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课时分层作业(九)二维形式的柯西不等式(建议用时：45分钟)基础达标练一、选择题1若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A1B2C. D4C(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby.2已知a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22 Da2b23C(1212)(a2b2)(ab)24，a2b22.3已知a，bR，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQ BPQA设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2，即PQ.4若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2C， D(，)A(a2b2)12(1)2(ab)2.a2b210，(ab)220.2ab2.5若ab1且a，b同号，则的最小值为()A1 B2C DCa22b22(a2b2)4.ab1，ab，a2b2(a2b2)(11)(ab)2，114217，4.二、填空题6设实数x，y满足3x22y26，则P2xy的最大值为_解析由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，于是2xy.答案7设xy0，则的最小值为_解析原式9(当且仅当xy时取等号)答案98设x，yR，且x2y8，则的最小值为_解析(x2y)()2()2225，当且仅当，即x，y时，“”成立又x2y8，.答案三、解答题9已知为锐角，a，b均为正实数求证：(ab)2.证明设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n| ，(ab)2.10已知实数a，b，c满足a2bc1，a2b2c21，求证：c1.证明因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得(1222)(a2b2)(a2b)2，当且仅当b2a时，等号成立，即5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.能力提升练1函数y2的最大值是()A. B.C3 D5B根据柯西不等式，知y12.2已知4x25y21，则2xy的最大值是()A. B1C3 D9A2xy2x1y1.2xy的最大值为.3函数f(x)的最大值为_解析设函数有意义时x满足x22，由柯西不等式得f(x)2(12)，f(x)，当且仅当2x2，即x2时取等号答案4在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长解如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l2(x)2(1x1)由柯西不等式l2x2()2(1212)22R4R
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