第3章-非稳态导热分析解法.ppt

第三章非稳态导热 第三章非稳态导热 3 1非稳态导热的基本概念 3 2集总参数法的简化分析 3 3一维非稳态导热的分析解 3 4二维三维非稳态导热问题的求解 3 5半无限大物体的非稳态导热 重点内容 非稳态导热的基本概念及特点 集总参数法的基本原理及应用 一维及二维非稳态导热问题 2 掌握内容 确定瞬时温度场的方法 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法 3 了解内容 无限大物体非稳态导热的基本特点 3 1非稳态导热的基本概念 一 非稳态导热过程及其特点导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化 热流也随时间变化 自然界和工程上许多导热过程为非稳态 t f 例如 冶金 热处理与热加工中工件被加热或冷却 锅炉 内燃机等装置起动 停机 变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度 2非稳态导热的分类 周期性非稳态导热 物体的温度随时间而作周期性的变化 非周期性非稳态导热 瞬态导热 物体的温度随时间不断地升高 加热过程 或降低 冷却过程 在经历相当长时间后 物体温度逐渐趋近于周围介质温度 最终达到热平衡 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值 着重讨论瞬态非稳态导热 3温度分布 4两个不同的阶段 非正规状况阶段 右侧面不参与换热 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布 即 在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大 环境的热影响不断向物体内部扩展的过程 即物体 或系统 有部分区域受到初始温度分布控制的阶段 必须用无穷级数描述 二类非稳态导热的区别 前者存在着有区别的两个不同阶段 而后者不存在 正规状况阶段 右侧面参与换热 当右侧面参与换热以后 物体中的温度分布不受to影响 主要取决于边界条件及物性 此时 非稳态导热过程进入到正规状况阶段 环境的热影响已经扩展到整个物体内部 即物体 或系统 不再受到初始温度分布影响的阶段 可以用初等函数描述 5热量变化 1 板左侧导入的热流量 2 板右侧导出的热流量 6学习非稳态导热的目的 1 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 2 非稳态导热的导热微分方程式 3 求解方法 分析解法 近似分析法 数值解法 分析解法 分离变量法 积分变换 拉普拉斯变换近似分析法 集总参数法 积分法数值解法 有限差分法 蒙特卡洛法 有限元法 分子动力学模拟 二 讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 在第三类边界条件下 确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系 已知 平板厚 初温 表面传热系数h 平板导热系数 将其突然置于温度为的流体中冷却 由于面积热阻与的相对大小的不同 平板中温度场的变化会出现以下三种情形 1 这时 由于表面对流换热热阻几乎可以忽略 因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到 并随着时间的推移 整体地下降 逐渐趋近于 2 这时 平板内部导热热阻几乎可以忽略 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀 并随着时间的推移 整体地下降 逐渐趋近于 这时 平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间 3 与的数值比较接近 由此可见 上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响 为此 我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数 1 毕渥数的定义 毕渥数属特征数 准则数 2 Bi物理意义 Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律 3 特征数 准则数 表征某一物理现象或过程特征的无量纲数 4 特征长度 是指特征数定义式中的几何尺度 3 2集总参数法的简化分析 1定义 忽略物体内部导热热阻 认为物体温度均匀一致的分析方法 此时 温度分布只与时间有关 即 与空间位置无关 因此 也称为零维问题 一 集总系统的能量平衡方程和温度分布 一个集总参数系统 其体积为V 表面积为A 密度为 比热为c以及初始温度为t0 突然放入温度为t 换热系数为h的环境中 热平衡关系为 内热能随时间的变化率 通过表面与外界交换的热流量Qc 当物体被冷却时 t t 