轴心压杆大挠度弹性屈曲分析.doc

轴心压杆大挠度弹性屈曲分析摘要 以大挠度理论为基础，对压杆的稳定性进行了分析，推导得出了压杆屈曲后的挠度与荷载关系的数表达式. 通过ANSYS算例，说明利用该公式不仅能描述压杆屈曲后挠度曲线的形状，而且还能给出压杆屈曲后挠度值的大小，从而为精确分析压杆的极限承载力，提供了一种理论分析的方法。关键词：屈曲理论；大挠度；ANSYS分析。1 引言小挠度理论只能说明直线状态是不稳定的，却不能给出荷载与挠度的具体关系式。随着压杆不断向轻型组合结构的方向发展，在其稳定性的分析中，考虑剪切变形的影响已十分必要. 吕烈武曾指出，在实际工程中，有许多根据屈曲理论分析得到的屈曲荷载，并不与压杆的极限承载力相关，且认为产生这种不一致的原因，是由压杆屈曲后的平衡状态所决定的. 所以，有必要应用大挠度理论对压杆屈曲后的变形特性进行研究. 作者在大挠度理论的基础上，考虑压杆剪切变形的影响，推导得出了压杆的挠度与荷载关系的函数表达式，可以给出组合压杆屈曲后的荷载与挠度的一一对应关系，并且可以确定屈曲后挠度值的大小，从而在理论上为分析压杆的极限承载力提供了参考.2 大挠度理论按照小变形理论对两端铰接的轴心受压构件剪力线性微分方程求解，得到构件的屈曲荷载和变形曲线。剪力平衡方程时用代替构件变形时的曲率。为了阐明构件屈曲后的性能，必须用曲率的精确值，这样一来，就得到了大挠度方程 （1）（1）式可简化，因为曲率是曲线的倾角对弧长的变化率，即，这样可以简化为 （2）在（2）式中含有三个变量，为了便于计算，对式（2）再微分一次，而且利用，以减少为两个变量。令，式（2）变为 （3）上式利用椭圆积分求解，先得到构件的长度与构件屈曲后两端的倾角和的积分式 （4）这是一个有现成的积分表可查的椭圆积分式。引入符号和。其中 （5） （6） （7）因为，,这样上式可写成 （8）这是大挠度理论关于轴心受压构件屈曲后荷载和变形的端角之间的关系式。对于构件屈曲后的变形，还需要知道构件中点的挠度和端角之间的关系式。由 （9）可得 （10）给定后由式（8）和（10）即可得到和。3 ANSYS实例验证轴心受压构件大挠度分析理论理论解计算步骤：（1）通过给定的端角先求得参数（2）求得系数（3）通过求得荷载（4）通过求得中点水平位移计算结果如下表表1 基于大挠度的理论解端角（度）p=sin(/2)KP/Pe理论解v/l理论解001.570810.0226100.08721.57381.00380.0993200.17361.58281.01530.1292300.25881.59811.03510.1708400.3421.621.06360.2152500.42261.6491.10210.2586600.51.68581.15180.2976700.57361.73121.21470.3315800.64281.78681.29390.3595900.70711.85411.39320.38091000.7661.93561.51840.39511100.81922.03471.67790.40171200.8662.15651.88480.40061300.90632.30882.16040.39151400.93972.50462.54240.3741500.96592.76813.10540.3481600.98483.15344.03010.31131700.99623.83175.95040.2591 ANSYS分析采用beam3单元，单元长度为压杆长度的5%。用ANSYS作几何非线性分析时，受限要打开大位移选项，并根据问题类型设置求解控制选项；其次是引入缺陷“激起”非线性分析，对大多数实际问题分析中，需要引入缺陷以进行非线性分析，但对如拱一类的结构则不必引入缺陷而直接进行非线性分析。就本例，必须给出一定的初始缺陷（初弯曲）才能进行非线性分析，初始缺陷的大小对屈曲荷载附近影响较大，而后影响逐渐减少，本例采用千分之一的压杆长度为初始缺陷。在求解策略上，本例没有使用弧长法，当荷载位移曲线变化比较剧烈时，调正荷载子步大小即可收效。命令流如下：finish$/clear$/filname,colu$/prep7aa=100.0ai=10000/12.0l0=1000em=2e5pcr=acos(-1)*acos(-1)*em*ai/l0/l0et,1,3mp,ex,1,emr,1,aa,ai,10k,1,0k,2,0,l0/2k,3,0,l0l,1,2l,2,3lesize,all,20lmesh,allnode1=node(0,l0,0)finish/soludk,1,ux,uydk,3,uxfk,3,fy,-pcrpstres,onsolvefinish/soluantype,1bucopt,lanb,1mxpand,1,1solvefinish/prep7upgeom,1,colu,rstfinish/soluantype,0nlgeom,1outres,all,lastnsubst,100*dim,hzxs,22hzxs(1)=1.0000,1.0038,1.0153,1.0351,1.0636,1.1021hzxs(7)=1.1518,1.2147,1.2939,1.3932,1.5184,1.6779hzxs(13)=1.8