2011综合题四(面积问题综合).doc

襄阳市47中2011综合题四（面积问题综合）1. （2011青海）已知一元二次方程x24x+3=0的两根是m，n且mn如图，若抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）（1）求抛物线的解析式（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PEx轴与抛物线交与点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标解答：解：（1）x24x+3=0的两个根为 x1=1，x2=3，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），又抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点，抛物线的解析式为 y=x22x+3，答：抛物线的解析式是 y=x22x+3（2）解：作直线BC，由（1）得，y=x22x+3，抛物线y=x22x+3与x轴的另一个交点为C，令x22x+3=0，解得：x1=1，x2=3，C点的坐标为（3，0），由图可知：当3x0时，抛物线的图象在直线BC的上方，答：当3x0时，抛物线的图象在直线BC的上方（3）解：设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，a22a+3），直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，F是线段PE的中点，即F点的坐标是（a，），直线BC过点B（0.3）和C（3，0），设直线BC的解析式是y=kx+b，代入得：，直线BC的解析式为y=x+3，点F在直线BC上，点F的坐标满足直线BC的解析式，即=a+3解得 a1=1，a2=3（此时P点与点C重合，舍去），P点的坐标是（1，0），答：点P的坐标是（1，0）2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题解答：解：（1）把三点代入抛物线解析式， 即得： ， 所以二次函数式为y=-x2+2x+3； （2）由y=-x2 2x+3=-（x-1）2+4， 则顶点P（1，4）， 知B，C，则直线BC的斜率= ， 则点P斜率为-1的直线设为：y=-x+b， 代入点P（1，4）， 则解得：y=-x+5，则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，-x2+2x+3=-x+5，即x2-3x+2=0，解得x=1或x=2，代入直线则得点（1，4）或（2，3），知点P，所以点Q（2，3）；（3）有题意求得直线BC代入x=1则y=2，M（1，2），由点M，P的坐标可知：点R存在，即过点M平行于x轴的直线，则代入y=2，x2-2x-1=0，解得x=1- （在对称轴的左侧，舍去），x=1 ，即点R（1 ）3.（2011阜新）如图，抛物线y=x2+x与x轴相交于A、B两点，顶点为P（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标解答：解：（1）令y=0，则x2+x=0，解得x1=3，x2=1，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在抛物线的对称轴为直线x=1，令x=1，则y=1=2，P点坐标为（1，2），ABP的面积等于ABE的面积，点E到AB的距离等于2，设E（a，2），把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a=2，解得a=12或1+2，符合条件的点E的坐标为（12，2）或（1+2，2）（3）所有符合条件的点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2）4.（2011包头）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，2）（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？OCHABxy解答：解：（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解得，y=x2+x2=（x）2+；（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C，APCP，AAPPCC，可得，即=，解得m1=，m2=，P（，）或（，）；（3）由B（6，1），C（0，2），得直线BC的解析式为y=x2，D（4，0），当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，此时S=42+4=，SBOC=26=6，当6S时，满足条件的点E有两个5. （2011安徽省芜湖市）平面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）和重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标解答：解：（1）绕点O顺时针旋转90，得到，点A的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0）抛物线过点A、C、A设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a0），可得，解得故此抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）OAB=90，AB=OC=1，AO=3OB=可证C1ODBOAC1OD的周长与BOA的周长比=OC1：OB=1：BOA的周长=4+C1OD的周长=（3）连接AA设AA的函数表达式为y=kx+b，可得解得，AA的函数解析式是y=x+3设M（x，x2+2x+3）SAMA=3x2+2x+3（x+3）=x2+x=（x）2+，x=时AMA的面积最大SAMA=，M（，）6. （2011天水）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60，OAB=90，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止（1）设DEF运动时间为t，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