由能量守恒可知 方程式改写为 则有 初始条件 控制方程 积分 过余温度比 其中的指数 应用集总参数法时 物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线 或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线 是傅立叶数 物体中的温度呈指数分布 方程中指数的量纲 即与的量纲相同 当时 则 此时 上式表明 当传热时间等于时 物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36 8 称为时间常数 用表示 二 时间常数 称为系统的时间常数 记为 s 也称弛豫时间 如果导热体的热容量 Vc 小 换热条件好 A大 那么单位时间所传递的热量大 导热体的温度变化快 时间常数 Vc A 小 反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征 与其几何形状 密度及比热有关 还与环境的换热情况相关 可见 同一物质不同的形状其时间常数不同 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同 当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时 即 s 4 s 工程上认为 4 s时导热体已达到热平衡状态 3瞬态热流量 导热体在时间0 内传给流体的总热量 当物体被加热时 t t 计算式相同 为什么 4物理意义 无量纲热阻 无量纲时间 Fo越大 热扰动就能越深入地传播到物体内部 因而 物体各点地温度就越接近周围介质的温度 5 集总参数系统的判定 如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 V A具有长度的因次 称为集总参数系统的特征尺寸 为判定系统是否为集总参数系统 M为形状修正系数 采用此判据时 物体中各点过余温度的差别小于5 对厚为2 的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球 是与物体几何形状有关的无量纲常数 对于一个复杂形体的形状修正系数时 可以将修正系数M取为1 3 即 例题3 2将一个初始温度为20 直径为100mm的钢球投入1000 的加热炉中加热 表面传热系数为h 50W m2 K 已知钢球的密度为7790kg m3 比热容为470J kg K 导热系数为43 2W m K 试求钢球中心温度达到800 所需要的时间 解 首先判断能否用集总参数法求解 毕渥数为 可以用集总参数法求解 可解得Fov 83 6 3 2一维非稳态导热过程分析 一 无限大平板加热 冷却 过程分析 厚度2 的无限大平壁 a为已知常数 0时温度为t0 突然把两侧介质温度降低为t 并保持不变 壁表面与介质之间的表面传热系数为h 两侧冷却情况相同 温度分布对称 中心为原点 导热微分方程 初始条件 边界条件 第三类 采用分离变量法求解 取 只能为常数 只为 的函数 只为x的函数 对积分 得到 式中C1是积分常数 常数值D的正负可以从物理概念上加以确定 当时间 趋于无穷大时 过程达到稳态 物体达到周围环境温度 所以D必须为负值 否则物体温度将无穷增大 令 则有以及 以上两式的通解为 于是 常数A B和 可由边界条件确定 1 2 3 由边界条件 2 得B 0 a a 式成为 b 边界条件 3 代入 b 得 c 将右端整理成 注意 这里Bi数的尺度为平板厚度的一半 显然 是两曲线交点对应的所有值 式 c 称为特征方程 称为特征值 分别为 1 2 n 至此 我们获得了无穷个特解 将无穷个解叠加 利用初始条件求An 解的最后形式为 令 n n 傅里叶准则 Fo 称之为傅里叶准则或傅里叶数 其物理意义表征了给定导热系统的导热性能与其贮热 贮存热能 性能的对比关系 是给定系统的动态特征量 无量纲距离 用分离变量法可得其分析解为 此处Bn为离散面 特征值 若令则上式可改写为 n为下面超越方程的根为毕渥准则数 用符号Bi表示书上P73表3 1给出了部分Bi数下的 1值 因此是F0 Bi和函数 即 注意 特征值特征数 准则数 2 非稳态导热的正规状况 对无限大平板当取级数的首项 板中心温度 误差小于1 与时间无关 若令Q为内所传递热量 时刻z的平均过余温度 考察热量的传递 Q0 非稳态导热所能传递的最大热量 对无限大平板 长圆柱体及球 及可用一通式表达 此处此处的A B及函数见P74表3 2 3正规热状况的实用计算方法 拟合公式法 对上述公式中的A B 1 J0可用下式拟合式中常数a b c d见P75表3 3a b c d 见P75表3 4 3正规热状况的实用计算方法 线算图法 诺谟图 三个变量 因此 需要分开来画 以无限大平板为例 F0 0 2时 取其级数首项即可 先画 2 再根据公式 3 23 绘制其线算图 3 于是 平板中任一点的温度为 同理 非稳态换热过程所交换的热量也可以利用 