任意打乱的魔方在123步以内可以复原.doc

任意打乱的魔方可以在123步内将其复原本文是魔方的数学描述之续篇，说明对于任意打乱的魔方说明可以在123步以内复原。命题一：第一层边块的定位定向（对十字）10次完成。方法一：选定一个心块，找与这个心块颜色一致的四个边块。这四个边块可能在上面，下面，側面。（一）如果在上面，转动U，使其边块的颜色与其心块颜色一致。（一次）（对）。（二）如果在下面，转动D，使其边块的颜色与其心块颜色一致。（一次）再把它转动一次,将使其翻到上面，（对，翻）共二次。（三）如果在側面（转动整个魔方使其在前面），又分在第二层，在第一，三层。（1）如果在第二层，在左位L,在右位R转动一次使其到下面，(二)再照上面的作法，（下，对，翻）共三次。（2）如果在一，三层，若在s位,用F.，若在m位,用F，先将其转动到右位，如前作法，（转，下，对，翻）共四次。 若有两个边在上面，用（一）先定一个。把另一个转到了下面。用（二）。对十字，一般十次便可完成。最多不超过十六次。经验。1+2+3+4=10。方法二：表一前右后左前右后左前前后后行删-4删U2RU22431LFLFDR2删LFDL2LFLFDLFD2LFDLLF2L2D2RL2822删删删-2ULUF-1+2+2+2+443删-2删FLD2-134定UFU】R定UFULUFULDUFURUFULDUFULUFUUFUUFUR2UFUL240特ULUF删-3ULUURUURUULU+225FLUFRFLUFLFLDFRFLDFLULURURUL2816ST-s-tmn-m-nZHPQ原070UU2UF2F2DF2D2F2DFFFR2FL21618F2DR2删-1F2DL2+329定L2D2R2定0L2DL2D2L2DL2LL2D2RL2D2RL18特删-3删+2-13100删删删-3+2-1411L2DF2LF2R删0L2DL2D2L2DL2L2DFL2DFL2DFR2LFDL27212删-3删0UFR2U24313上上上上下下下下左右右左第一块。16+213+34=44。共44次。对于一个位置有六个一次可以复原，十三个二次可以复原，总共有四个位置。表一中的6行8行。P(A1)=6/23=0.261根据概率加法公式得：P(X=1)=40.261-60.2612+40.2613-0.2614=1.044-0.408+0.071+0.005=0.70。P(X=1)=1-(1-6/23)4=1-(17/23)4=1-0.744=0.70。6+13=19 P(A2)=19/23=0.826根据概率加法公式得：P(X=2)=40.826-60.8262+40.8263-0.8264=3.304-4.094+2.254-0.466=0.998。以上的讨论是限定一个面，如果不限某个面，P(X=1)=1-(1-6/23)24=1-(17/23)24=1-0.7424=0.999。第二块。-s保持不动，即不允许转动U。凡是涉及U的变化都发生了变动。 （1）考虑 s的转动，表一中的5行9行。 13+29+38+41=49；44-4+9共49次。 对于一个位置有三个一次可以复原，九个两次可以复原。3+9=12 P(B2)=12/21=4/7=0.57。（2）考虑 -t的转动，表一中的2行12行。13+26+38+44=55。对于一个位置有三个一次可以复原，六个两次可以复原。3+6=9 P(B2)=9/21=3/7=0.429。（3）因为魔方左右对称，所以 t的转动与-t的转动完全一样。根据概率加法公式得：P(X=2)=4/7+2*3/7-2*4/7*3/7-3/7*3/7+4/7*3/7*3/7=10/7-33/49+46/343=0.889。第三块。-s，t。保持不动，即不允许转动U，R。凡是涉及R的都增加两次转动。（1）考虑 s的转动，表一中的4行10行。13+26+38+42=47；49-5+3=47。共47次。对于一个位置有三个一次可以复原，六个两次可以复原。3+6+8=17 17/19=0.89。（2）考虑 -t的转动，表一中的1行13行。-s，t保持不动，即不允许转动U,R。与第二块相比，凡是涉及R的都增加两次转动。从而：55-7=48.13+26+37+43=48。3+6+7=16，P(A3)=16/19=0.84。 （3）第三块当_S,S确定后转动T的次数13+23+35+46+52=58；3+3+5=11 11/19=0.58。由P(T)=P(-T)=P(S)=1/3.由全概公式得：第四块。-s,t,-t保持不动，即不允许转动U，R，L。凡是涉及R,L的都增加两次转动。