848,2.1604,2.5424,2.7,2.9,3.1054hzxs(19)=3.4,3.8,4.0301,5.9504*do,i,1,22fk,3,fy,-pcr*hzxs(i)lswrite,i*enddolssolve,1,22/post26nsol,2,2,u,x,dduznsol,3,node1,u,yvput,hzxs,4prod,5,2,1/l0prod,6,3,1/l0/color,wbak,15/color,axes,0/color,axnum,0/color,axlab,0/color,grid,0/color,curve,0/axlab,x,v/L/axlab,y,P/Pexvar,5plvar,4/axlab,x,lo/L/axlab,y,P/Pexvar,6plvar,4prvar,5,6得到荷载位移曲线如下图：图1 中点挠度荷载位移曲线图2 顶点纵向荷载位移曲线 * ANSYS POST26 VARIABLE LISTING * TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 1.0000 0.226386E-01 -0.145777E-02 2.0000 0.992758E-01 -0.252743E-01 3.0000 0.129184 -0.430294E-01 4.0000 0.170829 -0.765500E-01 5.0000 0.215201 -0.125130 6.0000 0.258224 -0.187829 7.0000 0.297343 -0.262681 8.0000 0.331314 -0.348097 9.0000 0.359374 -0.442780 10.000 0.380764 -0.544766 11.000 0.395008 -0.652394 12.000 0.401732 -0.763897 13.000 0.400670 -0.877725 14.000 0.391592 -0.992535 15.000 0.374211 -1.10749 16.000 0.366708 -1.14479 17.000 0.357310 -1.18602 18.000 0.347975 -1.22261 19.000 0.335315 -1.26717 20.000 0.319611 -1.31651 * ANSYS POST26 VARIABLE LISTING * TIME 5 PROD 6 PROD 5 6 21.000 0.311334 -1.34049 22.000 0.259042 -1.47148 注：变量5为，变量6为 表2 理论解和计算解之间比较端角（度）p=sin(/2)KP/Pe理论解v/l理论解v/l计算解误差（%）001.570810.02260100100.08721.57381.00380.09930.055479.3200.17361.58281.01530.12920.109717.8300.25881.59811.03510.17080.1625.5400.3421.621.06360.21520.21111.9500.42261.6491.10210.25860.25630.9600.51.68581.15180.29760.29660.3700.57361.73121.21470.33150.33130.1800.64281.78681.29390.35950.3597-0.1900.70711.85411.39320.38090.3814-0.11000.7661.93561.51840.39510.3958-0.21100.81922.03471.67790.40170.4026-0.21200.8662.15651.88480.40060.4016-0.21300.90632.30882.16040.39150.3925-0.31400.93972.50462.54240.3740.3752-0.31500.96592.76813.10540.3480.3489-0.31600.98483.15344.03010.31130.3123-0.31700.99623.83175.95040.25910.26-0.4分析结果：当时，,除外没有其他解，即直线平衡是唯一的形式，也就是此时直线平衡是稳定的平衡状态。当时，此时柱子有两种平衡状态，即除不稳定的直线平衡形式外，还存在稳定的弯曲平衡形式。此荷载位移曲线被称为后屈曲平衡路径或第二平衡路径，它与原始平衡路径的交点成为分支点。4 结束语（1）小挠度和大挠度弹性理论分析都指出，对于两端铰接的轴心受压构件，当作用于端部的荷载小于欧拉荷载时，构件处于直线的稳定平衡状态。当等于时将出现分岔点，小挠度理论只能指出构件处于平衡状态，可以给出分岔点水平线和构件初始屈曲后变形曲线的形状，但是不能确定挠度值；当大于以后小挠度理论只能说明直线状态是不稳定的，而大挠度理论不仅能说明构件屈曲以后仍处在稳定平衡状态，而且还能给出荷载与挠度的关系式，这是一一对应的确定的数值。（2）大挠度理论分析得到的屈曲后的荷载虽然略高于屈曲荷载，但是当超过的千分之一时，挠度将达到构件长度的3%，从而使构件的中央截面产生较大的弯曲应力。即使对于