式（2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）依题意得OA=5，当0t1时，s=t2，当1t2时，s=（2t）2=t2+2t，当2t5时，s=；（2）不存在依题意，得C（1，），B（5，），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），将C点坐标代入，得a= ，y=x（x6）=x2+x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y=x，DFOC，设直线DF解析式为y=x+k，将D（4t，0）代入得k=（t4），直线DF：y=x+（t4），设OAG的OA边上高为h，由SOAG=S梯形OABC，得5h=（4+5），解得h=，将y=代入y=x（x6）中，得x=33，F（33，）或（3+3，），分别代入直线DF：y=x+（t4）中，得t=+3或3，但0t5，不存在7.（2011四川达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得sMAP=2sACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（xx1）（xx2），抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，y=a（x1）（x+3），又抛物线与y轴交于点C（0，3），a（01）（0+3）=3，a=3y=（x1）（x+3），即y=x22x+3，用其他解法参照给分；（2）点A（1，0），点C（0，3），OA=1，OC=3，DCAC，OCx轴，QOCCOA，即，OQ=9，又点Q在x轴的负半轴上，Q（9，0），设直线DC的解析式为：y=mx+n，则，解之得：，直线DC的解析式为：，点D是抛物线与直线DC的交点，解之得： （不合题意，应舍去），点D（），用其他解法参照给分；（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，AE=2，抛物线y=x22x+3的顶点为P，对称轴为x=1，P（1，4），PE=4，则PM=|4y|，s四边形AEPC=s四边形OEPC+sAOC，=，=，=5，又s四边形AEPC=sAEP+sACP，sAEP=，+sACP=54=1，sMAP=2sACP，|4y|=2，y1=2，y2=6，故抛物线的对称轴上存在点M使sMAP=2sACP，点M（1，2）或（1，6）8. （2011南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4，0）和B（m，0），与直线y=x+p相交于点A和点C（2m4，m6）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标解答：解：（1）点A（m4，0）和C（2m4，m6）在直线y=x+p上，解得：，A（1，0），B（3，0），C（2，3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x3）（x+1），C（2，3），代入得：3=a（23）（2+1），a=1抛物线解析式为：y=x22x3，答：抛物线解析式为y=x22x3（2）解：AC=3，AC所在直线的解析式为：y=x1，BAC=45，平行四边形ACQP的面积为12，平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DKAC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，DN=4，ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，PQ的解析式或为y=x+3或y=x5，解得：或，方程无解，即P1（3，0），P2（2，5），ACPQ是平行四边形，A（1，0），C（2，3），当P（3，0）时，Q（6，3），当P（2，5）时，Q（1，2），满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，3）或P2（2，5），Q2（1，2）答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，3）或P2（2，5），Q2（1，2）（3）解：设M（t，t22t3），（1t3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，t+3），MT=（t+3）（t22t3）=t2+t+6，过点M作MSPQ所在直线于点S，MS=MT=（t2+t+6）=（t）2+，当t=时，M（，），PQM中PQ边上高的最大值为，答：PQM的最大面积是，点M的坐标是（，）9.（2011四川攀枝花）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（1，0）（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足2xB，当AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；（3）抛物线上是否存在点C使AOC的面积与（2）中AOB的最大面积相等若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（1，0），代入得：=1，1b+c=0，解得：b=2，c=3，所以二次函数的关系式为：y=x22x3；（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y=kx+m，直线AB的解析式为y=xP为线段AB上的一个动点，P点坐标为（x，x）（0x3）由题意可知PEy轴，E点坐标为（x，x2x），0x3，PE=（x）（x2x）=x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，D点坐标（1，1）当EDP=90时，AOBEDP，过点D作DQPE于Q，xQ=xP=x，yQ=1，DQPAOBEDP， ，又OA=3，OB=，AB=，又DQ=x1，DP=（x1），解得：x=1（负值舍去）P（1，）（如图中的P1点）；当DEP=90时，AOBDEP，由（2）PE=x2+x，DE=x1，解得：x=1，（负值舍去）P（1+，1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（1，）或（1+，1）10. （2011四川遂宁）如图：抛物线y=ax24ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作CP对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且BPD=BCP，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求BCG的面积解答：对称轴是x= 