边是在假设n k时等式成立的基础上 等式的左边加上了 11 用数学归纳法证明 n n 能被9整除 证明 1 当n 1时 36能被9整除 命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即能被9整除 当n k 1时由归纳假设 上式中的两部分都能被9整除 故当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 对任何n n 命题都成立 12 用数学归纳法证明 当n是不小于5的自然数时 总