角平分线与平行线.doc

专题一 角平分线与平行线一、教学目标：1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系.2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量代换的技巧.3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想，指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定.三、教学方法：引导发现、练习提高四、教学手段：多媒体电脑、黑板五、具体内容：（一）复习引入角平分线的常用使用环境基本图形当角平分线构成的等量关系和“平行”结合的时候，可以形成等腰三角形，从而得到等边的关系.当角平分线构成的等量关系和与180有关的角相结合的时候,可以转化得垂直关系.（二）例题图1例1 如图1, 已知ABC中,BAC的外角EAC的平分线交BC延长线于D求证：. 设计思想：融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看,本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似”挂钩,构造相似的方法可以过点C作AD的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.证明思路:过点C作CFAD交AB于F,可证明AF=AC.由BFCBAD得.经等量代换得.即.点拨:这道题辅助线的添加是个关键,需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点C作一条直线与两条直线分别相交于点（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系NMMNMNNMDCClCECDAEBBABAlBA图2图1备用图备用图设计思想:这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一.解：（1）（2）成立分析一:直接找三条线段的关系并不好找,我们的间接手段有两个:一是截长,将三段转化为四段,确定一对等量,证明另一对等量;二是补短,将三段转化为两段,证明等量.在这道题目当中,采取截长的方法即可证明全等.解法思路一：如图2-1,在上截取，连接图2-1ABEDCMNl12563487G现证明ADCAGC. .再证. . 分析二:这道题也可以受第(1)问的启发,构造角平分线上点向角两边的垂线段,以利用角平分线的性质得线段的等量关系.ABEDCMNl125634HFG图2-2解法思路二：如图2-2,过点C作直线，垂足为点F，交于点G作，垂足为点 由（1）得.由,得CF=CH=CG. .分析三:有“角平分线”“平行线”的时候,我们还可以构造等腰三角形.为了制造内错角,延长BC交AM于F就可以了,在这个图形中,既可以得到ABF是等腰三角形,又可以在ABF利用三线合一得到等量关系.解法思路三：如图2-3,延长，交AM于点ABEDCMNl125634F7图2-3,.,.可证AFCABC. .可证FCDBCE.（3）不成立 存在当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图3-1），.当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线AM上时（如图3-2），. ABECMDlN图3-2ABEDCMl图3-1点拨:这道题中涉及的基本方法和图形很多,第一,平行线间同旁内角两条角平分线夹角成90;第二,平行线与角平分线结合可得相等线段关系,这也是常用的;第三,当问题涉及到三条线段时,可采取截长补短的方法.例3 （09烟台中考）如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，且CD=2AD , tanABC=2，过点D作DEAB，交BCD的平分线于点E，连接BE（1）求证：；（2）将BCE绕点C，顺时针旋转得到DCG，连接EG.求证：CD垂直平分EG.ADGECB图1（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点设计思想:融合平行线、角平分线、全等.分析：题目中，是很好的证明CD与BC相等的间接条件.延长交于,那么正切关系就可以给CD用,再用正切得到的2倍关系,和条件CD与AD的2倍关系结合用,就可得第(1)问结论.第(2)问显然要证明两组线段的等量关系,根据全等和旋转即可得到.第(3)问中的中点,即关系,显然与第(1)问有关,CD=2AD,因此只要证明DP=AD就可以了,因此可以连结BD构造全等三角形.3ADGECBFP124证明：（1）延长交于， 在中，即，即（2）平分，由（1）知，BC=CD,CE=CE,. 由图形旋转的性质知:CE=CG , BE=DG DE=DG .都在的垂直平分线上，垂直平分 （3）连接由（2）知， ，由（1）知，又， ，是的中点 点拨:这道题还是大量运用了平行和角平分线的关系,这种等量变换在做题中会经常遇到.（三）练习练习1（09重庆中考）如图，直线分别与直线、相交于点、，已知，平分交直线于点则=（ ）BA60B65C70D130ABCDEFP练习2如图，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )C (A)9 (B)10.5 (C)12 (D)15练习3.（09广州中考）如图，在ABCD中，AB = 6，AD = 9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=，则CEF的周长为（ ）A（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5练习4如图，在RtABC中，ACB=90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC，DE交AB于点E ，F为BE的中点，连结DF.若DF=3,DE=2,则AC长为 . 练习5. （09赤峰中考）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线.证明:BF是ABC的平分线,1=2.又AB=BC,BF=BF, ABF CBF.FA=FC. 3=4.又AFDC, 5=3. 4=5. CA是DCF的平分线.（四）总结 在有关角平分线的题目中, 平行线会经常涉猎到,因