点A（1，0）且点A、B关于x=2对称点B(3,0) 点A（1,0），B（3,0） AB=2 CP对称轴于P CPAB 对称轴是x=2 ABCP且AB=CP 四边形ABPC是平行四边形，设点C（0，x） x0 在RtAOC中，AC= BP= 在RtBOC中，BC= BD= BPD=PCB 且PBD=CBP BPDBCP 即 点C在y轴的负半轴上 点C（0，） 过点（1，0） ， 解析式是： 当x=2时， 顶点坐标G是（2，） 设CG的解析式是： （0，）（2，） .设CG与x轴的交点为H 令y=0 则得 即H（，0） BH= 11. （2011湖北十堰）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），已知点H（0，-1）.问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得SGHC=SGHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（-2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若EPF=BDF，求线段PE的长.解答：解：（1）由题意得：，解得：b=2.c=3，抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）解法一：假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=3时，AGH不存在当n3时，可得SGHA=+，SGHC=m，SGHC=SGHA，m+n+1=0，由，解得m=，n=或m=，n=点G在y轴的左侧，G（，）；当4n3时，可得SGHA=，SGHC=m，SGHC=SGHA，3mn1=0，由，解得：m=1，n=4或m=2，n=5，点G在y轴的左侧，G（1，4）存在点G（，）或G（1，4）解法二：如图，当GHAC时，点A，点C到GH的距离相等，SGHC=SGHA，可得AC的解析式为y=3x3，GHAC，得GH的解析式为y=3x1，G（1，4）；如图，当GH与AC不平行时，点A，C到直线GH的距离相等，直线GH过线段AC的中点M（，）直线GH的解析式为y=x1，G（，），存在点G（，）或G（1，4）（3）如图，E（2，0），D的横坐标为2，点D在抛物线上，D（2，3），F是OC中点，F（0，），直线DF的解析式为：y=x，则它与x轴交于点Q（2，0），则QB=QD，得QBD=QDB，BPE+EPF+FPD=DFP+PDF+FPD=180，EPF=PDF，BPE=DFP，PBEFDP，得：PBDP=，PB+DP=BD=，PB=，即P是BD的中点，连接DE，在RtDBE中，PE=BD=12.（2011湖北黄石）已知二次函数y=x22mx+4m8（1）当x2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围（2）以抛物线y=x22mx+4m8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由（3）若抛物线y=x22mx+4m8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值解答：解：（1）二次函数y=x22mx+4m8的对称轴是：x=m当x2时，函数值y随x的增大而减小，而x2应在对称轴的左边，m2（2）如图：顶点A的坐标为（m，m2+4m8）AMN是抛物线的内角正三角形，MN交对称轴于点B，则，设BM=BN=a，则，点M的坐标为（m+a，），点M在抛物线上，整理得：得：或a=0（舍去）所以AMN是边长为的正三角形，SAMN=，与m无关；（3）当y=0时，x22mx+4m8=0，解得：，抛物线y=x22mx+4m8与x轴交点的横坐标均为整数，（m2）2+4应是完全平方数，m=213. （2011丽江市中考）如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PDAC，垂足为D（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得SPAD：SQOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知：A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），设直线AC的解析式y=kx+b，将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，解得，故直线AC的解析式为；（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx，将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax2+bx，得，解得，故经过点O、M、A的抛物线的解析式为；（3）AOCAPD，即解得PD=2.4，AD=3.2，SPAD=PDAD=，SPAD：SQOA=8：25，SQOA=12，SQOA=OA|yQ|=8|yQ|=12，解得|y|Q=3，又点Q在抛物线上，所以或解方程得x1=4，x2=4+4，x3=44，故Q点的坐标为、Q（4，3）14. （2011黔南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），AOB的面积是（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把AOB分成两个三角形使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意得OB=B（2，0）（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得，（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=1交