13+23+34+46+51=50；47-5+8=50共50次。有三个一次可以复原，三个两次可以复原，四个三次可以复原，六个四次可以复原。表一中的3行11行。 P(X4)=16/17=0.94。从而四次以内复员的概率为：0.94。从而完成十字的步数是：如果限定某个面，1+2+3+4=10。 10步完成的概率为0.70。如果不限定某个面，1+2+3+4=10 。10步完成的概率为0.88。44/23+159/63+95/38+50/17=1.913+2.524+2.5+2.941=9.878。2+3+3+3=11。根据经验(1+2+3+4)十次一般都能完成。概率为0.88 最多(3+4+4+5)十六次完成。一16+213+34=44。二（13+29+38+41=49；）13+26+38+44=55。三 -S,t 定后，由S 开始做13+26+38+42=47；-S,t 定后，由-t开始做13+26+37+43=48。-S,S 定后，由-t开始做13+23+35+46+52=58；四 13+23+34+46+51=50；最多3+4+4+5=16。44/23+49/21+58/19+50/17=10.2444/23+55/21+48/19+50/17=9.9944/23+55/21+47/19+50/17=9.94 综合两种方法定为10次比较适当。命题二:第一层角块的定位定向20次。 方法一：使有与十字相同颜色的四个角块复位。 如上图：带有白青红角块（不妨设为）应该在7号位。（一）如果在3号位白色在前，右与右心色一致，做用FDF” 就能使角块复位.使3号位转动到7号位。如果在3号位白色在侧，前与前心色一致，做R,D,R 就能使角块复位.使3号位转动到7号位。共三次。（二）如果在0，1，2号位，白色在侧，可以转动下面，使其到3号位，复原四次。（三）如果在下面，白色在下，做FDF” 或做R,D,R 使白色在侧，共七次。（四）如果在4，5，6号位，（或在7号位，但是方向不对，即定位不定向），做FDF” 或做R,D,R 使到下面，并使白色在侧，共七次。其他三个角块与此完全相同。完成此步一般（23+27）二十次便可完成。第一角23+64+715=135 135/23=5.87。加权平均值。第二角23+64+712=114 114/20=5.7。第三角23+64+79=93 83/17=5.47。第四角23+64+76=72 72/14=5.14。135/23+114/20+93/17+72/14=22.18。最多6+6+6+6=24。 最少22。经验为：两个3次，两个7次。20次。平均为23次。方法二：角3指定的面移动到7上。共12次。用FDF把3前移到7上，三次。（1）573前1SHmZ02-n-mnF731前5HmZSD23右n10m-n-m-F57上1SmZ3H用RDR把3右移到7上，三次。（2）673右2THnP10M-n-mZ5S-R732右6HnPT-D13前m02-n-mnR67上2TnP3H用FDFRD2R将3下移动到7的上。六次。（3）573下1SHmZ02-n-mn6TPF731左5HmZSD】10后-n23-mnm-F531SmZ7HR263nP7HTD213前2n-m0-n-mR7上3H2n6TP角一指定的面移动到7上。共12次。用RDR把1左移到7上，三次（4）6732THnP1左0M-n-mZ5S-R7326HnPTD20-m3前1nm-nR632TnP7上H用DRDR 用D将1前变为3右，（见2）然后移动到7的上。四次（5）1前m3n2-m0-n6T7HPD3右n2-m0-n1m用FDF2DF将1下移动到7的上。五次（6）5731下SHmZ02-n-mnF1573右ZSHmD32后n10m-n-m2F531HmZ7S-D103右-nm2-mn-F137上SmH5Z角指定的面移动到7上。共12次。用FD2F把0左移到7上，三次。（7）5731SHmZ0左2-n-mnF7315HmZSD202n3右1nM-n-F51smZ7上3H用LDLRDR将0下移动到7的上.。六次（8）5731HmZ0下2-n-mn4Q-TPT6-L45-T1前Z0-nQD2n3右0-n-m1mL51Z4-nQ0-T用LDL将0下变为3右。（见2）然后用LDL RDR移动到7的上.。六次用RD2R把0后移到7上。三次（9）6732THnP10后M-n-mZ5S-R7326HnPT2D01-n23前-mnmR62TnP37上H+角二指定的面移动到7上。共12次。用FDF 把2后移到7上， 三次。（10）5731SHmZ02后-n-mnF7315HmZSD】10-n23右-mnm-F531SmZ7上H用DFDF】将2右移动到7的上。