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基本不等式 正方形的面积为 四个直角三角形的面积和为 我们得到一个不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形efgh缩为一个点 这时有 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 特别地 如果a 0 b 0 我们用 分别代替a b 可得到 通常 我们把上式写作 以上的不等式是我们从几何图形中的面积关系得出的 能否利用不等式的性质直接推导出来呢 证明 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆长是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 2 设矩形菜园的宽为xm 则长为 36 2x m 其中0 x 18 解 其面积为 当且仅当2x 36 2x 即x 9时菜园面积最大 即菜园长18m 宽为9m时菜园面积最大为162m2 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式 然后求函数的最值 其中用到了均值不等式定理 解 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 设水池底面一边的长度为xm 则水池的宽为 水池的总造价为y元 根据题意 得 因此 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 课堂练习 1 1 已知 求函数的最大值 2 已知 且 求的最小值 课堂练习 2 求函数的值域 课堂练习 3 用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱 先在四角分别截去一个小正方形 然后做成一个无盖的水箱 问水箱边长取多少时 水箱容积最大 最大的容积为多少 课堂练习 课本第113页练习1 2 3 4 小结 1 函数的解析式中 各项均为正数 3 函数的解析式中 含变数的各项均相等 取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时 应具备三个条件 一正二定三取等 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题 在用均值不等式求函数的最值 是值得重视的一种方法 但在具体求解时 应注意考查下列三个
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