第3章 线性方程组解法 第1节 向量与矩阵基础.ppt

Ch4向量空间 第一节向量组的线性相关与线性无关 一 向量 向量组与矩阵 维向量写成一行 称为行向量 也就是行矩阵 通常用等表示 如 维向量写成一列 称为列向量 也就是列矩阵 通常用等表示 如 若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 例如 向量组 称为矩阵A的行向量组 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应 定义 线性组合 向量能由向量组线性表示 定理1 定义 从而 注意 定义 二 线性相关性的概念 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 三 线性相关性的判定 解 例 或r I n 得线性无关 解 例 分析 解 因为 证法1 证法2 性质1 四 向量组的线性相关性质 证明 说明 性质2 说明 证明 性质3 证明 定理3向量组 当时 线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 证明 充分性 设中有一个向量 比如 能由其余向量线性表示 即有 五 线性表示 线性相关 线性无关三者的关系 而不是 每一个 故 因这个数不全为0 故线性相关 必要性 设线性相关 则有不全为0的数使 因中至少有一个不为0 不妨设则有 即能由其余向量线性表示 证毕 定理4 定理 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 线性组合与线性表示的概念 线性相关与线性无关的概念 线性相关性在线性方程组中的应用 重点 线性相关与线性无关的判定方法 定义 两个定理 难点 六 小结 思考题 思考题解答 向量空间 第二节向量组的秩 定义 一 最大线性无关向量组 秩 定理 二 矩阵与向量组秩的关系 结论 说明 事实上 定理 三 向量组秩的重要结论 推论1 推论2 性质 证一 证二 注意 最大线性无关向量组的概念 最大性 线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系 矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论 一个定理 两个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵 然后进行初等行变换 四 小结 思考题 思考题解答 问题转化为 因为 所以 向量空间 第三节向量空间 说明 2 维向量的集合是一个向量空间 记作 一 向量空间的概念 定义1设为维向量的集合 如果集合非空 且集合对于加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合为向量空间 1 集合对于加法及乘数两种运算封闭指 例2判别下列集合是否为向量空间 解 解 试判断集合是否为向量空间 定义2设有向量空间及 若向量集合 就说是的子空间 实例 二 子空间 设是由维向量所组成的向量空间 那末向量组就称为向量空间的一个 基 称为向量空间的维数 并称为维向量空间 三 向量空间的基与维数 定义3设是向量空间 如果个向量 且满足 dimV r 向量空间的概念 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭 由向量组生成的向量空间 子空间的概念 四 小结 向量空间 第四节线性方程组解的结构 解向量的概念 为齐次线性方程组 一 齐次线性方程组解的性质 的解 称为方程组的解向量 齐次线性方程组解的性质 证明 2 若为的解 为实数 则也是的解 证明 由以上两个性质可知 方程组的全体解向量所组成的集合 对于加法和数乘运算是封闭的 因此构成一个向量空间 称此向量空间为齐次线性方程组的解空间 一般记作 注 齐次解的线性组合仍为齐次解 基础解系的定义 二 基础解系及其求法 线性方程组基础解系的求法 现对取下列组数 依次得 从而求得原方程组的个解 说明 解空间的基不是唯一的 解空间的基又称为方程组的基础解系 若是的基础解系 则其通解为 定理1 解 对系数矩阵作初等行变换 变为行最简矩阵 有 证明 非齐次线性方程组解的性质 三 非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕 其中为对应齐次线性方程组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特解 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax b的通解为 与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 线性方程组的解法 1 应用克莱姆法则 2 利用初等变换 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 计算量大 容易出错 但有重要的理论价值 可用来证明很多命题 特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效的计算方法 例4求解方程组 解 非齐次方程的通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解 齐次线性方程组基础解系的求法 四 小结 对系数矩阵进行初等变换 将其化为行最简形讨论 线性方程组解的情况 思考题 思考题解答 第五节向量的内积 向量空间 定义1 一 内积的定义及性质 说明 内积的运算性质 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 解 单位向量 夹角 正交的概念 正交向量组的概念 正交 或垂直 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 三 正交向量组的概念及求法 证明 正交向量组的性质 定理1 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 解 规范正交基 例如 4维向量组 同理可知 自然基 1 施密特正交化 取 求规范正交基的方法 我们来介绍其步骤 2 规范化 即单位化 取 解先正交化 取 施密特正交化过程 再单位化 得规范正交向量组如下 例3 解 把基础解系正交化 即为所求 亦即取 证明 定义4 定理2 四 正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 正交矩阵 定义5若为正交阵 则线性变换称为正交变换 性质正交变换保持向量的长度不变 证明 例5判别下列矩阵是否为正交阵 解 所以它不是正交矩阵 考