高考数学 6.3 等比数列及其前n项和总复习课件.ppt

要点梳理1 等比数列的定义如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母表示 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 6 3等比数列及其前n项和 从第二项起 后项与相邻前项的比是 一个确定的常数 不为零 公比 q a1 qn 1 基础知识自主学习 3 等比中项若 那么g叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍是等比数列 g2 a b qn m ak al am an 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为 qn 基础自测1 设a1 2 数列 an 1 是以3为公比的等比数列 则a4的值为 a 80b 81c 54d 53解析由已知得an 1 a1 1 qn 1 即an 1 3 3n 1 3n an 3n 1 a4 34 1 80 a 2 等比数列 an 中 a4 4 则a2 a4 a6等于 a 4b 8c 32d 64解析 a4是a2与a6的等比中项 a2 a6 16 a2 a4 a6 64 d 3 2009 广东文 5 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3 a9 2 a2 1 则a1 a 2b c d 解析设公比为q 由已知得a1q2 a1q8 2 a1q4 2 即q2 2 因为等比数列 an 的公比为正数 所以q 故a1 c 4 在等比数列 an 中 前n项和为sn 若s3 7 s6 63 则公比q的值是 a 2b 2c 3d 3解析方法一依题意 q 1 7 63 得1 q3 9 q3 8 q 2 方法二 a1 a2 a3 q3 a4 a5 a6 而a4 a5 a6 s6 s3 56 7 q3 56 q3 8 q 2 a 5 2008 浙江理 6 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1等于 a 16 1 4 n b 16 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 解析 an an 1 4 n 1 4 n 25 2n 故a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 23 21 2 1 2 3 25 2n c 题型一等比数列的基本运算 例1 已知 an 为等比数列 a3 2 a2 a4 求 an 的通项公式 根据等比数列的定义 通项公式及性质建立首项 公比的方程组 解方法一设等比数列 an 的公比为q 则q 0 a2 a4 a3q 2q 2q 解得q1 q2 3 思维启迪 题型分类深度剖析 当q 时 a1 18 an 18 n 1 2 33 n 当q 3时 a1 an 3n 1 2 3n 3 综上所述 an 2 33 n或an 2 3n 3 方法二由a3 2 得a2a4 4 又a2 a4 则a2 a4为方程x2 x 4 0的两根 a2 a2 6a4 6a4 解得 或 当a2 时 q 3 an a3 qn 3 2 3n 3 当a2 6时 q an 2 33 n an 2 3n 3或an 2 33 n 1 等比数列 an 中 an a1qn 1 sn 中有五个量 可以知三求二 2 注意分类讨论的应用 探究提高 知能迁移1已知等比数列 an 中 a1 2 a3 2是a2和a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 记bn anlog2an 求数列 bn 的前n项和sn 解 1 设数列 an 的公比为q 由题意知 2 a3 2 a2 a4 q3 2q2 q 2 0 即 q 2 q2 1 0 q 2 即an 2 2n 1 2n 2 bn anlog2an n 2n sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 sn 21 22 23 24 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 sn 2 n 1 2n 1 题型二等比数列的判定与证明 例2 2008 湖北文 21 已知数列 an 和 bn 满足 a1 an 1 an n 4 bn 1 n an 3n 21 其中为实数 n为正整数 1 证明 对任意实数 数列 an 不是等比数列 2 证明 当 18时 数列 bn 是等比数列 1 可用反证法 2 根据递推关系推出bn 1 bn 用 18说明b1 0 即bn 0 思维启迪 证明 1 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有 a1a3 即 9 0 矛盾 所以 an 不是等比数列 2 bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 an 2n 14 1 n an 3n 21 