四次。（11）572右3SHnZ10-mnmD】3前1m02-n-mn用D将2右变为3前，（见1）然后移动到7的上。四次用RDR将2下变为1左，（见4）然后移动到7的上。五次。（12）6732下THnP10M-n-mR2673前PTHnD】31左m02-n-mnR】273THn6PRDR RDR=RDR2DR 六次合并为五次。角7指定的面移动到7上。共12次。用FD2F 将7前变为0后，（见9） 然后移动到7上。六次。57前31SHmZ02-n-mn6TPF73前15HmZSD20后2-m31nm-n-F51Sm73HFD2F RD2R 六次用RD2R将7右变为0左，（见7） 然后移到7上。六次。67右32THnP10M-n-mZ5S-R73右26HnPTD20左1-n23-mnmR62TnP37HRD2RFD2F 六次角5指定的面移动到7上。共17次用LDL 将5左变为3前，（见1） 然后移动到7的上。六次。5左731SHmZ02-n-mn4Q-TL1左0-n4Q5-TZD3前21nm0-n-m-L501-nZ4Q-TLDL FDF 六次用LDL 将5上变为3右，（见2） 然后移动到7的上。六次。5上731SHmZ02-n-mn4Q-T6PTL1前0-n4Q5-TZD3右21nm0-n-m-L501-nZ4Q-TLDL RDR 六次。用FDF将5前变为0左，（见7） 然后移动到7的上。五次。5前731SHmZ02-n-mnF】1前573ZSHmD】0左1-n23-mnmF735SHm1ZFDF FD2F=FDFD2F 六次合并为五次。角4指定的面移动到7上。共18次。用L FD2FL 将4左移动到7的上。五次。5731SHmZ02-n-mn4左Q-T-L45-T1Z0左-nQF317HmZ5SD202-m1m-n3右n-F5Sm13ZH7上L541Z0-nQ-T用L RD2RL。将4上移动到7的上。五次。5731SHmZ02-n-mn4上Q-T6TP-L45-T1Z0后-nQR32n6P7HTD201-n-m2m3前nR32n7上H6TPL5401QZ-n-T用L】D】LRDR2DR将4后移动到7上。共八次。5731SHmZ02-n-mn4后Q-T-L45-T1Z0下-nQ-D1-n03nm2下-mL501QZ4-n-T将4后经过L】D】L移动到2下三次。（见12）用RDR2DR再将2下移动到7的上。五次。共八次。5+5+8=18角6指定的面移动到7上。共19次。用RDR 将6上变为0左，（见7）然后将0左移动到7的上。六次。6上732THnP10m-n-mZ5SR2后673PTHnD0左2-m31nm-nR】736THn2PRDRFD2F 六次。用RDR】将6右变为0后，（见9） 然后将0后移动到7的上。五次。6右732THnP10m-n-mR2右673PTHnD0后2-m31nm-nR】736THn2PRDR】RD2R=RDR2D2R 六次合并为五次。用RD2R FDF2DF将6后 移动到7的上。八次。6后732THnP10m-n-mR2下673PTHnD21下0-n23-mnmR736THn2P将6后经过RD2R移动到1下，（见6）再经过FDF2DF 将1下移动到7的上，五次。共八次。6+5+8=19统计：1左RDR 0后RD2R 2右D】FDF 3前FDF 1前DRDR 0左FD2F 2后FDF。 3右RDR 1下FDF2DF 0下LDLRDR 2下RDR2DR 3下FDFRD2R 12 12 12 125前FDF2D2F 4后L】D】LRDR2DR 6后RDR LDLDR 7前FD2FRD2R5左LDL FDF 4左L FD2FL 6右RDR2D2R 7右RD2RFD2F5上LDL RDR 4上LRD2RL。 6上RDRFD2F17 18 19 12第一角 48+12+17+18+19=114 114/234.96。 加权平均值。第二角 48+12+17+18=95 95/20=4.75。第三角 48+12+17=77 77/174.53。第四角 48+12=60 60/144.29。114/23+95/20+ 77/17+60/1418.52。最多5+5+5+5=20。 最少18。经验为：两个3次，两个6次。18次。平均为19次。综合定为19次比较适当。方法二计算精确，所以定为20次比较适当。命题三：第二层边块的定位定向32次。把魔方颠倒一下，即底层全部复原。中层四个边块复位。先在上层找一个应该去中层的边块,然后转动上面,使该边块的侧面与同色的侧面中心块对齐,转动整个魔方，使其这块处于前面，即处于S位。