高考数学总复习 12.5 二项分布及其应用课件.ppt

要点梳理1 条件概率及其性质 1 对于任何两个事件a和b 在已知事件a发生的条件下 事件b发生的概率叫做 用符号 来表示 其公式为p b a 在古典概型中 若用n a 表示事件a中基本事件的个数 则 12 5二项分布及其应用 条件概率 p b a 基础知识自主学习 2 条件概率具有的性质 如果b和c是两互斥事件 则p b c a 2 相互独立事件 1 对于事件a b 若a的发生与b的发生互不影响 则称 2 若a与b相互独立 则p b a p ab 3 若a与b相互独立 则 也都相互独立 4 若p ab p a p b 则 0 p b a 1 p b a p c a a b是相互独立事件 p b p b a p a p a p b a与b相互独立 3 二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有 种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2 在n次独立重复试验中 事件a发生k次的概率为 p为事件a发生的概率 事件a发生的次数是一个随机变量x 其分布列为 记为 二项分布 x b n p 两 基础自测1 小王通过英语听力测试的概率是他连续测试3次 那么其中恰有1次获得通过的概率是 a b c d 解析所求概率 a 2 一射手对同一目标独立地进行四次射击 已知至少命中一次的概率为则此射手的命中率为 a b c d 解析设此射手射击目标命中的概率为p b 3 设随机变量则p x 3 等于 a b c d 解析 a 4 一个电路如图所示 a b c d e f为6个开关 其闭合的概率都是且是相互独立的 则灯亮的概率是 a b c d 解析设a与b中至少有一个不闭合的事件为t e与f至少有一个不闭合的事件为r 则所以灯亮的概率 b 5 设10件产品中有4件不合格 从中任意取2件 试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品 另一件也是不合格品的概率是 a 0 2b 0 3c 0 4d 0 5解析记事件a为 有一件是不合格品 事件b为 另一件也是不合格品 a 题型一条件概率 例1 1号箱中有2个白球和4个红球 2号箱中有5个白球和3个红球 现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱 然后从2号箱随机取出一球 问 1 从1号箱中取出的是红球的条件下 从2号箱取出红球的概率是多少 2 从2号箱取出红球的概率是多少 题型分类深度剖析 从2号箱取出红球 有两种互斥的情况 一是当从1号箱取出红球时 二是当从1号箱取出白球时 解记事件a 最后从2号箱中取出的是红球 事件b 从1号箱中取出的是红球 思维启迪 求复杂事件的概率 可以把它分解为若干个互不相容的简单事件 然后利用条件概率和乘法公式 求出这些简单事件的概率 最后利用概率的可加性 得到最终结果 探究提高 知能迁移1抛掷红 蓝两颗骰子 设事件a为 蓝色骰子的点数为3或6 事件b为 两颗骰子的点数之和大于8 1 求p a p b p ab 2 当已知蓝色骰子两点数为3或6时 问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少 解 1 设x为掷红骰子得到的点数 y为掷蓝骰子得到的点数 则所有可能的事件与 x y 建立对应 由题意作图 如右图所示 2 方法一方法二 题型二事件的相互独立性 例2 2008 天津 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为与p 且乙投球2次均未命中的概率为 1 求乙投球的命中率p 2 求甲投球2次 至少命中1次的概率 3 若甲 乙两人各投球2次 求两人共命中2次的概率 甲 乙两人投球是相互独立的 同一人的两次投球也是相互独立的 用独立事件同时发生的概率求解 思维启迪 解 1 方法一设 甲投球一次命中 为事件a 乙投球一次命中 为事件b 由题意得 1 p b 2 1 p 2 解得 舍去 所以乙投球的命中率为方法二设 甲投球一次命中 为事件a 乙投球一次命中 为事件b 由题意得所以乙投球的命中率为 2 方法一由题设和 1 知 故甲投球2次至少命中1次的概率为方法二由题设和 1 知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 3 由题设和 1 知 甲 乙两人各投球2次 共命中2次有三种情况 甲 乙两人各中一次 甲中2次 乙2次均不中 甲2次均不中 乙中2次 概率分别为所以甲 乙两人各投球2次 共命中2次的概率为 探究提高 1 相互独立事件是指两个试验中 两事件发生的概率互不影响 相互对立事件是指同一次试验中 两个事件不会同时发生 2 求用 至少 表述的事件的概率时 先求其对立事件的概率往往比较简单 知能迁移2设甲 乙两射手独立地射击同一目标 他们击中目标的概率分别为0 8 0 9 求 1 两人都击中目标的概率 2 