bn 又 18 所以b1 18 0 由上式知bn 0 所以 n n 故当 18时 数列 bn 是以 18 为首项 为公比的等比数列 证明一个数列是等比数列的主要方法有两种 一是利用等比数列的定义 即证明 q 0 n n 二是利用等比中项法 即证明 anan 2 0 n n 在解题中 要注意根据欲证明的问题 对给出的条件式进行合理地变形整理 构造出符合等比数列定义式的形式 从而证明结论 探究提高 知能迁移2 2009 全国 理 19 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 1 证明由已知有a1 a2 4a1 2 解得a2 3a1 2 5 故b1 a2 2a1 3 又an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 于是an 2 2an 1 2 an 1 2an 即bn 1 2bn 因此数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 2 解由 1 知等比数列 bn 中b1 3 公比q 2 所以an 1 2an 3 2n 1 于是因此数列是首项为 公差为的等差数列 所以an 3n 1 2n 2 题型三等比数列的性质及应用 例3 在等比数列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 8且 2 求a3 1 由已知条件可得a1与公比q的方程组 解出a1 q 再利用通项公式即可得a3 2 也可利用性质 a1 a5 a2 a4直接求得a3 解方法一设公比为q 显然q 1 an 是等比数列 也是等比数列 公比为 思维启迪 a1q2 2 4 a3 2 方法二由已知得 4 a3 2 由已知条件得 探究提高在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 知能迁移3 1 已知等比数列 an 中 有a3a11 4a7 数列 bn 是等差数列 且b7 a7 求b5 b9的值 2 在等比数列 an 中 若a1a2a3a4 1 a13a14a15a16 8 求a41a42a43a44 解 1 a3a11 4a7 a7 0 a7 4 b7 4 bn 为等差数列 b5 b9 2b7 8 2 方法一a1a2a3a4 a1a1qa1q2a1q3 q6 1 a13a14a15a16 a1q12 a1q13 a1q14 a1q15 q54 8 q48 8 q16 2 又a41a42a43a44 a1q40a1q41 a1q42 a1q43 q166 q6 q160 q6 q16 10 1 210 1024 方法二由性质可知 依次4项的积为等比数列 设公比为p 设t1 a1 a2 a3 a4 1 t4 a13 a14 a15 a16 8 t4 t1 p3 1 p3 8 p 2 t11 a41 a42 a43 a44 t1 p10 210 1024 题型四等差 等比数列的综合应用 例4 12分 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14项分别是等比数列 bn 的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对n n 均有 an 1成立 求c1 c2 c3 c2010 1 可用基本量法求解 2 作差an 1 an 思维启迪 解 1 由已知有a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 1 4d 2 1 d 1 13d 解得d 2 d 0 2分 an 1 n 1 2 2n 1 3分又b2 a2 3 b3 a5 9 数列 bn 的公比为3 bn 3 3n 2 3n 1 5分 2 由得当n 2时 两式相减得 n 2时 an 1 an 2 8分 cn 2bn 2 3n 1 n 2 又当n 1时 a2 c1 3 3 n 1 2 3n 1 n 2 10分 c1 c2 c3 c2010 3 3 3 32010 32010 12分在解决等差 等比数列的综合题时 重点在于读懂题意 灵活利用等差 等比数列的定义 通项公式及前n项和公式 本题第 1 问就是用基本量公差 公比求解 第 2 问在作差an 1 an时要注意n 2 探究提高 cn 知能迁移4已知数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 1 设bn an 1 an n n 证明 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若a3是a6与a9的等差中项 求q的值 并证明 对任意的n n an是an 3与an 6的等差中项 1 证明由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即bn qbn 1 n 2 由b1 a2 a1 1 q 0 所以 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 2 解由 1 a2 a1 1 a3 a2 q an