若这个边块的上面的颜色与右面的心块颜色一致用法则一：法则一：URURUFUF。（法则一一） 若这个边块的上面的颜色与左面的心块颜色一致用法则一二。法则一二：ULULUFUF。只用法则一，最多64次。八步法则可以改进为五步。 法则一三：F2U2FU2F2. 法则一四：F2U2FU2F2.五步法则，变化为：边块：s_H,H_-s,-s_Z.Z_s。因为涉及第二层的两块变动，所以只能嵌入三块，。剩余两块仍然要用法则一。共28次。四个不定位，法则一，四次。32 次，一个定位，法则一三，一次，法则一，三次，29次。二个定位，法则一三，二次，法则一，两次，26次。三个定位，法则一三，两次，法则一两次，26次。四个定位，法则一三，三次，法则一两次，31。所以最多32。命题四：第三层角块定位10+1次。 因为暂时不考虑边，所以转动上总能使一个角定位。观察其他三个它角是否有一个定位，（一）如果有一个角定位。另外两个或者相对或者相邻，将这两个对角进行对换，则四个角定位。（二）如果没有一个角定位。即三个角不定位。三个角不定位是，由这三个角顺时针旋转造成或是由逆时针旋转造成，转动上：顺则U，逆则U。之后必然使其两个邻角定位，将这其它两个邻角进行对换，则四个角定位。（三）如果有两个角定位，则四个角定位。法则二一:（对调相邻两角）RDRFD(*)F。R。DRD2。角3_1-,;1_3-,角0自旋-。实现了1与3 对调。法则二二:（对调相对两角）RDRFD2(*)F。R。DRD。角2_1+,;1_2,角0自旋-。实现了1与2 对调。命题五：第三层角块定向16次。1，0，2，3面向上不标注，其余标明：正是顺时针，负是逆时针。表二。1m3-nn0-m2法则三：（角定向）RDRDRD2RD2。0,2,3;都是自旋-。法则三二：（角定向）D2RD2RDRDR。0,2,3;都是自旋+。满足四个角旋转角度之和为360度的倍数的，有以下七种形式。形式一：，1，0+，2+，3+用法则三。旋转角度之和为360度。形式二：，1，0-，2-，3-用法则三二。旋转角度之和为-360度。旋转角度之和为0度，又分两正，两负。一正一负，（正的放在）。形式三：，1+，0+，2-，3-。法则三1+，0，2+，3+ 转90度后。相连。形式四：，1+，0-，2+，3-。法则三1+，0+，2，3+ 转180度后。相间。一正一负又分：相间，相连。相连分负前负后，（负的放在）。形式五：，1-，0，2+，3。法则三1-，0-，2，3- 转180度后。相间。形式六：，1-，0+，2，3。法则三1-，0，2-，3- 转90度后。相连负前。形式七：，1-，0，2，3+。法则三1-，0-，2-，3 转-90度后。相连负左。所以经过十六次后就能使四个角定向。如画图更容易看出。命题六：第三层边块定位定向最多34次。法则四：（边定位法则）(RL)F(RL)D2 (RL)F(RL)。-n_n正；n_-m; 反 ； -m_-n反；（三角形顺时针旋转。）所以周期为三。m保持不动。（记为顺。）法则四二：（边定位法则）(RL)F(RL)D2 (RL)F(RL)。与法则四方向相反。n_-n正；-n_-m; 反 ； -m_n反；所以周期为三。m保持不动。（记为逆。）法则五：（边定位定向法则）(RL)F(RL)D (RL)F(RL)D (RL)F2(RL)。这里有一个主线：上面的边块沿着S ,H, n, m, H, n,m又回到了S原来地方。-m_m;反 ； m_-n反；-n_-m正；所以周期为三。n保持不动。（逆）法则五二：（边定位定向法则）(RL)F(RL)D (RL)F(RL)D (RL)F2(RL)。与法则五对称。-m_m 反 ； m_n反；n_-m正；所以周期为三。-n保持不动。（顺）法则五三：（边定位定向法则）(RL)F2(RL)D(RL)F(RL)D(RL)F(RL)。与法则五方向相反。m_-m反 ； -m_-n正；-n_-m反；所以周期为三。n保持不动。（顺）法则五四：（边定向法则）(RL)F2(RL)D(RL)F(RL)D(RL)F(RL)。与法则五二方向相反。m_-m反 ； -m_n正；-n_-m反；所以周期为三。-n保持不动。（逆）法则六：（边定向法则）(RL)F2(RL)D2 (RL)F(RL)D2 (RL)F2(RL)D。-n反n反-m反m反,所以周期为二。 证明：正确次序为：m,n,-m,-n不正确的有以下几种情况。（一）四个定位二个不定向，分：相连，相间，即：-n反-m反，-m反m反两种情况。 现次序为：m,n, -m反-n反。法则五：n保持不动。变为：-m,n,-n反,m反,-90度，法则四： n保持不动。