两人中恰有1人击中目标的概率 3 在一次射击中 目标被击中的概率 4 两人中 至多有1人击中目标的概率 解设事件a 甲射击一次 击中目标 事件b 乙射击一次 击中目标 a与b相互独立 则p a 0 8 p b 0 9 1 两人都击中目标的事件为a b p a b p a p b 0 8 0 9 0 72 即两人都击中目标的概率为0 72 2 设事件c 两人中恰有1人击中目标 p a 1 p b p b 1 p a 0 8 0 1 0 9 0 2 0 26 即两人中恰有1人击中目标的概率为0 26 3 设d 目标被击中 两人中至少有1人击中目标 本问有三种解题思路 方法一 p a 1 p b p b 1 p a p a p b 0 8 0 1 0 9 0 2 0 8 0 9 0 98 即目标被击中的概率是0 98 方法二利用求对立事件概率的方法 两人中至少有1人击中的对立事件为两人都未击中 所以两人中至少有1人击中的概率为即目标被击中的概率是0 98 方法三 d a b 且a与b独立 p d p a b p a p b p a b 0 8 0 9 0 8 0 9 0 98 故目标被击中的概率是0 98 4 设e 至多有1人击中目标 0 8 0 1 0 9 0 2 0 1 0 2 0 28 故至多有1人击中目标的概率为0 28 题型三独立重复试验与二项分布 例3 12分 一名学生每天骑车上学 从他家到学校的途中有6个交通岗 假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 1 设x为这名学生在途中遇到红灯的次数 求x的分布列 2 设y为这名学生在首次停车前经过的路口数 求y的分布列 3 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 思维启迪因为在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立 且概率均为因此该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题 解 1 将通过每个交通岗看做一次试验 则遇到红灯的概率为且每次试验结果是相互独立的 故2分所以x的分布列为4分 2 由于y表示这名学生在首次停车时经过的路口数 显然y是随机变量 其取值为0 1 2 3 4 5 6 其中 y k k 0 1 2 3 4 5 表示前k个路口没有遇上红灯 但在第k 1个路口遇上红灯 故各概率应按独立事件同时发生计算 6分而 y 6 表示一路没有遇上红灯 故其概率为 因此y的分布列为 8分 3 这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 x 1 x 1或x 2或 或x 6 10分所以其概率为12分 探究提高要正确理解独立重复试验与独立事件间的关系 独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 每次试验都只有两种结果 即某事件要么发生 要么不发生 并且在任何一次试验中 事件发生的概率均相等 独立重复试验是相互独立事件的特例 概率公式也是如此 就像对立事件是互斥事件的特例一样 只是有 恰好 字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单 就像有 至少 或 至多 字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样 知能迁移3 2008 山东高考改编 甲 乙两队参加奥运知识竞赛 每队3人 每人回答一个问题 答对者为本队赢得一分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响 用表示甲队的总得分 1 求随机变量的分布列 2 用a表示 甲 乙两个队总得分之和等于3 这一事件 用b表示 甲队总得分大于乙队总得分 这一事件 求p ab 解 1 由题意知 的可能取值为0 1 2 3 且所以的分布列为 2 方法一用c表示 甲队得2分乙队得1分 这一事件 用d表示 甲队得3分乙队得0分 这一事件 所以ab c d 且c d互斥 由互斥事件的概率公式得 方法二用ak表示 甲队得k分 这一事件 用bk表示 乙队得k分 这一事件 k 0 1 2 3 由于事件a3b0 a2b1为互斥事件 故有p ab p a3b0 a2b1 p a3b0 p a2b1 由题设可知 事件a3与b0独立 事件a2与b1独立 因此p ab p a3b0 p a2b1 p a3 p b0 p a2 p b1 1 古典概型中 a发生的条件下b发生的条件概率公式为其中 在实际应用中是一种重要的求条件概率的方法 2 运用公式p ab p a p b 时一定要注意公式成立的条件 只有当事件a b相互独立时 公式才成立 3 在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为其中p是一次 方法与技巧 思想方法感悟提高 试验中该事件发生的概率 实际上 正好是二项式 