an 1 qn 2 n 2 将以上各式相加 得an a1 1 q qn 2 n 2 即an a1 1 q qn 2 n 2 所以当n 2时 3 解由 2 当q 1时 显然a3不是a6与a9的等差中项 故q 1 由a3 a6 a9 a3可得q5 q2 q2 q8 由q 0得q3 1 1 q6 上式对n 1显然成立 整理得 q3 2 q3 2 0 解得q3 2或q3 1 舍去 于是q 另一方面 an an 3 an 6 an 由 可得an an 3 an 6 an 即2an an 3 an 6 n n 所以对任意的n n an是an 3与an 6的等差中项 方法与技巧1 等比数列的判定方法有以下几种 1 定义 q q是不为零的常数 n n an 是等比数列 2 通项公式 an cqn c q均是不为零的常数 n n an 是等比数列 3 中项公式 an an 2 an an 1 an 2 0 n n an 是等比数列 思想方法感悟提高 2 方程观点以及基本量 首项和公比a1 q 思想仍然是求解等比数列问题的基本方法 在a1 q n an sn五个量中 知三求二 3 分类讨论的思想 当a1 0 q 1或a1 0 0 q 1时 an 为递增数列 当a1 0 q 1或a1 0 0 q 1时 an 为递减数列 当q 0时 an 为摆动数列 当q 1时 an 为常数列 失误与防范1 特别注意q 1时 sn na1这一特殊情况 2 由an 1 qan q 0 并不能立即断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 3 sn m sn qnsm 一 选择题1 2009 广东理 4 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 a n 2n 1 b n 1 2c n2d n 1 2解析由题意知an 2n log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 2n 1 n2 c 定时检测 2 2009 辽宁理 6 设等比数列 an 的前n项和为sn 若 3 则 a 2b c d 3解析由题意知 q3 2 b 3 等比数列 an 中 其公比q 0 且a2 1 a1 a4 4 a3 则a4 a5等于 a 8b 8c 16d 16解析 a1 a2 1 a3 a4 4 a1 a2 q2 又q 0 q 2 a4 a5 a3 a4 q 4 2 8 b 4 在数列 an 中 an 1 can c为非零常数 且前n项和为sn 3n k 则实数k的值为 a 0b 1c 1d 2解析 an 为等比数列的充要条件是sn 由sn 3n k知k 1 c 5 等比数列 an 的公比为q 其前n项的积为tn 并且满足条件a1 1 a99a100 1 0 0 给出下列结论 0 q 1 a99 a101 1 0 t100的值是tn中最大的 使tn 1成立的最大自然数n等于198 其中正确的结论是 a b c d 解析 中 正确 a99a101 a10020 a100 1t100 t99 a1000 a100 1 中 a99 a101 1 正确 t100 t99 错误 中 中 t198 a1a2 a198 a1 a198 a2 a197 a99 a100 a99 a100 99 1 t199 a1a2 a198 a199 a1a199 a99 a101 a100 a100199 1 正确 答案a 6 在正项等比数列 an 中 an 1 an a2 a8 6 a4 a6 5 则等于 a b c d 解析设公比为q 则由an 1 an知0 q 1 由a2 a8 6 得 6 a5 a4 a6 解得q d 二 填空题7 2009 浙江 11 设等比数列 an 的公比q 前n项和为sn 则 解析 s4 a4 a1q3 15 8 2009 海南文 15 等比数列 an 的公比q 0 已知a2 1 an 2 an 1 6an 则 an 的前4项和s4 解析 an 是等比数列 an 2 an 1 6an可化为a1qn 1 a1qn 6a1qn 1 q2 q 6 0 q 0 q 2 s4 9 2009 江苏 14 设 an 是公比为q的等比数列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 解析由题意知 数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 说明 an 有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 由于 an 中连续四项至少有一项为负 q 0 又 q 1 an 的连续四项为一24 36 54 81 q 6q 9 9 三 解答题10 等比数列 an 满足 a1 a6 11 a3 a4 且公比q 0 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若该数列前n项和sn 21 求n的值 解 1 a3 a4 a1 a6 由条件知a1 a6是方程x2 11x 0的两根 解得x 或x 又0 q 1 a1 a6 q5 即