3 24 和 3 25 绘制出 为平板中心的过余温度 P37图3 7 P36图3 6 定义无量纲的热量 其中Q 为0 时间内传导的热量 内热能的改变量 为 至无穷时间内的总传导热量 物体内能改变总量 经过 秒钟 每平方米平壁放出或吸收的热量 P77图3 8 如何利用线算图 a 对于由时间求温度的步骤为 计算Bi数 Fo数和x 从图3 6中查找 m 0和从图3 7中查找 m 计算出 最后求出温度t b 对于由温度求时间步骤为 计算Bi数 x 和 0 从图3 7中查找 m 计算 m 0然后从图3 6中查找Fo 再求出时间 c 平板吸收 或放出 的热量 可在计算Q0和Bi数 Fo数之后 从图3 6中Q Q0查找 再计算出 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程 并且F0 0 2 无限长圆柱体和球体加热 冷却 过程分析 1 无限长圆柱 式中r0为无限长圆柱体的半径 类似有 和 附录P412图1 2 3 2 球体 球体处理方法与无限大圆柱体完全相同 相应的线算图示于P414图4 图5和图6之中 这里要注意的是特征尺寸R为球体的半径 r为球体的径向方向 Fo 0 2时 进入正规状况阶段 平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化 变化曲线的斜率都相等 m 0随F0增大而见小 Fo 0 2时是瞬态温度变化的初始阶段 各点温度变化速率不同 2 Bi准则对温度分布的影响 Bi Bi 表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系 当Bi 时 意味着表面传热系数 对流换热热阻趋于0 平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始 就立刻降到流体温度t 当Bi 0时 意味着物体的热导率很大 导热热阻 0 Bi 物体内的温度分布趋于均匀一致 可用集总参数法求解 3 4二维及三维问题的求解 考察一无限长方柱体 其截面为的长方形 利用以下两组方程便可证明 及 即证明了是无限长方柱体导热微分方程的解 这样便可用一维无限大平壁公式 诺谟图或拟合函数求解二维导热问题 其中 其中 限制条件 1 一侧绝热 另一侧三类 2 两侧均为一类 3 初始温度分布必须为常数 多维非稳态导热的图解法 应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为2 的大平板 半径为R的无限长圆柱体 及半径为R的球体的温度分布和传导的热量 对非一维非稳态导热问题 我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢 用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题 一个无限长矩形柱 可以看成是由两个无限大平板正交而组成 它们的厚度分别为2 1和2 2 无限长矩形柱的导热微分方程式为 假定 将其代入微分方程中 一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示 同理 一个三维非稳态导热问题的解可以用三个相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示 例如 1 矩形截面的长棱柱 正四棱柱 可由两个大平板正交构成 因而温度分布为两个大平板对应的温度分布的乘积 2 矩形块体 立方体 可由三个大平板正交构成 因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的乘积 3 短圆柱体可由一个长圆柱体和一个大平板正交构成 因而温度分布为一个长圆柱体和一个大平板对应的温度分布的乘积 4 半长圆柱体可由一个长圆柱体和一个半无限大固体正交构成 因而温度分布为一个长圆柱体和一个半无限大固体对应的温度分布的乘积 需要强调的是 我们要确定某一点的温度时 一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上的位置 再去确定相应的一维温度值 最终乘积得出物体在该点的温度值 例题3 1一块厚200mm的大钢板 钢材的密度为 7790kg m3 比热容cp 170J kg K 导热系数为43 2W m K 钢板的初始温度为20 放入1000 的加热炉中加热 表面传热系数为h 300W m2 K 试求加热40分钟时钢板的中心温度 解 根据题意 100mm 0 1m 钢材的热扩散率为 傅里叶数为 毕渥数为 查图可得 3 5半无限大的物体 半无限大系统指的是一个半无限大的空间 也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统 很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程 误差函数 令 无量纲坐标