变为正确：17+11=28。(). 现次序为：m反，n，-m反，-n。-90度，法则四：n保持不动。变为：-n反，n, m反，-m。法则五：n保持不动。变为正确：11+17=28。(). 四个都不定向法则六：(RL)F2(RL)D2 (RL)F(RL)D2 (RL)F2(RL)D。m反,n反,-m反-n反 。18次。().（二）一个定位定向，其它三块分：顺时针旋转，逆时针旋转两种情况。一个定位其它三块顺时针旋转。以下又分四正，两反。四正，仅一种情况。两反，四个元素中选取两个元素的组合数为六。所以共七种情况。现次序为：m,-n, n,-m。法则四：m保持不动。变为m,-m -n反,n反。90度, 法则五三。复原。 11+17=28次。现次序为：m反, -n反,n,-m. 法则五：-n反保持不动。变为n反,-n反,-m,m。-90度法则五三。复原。17+17=34次。现次序为：m反,-n,n反,-m. 180度法则四。n反保持不动。-m反,m,n,反,-n。180度法则五。复原。11+17=28次。现次序为：m反,-n,n,-m反. 180度法则五四： -n保持不动。变为n反,-n,-m,m反。180度法则四。复原。 17+11=28次。现次序为：m,-n反, n反,-m。-90度，法则五四。17次。现次序为：m,-n反, n,-m反。90度。法则五。17次。现次序为：m,-n, n反,-m反。法则四二。11次。一个定位其它三块逆时针旋转。又分：四正，两反，七种情况。现次序为：m,-m,-n, n。法则四二：m保持不动。变为m,-n反,n反,-m。-90度法则五四。复原。11+17=28次。现次序为：m反,-m反,-n,n.。180度法则五三：m反保持不动。变为-n反,m反,-m,n。180度法则四二：复原。17+11=28次。现次序为：m反,-m,-n反,n。180度法则四二：-n反保持不动。变为-m反,n,-n反,m。180度法则五二：复原。11+17=28次。 现次序为：m反,-m-n,n.反,. 法则五二。n反保持不动。变为-n反,m,-m,n反。90度法则五四。复原。 17+17=34次。 现次序为：m,-m反,-n反, n。法则四。11次。 现次序为：m,-m反,-n, n反。-90度。法则五二。17次。 现次序为：m,-m,-n反, n反。90度。法则五三。17次。（三）四个都不定位。分：上下左右交换。上左交换，上右交换，三种情况。上下左右交换。又分：四正，两反，七种情况。现次序为：-m,-n,m,n。法则四：-m保持不动。变为：-m,n,-n反,m反,-90度，法则四：n保持不动。复原。11+11=22。现次序为：-m反,-n反,m,n. 法则四：-m反保持不动。变为：-m反,n,-n,.m反。法则五三：n保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-m反,-n,m反,n. 法则四：-m 反保持不动。变为：-m 反,n,-n反,m,180度，法则五二：n保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-m反,-n,m,n. 反,90度。法则四：n反保持不动。变为：m,-m,-n反,n反, 90度。法则五三：m保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-m,-n反.,m反,n. -90度，法则四： -n反保持不动。变为：n反,-n反,-m,m，-90度，法则五三：-m保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-m,-n反,m,n反，90度，法则四：-n反保持不动。变为：m,-m反,-n,n反. -90度，法则五二：m保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-m,-n,m反,n反.。180度，法则四： m反保持不动。变为：n, -m反,m反,-n。180度，法则五三。-n保持不动。复原。11+17=28。 上左交换。又分：四正，两反，七种情况。现次序为：-n,-m,n,m，法则五二：m保持不动。变为：n反, -n反，-m, m, -90度, 法则五三：-m保持不动。复原。17+17=34。现次序为：-n反,-m反,n, m。-90度, 法则四二：-m反保持不动。变为：n, -m反, m反，-n。180度，法则五三：-n保持不动。复原。11+17=28。现次序为：-n反,-m,n反,m