1 p p n的展开式中的第k 1项 1 独立重复试验中 每一次试验只有两种结果 即某事件要么发生 要么不发生 并且任何一次试验中某事件发生的概率相等 注意恰好与至多 少 的关系 灵活运用对立事件 2 二项分布要注意确定成功概率 失误与防范 一 选择题1 甲 乙两人同时报考某一所大学 甲被录取的概率为0 6 乙被录取的概率为0 7 两人是否被录取互不影响 则其中至少有一人被录取的概率为 a 0 12b 0 42c 0 46d 0 88解析由题意知 甲 乙都不被录取的概率为 1 0 6 1 0 7 0 12 至少有一人被录取的概率为1 0 12 0 88 d 定时检测 2 在4次独立重复试验中事件a出现的概率相同 若事件a至少发生一次的概率为则事件a在一次试验中出现的概率为 a b c d 以上都不对解析设一次试验出现的概率为p a 3 如图所示 在两个圆盘中 指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等 那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 a b c d 解析由独立事件发生的概率得 a 4 某人射击一次击中目标的概率为0 6 经过3次射击 此人至少有两次击中目标的概率为 a b c d 解析两次击中的概率三次击中的概率 至少两次击中目标的概率 a 5 位于坐标原点的一个质点p按下列规则移动 质点每次移动一个单位 移动的方向为向上或向右 并且向上 向右移动的概率都是质点p移动五次后位于点 2 3 的概率是 a b c d 解析质点在移动过程中向右移动2次 向上移动3次 因此质点p移动5次后位于点 2 3 的概率为 b 6 袋中有红 黄 绿色球各一个 每次任取一个 有放回地抽取三次 球的颜色全相同的概率是 a b c d 解析三次均为红球的概率为三次均为黄 绿球的概率也为 抽取3次颜色相同的概率为 b 二 填空题7 2008 湖北文 14 明天上午李明要参加奥运志愿者活动 为了准时起床 他用甲 乙两个闹钟叫醒自己 假设甲闹钟准时响的概率是0 80 乙闹钟准时响的概率是0 90 则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 解析设a 两个闹钟至少有一个准时响 p a 1 1 1 0 80 1 0 90 1 0 2 0 1 0 98 0 98 8 高二某班共有60名学生 其中女生有20名 三好学生占而且三好学生中女生占一半 现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会 则在已知没有选上女生的条件下 选上的是三好学生的概率为 解析设事件a表示 任选一名同学是男生 事件b为 任取一名同学为三好学生 则所求概率为p b a 9 有一批书共100本 其中文科书40本 理科书60本 按装潢可分精装 平装两种 精装书70本 某人从这100本书中任取一书 恰是文科书 放回后再任取1本 恰是精装书 这一事件的概率是 解析设 任取一书是文科书 的事件为a 任取一书是精装书 的事件为b 则a b是相互独立的事件 所求概率为p a b 三 解答题10 2008 重庆文 18 在每道单项选择题给出的4个备选答案中 只有一个是正确的 若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案 求这4道题中 1 恰有两道题答对的概率 2 至少答对一道题的概率 解视 选择每道题的答案 为一次试验 则这是4次独立重复试验 且每次试验中 选择正确 这一事件发生的概率为 由独立重复试验的概率计算公式得 1 恰有两道题答对的概率为 2 方法一至少有一道题答对的概率为方法二至少有一道题答对的概率为 11 2009 北京文 17 某学生在上学路上要经过4个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红灯的概率都是遇到红灯时停留的时间都是2min 1 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 2 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 解 1 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件a 因为事件a等价于事件 这名学生在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件a的概率为 2 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件b 这名学生在上学路上遇到k次红灯为事件bk k 0 1 2 由题意得由于事件b等价于事件 这名学生在上学路上至多遇到2次红灯 所以事件b的概率为 12 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提高下岗人员的再就业能力 每名下岗人员可以