中考数学二次函数动点问题.doc

中考数学二次函数动点问题 1 21 模式模式 1 1 平行四边形 平行四边形 分类标准 分类标准 讨论对角线 例如 请在抛物线上找一点 p 使得四点构成平行四边形 则可分成以下几种情PCBA 况 1 当边是对角线时 那么有ABBCAP 2 当边是对角线时 那么有ACCPAB 3 当边是对角线时 那么有BCBPAC 例题例题 1 1 山东省阳谷县育才中学模拟 10 本题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知抛物 线经过 A 4 0 B 0 4 C 2 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点 点 M 的横坐标为 m AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 若点 P 是抛物线上的动点 点 Q 是直线 y x上的动点 判断有几个位置能使以点 P Q B 0 为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点 Q 的坐标 练习 练习 如图 1 抛物线与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与32 2 xxy y 轴相交于点 C 顶点为 D 中考数学二次函数动点问题 2 21 1 直接写出 A B C 三点的坐标和抛物线的对称轴 2 连结 BC 与抛物线的对称轴交于点 E 点 P 为线段 BC 上的一个动点 过点 P 作 PF DE 交抛物线于点 F 设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长 并求出当 m 为何值时 四边形 PEDF 为平行四边形 设 BCF 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系 模式模式 2 2 梯形 梯形 分类标准 分类标准 讨论上下底 例如 请在抛物线上找一点 p 使得四点构成梯形 则可分成以下几种情况PCBA 1 当边是底时 那么有ABPCAB 2 当边是底时 那么有ACBPAC 3 当边是底时 那么有BCAPBC 例题例题 2 2 已知 矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示 点 A 的坐标为 4 0 点 C 的 坐标为 直线与边 BC 相交于点 D 20 xy 3 2 1 求点 D 的坐标 中考数学二次函数动点问题 3 21 2 抛物线经过点 A D O 求此抛物线的表达式 cbxaxy 2 3 在这个抛物线上是否存在点 M 使 O D A M 为顶点的四边形是梯形 若存在 请求出 所有符合条件的点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 练习 练习 已知二次函数的图象经过 A 2 0 C 0 12 两点 且对称轴为直线 x 4 设顶点 为点 P 与 x 轴的另一交点为点 B 1 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标 2 如图 1 在直线 y 2x 上是否存在点 D 使四边形 OPBD 为等腰梯形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点 M 是线段 OP 上的一个动点 O P 两点除外 以每秒个单位长度的速2 度由点 P 向点 O 运动 过点 M 作直线 MN x 轴 交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折 得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中 设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S 运 动时间为 t 秒 求 S 关于 t 的函数关系式 中考数学二次函数动点问题 4 21 模式模式 3 3 直角三角形 直角三角形 分类标准 分类标准 讨论直角的位置或者斜边的位置 例如 请在抛物线上找一点 p 使得三点构成直角三角形 则可分成以下几种情况PBA 1 当为直角时 A ABAC 2 当为直角时 B BABC 3 当为直角时 C CBCA 例题例题 3 如图 1 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 左侧 与 y 轴交于点 C 0 3 对称轴是直线 x 1 直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D 1 求抛物线的函数表达式 2 求直线 BC 的函数表达式 3 点 E 为 y 轴上一动点 CE 的垂直平分线交 CE 于点 F 交抛物线于 P Q 两点 且点 P 在第三象限 当线段时 求 tan CED 的值 3 4 PQAB 当以 C D E 为顶点的三角形是直角三角形时 请直接写出点 P 的坐标 中考数学二次函数动点问题 5 21 练习 练习 如图 1 直线和 x 轴 y 轴的交点分别为 B C 点 A 的坐标是 2 0 4 3 4 xy 1 试说明 ABC 是等腰三角形 2 动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动 同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动 运动的速度均为每秒 1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时 他们都停止运动 设 M 运 动 t 秒时 MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 设点 M 在线段 OB 上运动时 是否存在 S 4 的情形 若存在 求出对应的 t 值 若不存 在请说明理由 在运动过程中 当 MON 为直角三角形时 求 t 的值 中考数学二次函数动点问题 6 21 模式模式 4 4 等腰三角形 等腰三角形 分类标准 分类标准 讨论顶角的位置或者底边的位置 例如 请在抛物线上找一点 p 使得三点构成等腰三角形 则可分成以下几种情况PBA 1 当为顶角时 A ABAC 2 当为顶角时 B BABC 3 当为顶角时 C CBCA 例题例题 4 4 已知 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上 OC 在 x 轴的正半轴上 OA 2 OC 3 过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D 连接 DC 过点 D 作 DE DC 交 OA 于点 E 1 求过点 E D C 的抛物线的解析式 2 将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后 角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F 另一边与线 段 OC 交于点 G 如果 DF 与 1 中的抛物线交于另一点 M 点 M 的横坐标为 那么 5 6 EF 2GO 是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 对于 2 中的点 G 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q 使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C G 构成的 PCG 是等腰三角形 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 成立 请说明理由 中考数学二次函数动点问题 7 21 AB C OP Q D y x 练习 练习 2012 江汉市中考模拟 江汉市中考模拟 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B 12 0 和 C 0 6 对称轴为 x 2 1 求该抛物线的解析式 2 点 D 在线段 AB 上且 AD AC 若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度 匀速运动 同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动 问是否存在某一时 刻 使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分 若存在 请求出此时的时间 t 秒 和点 Q 的运动速度 若存在 请说明理由 3 在 2 的结论下 直线 x 1 上是否存在点 M 使 MPQ 为等腰三角形 若存在 请求出所 有点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 模式模式 5 5 相似三角形 相似三角形 突破口 寻找比例关系以及特殊角突破口 寻找比例关系以及特殊角 例题例题 5 5 据荆州资料第 据荆州资料第 5858 页第页第 2 2 题改编 题改编 在梯形 ABCD 中 AD BC BA AC B 450 AD 2 BC 6 以 BC 所在直线为 x 轴 建立如图所示的平面直角坐标系 点 A 在 y 轴上 1 求过 A D C 三点的抛物线的解析式 2 求 ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标 并求 M 的半径 3 E 为抛物线对称轴上一点 F 为 y 轴上一点 求当 ED EC FD FC 最小时 EF 的长 4 设 Q 为射线 CB 上任意一点 点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点 问是否存在这样的 点 P Q 使得以 P Q C 为顶点的 与 ADC 相似 若存在 直接写出点 P Q 的坐标 若不 存在 则说明理由 中考数学二次函数动点问题 8 21 x y D BC A O 模拟题汇编之动点折叠问题 1 2012 深圳模拟 本题 12 分 已知二次函数与轴交于 A 1 0 cbxxy 2 x B 1 0 两点 1 求这个二次函数的关系式 2 若有一半径为r的 P 且圆心 P 在抛物线上运动 当 P 与两坐标轴都相切时 求半径 r的值 3 半径为 1 的 P 在抛物线上 当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时 P 与 y 轴相离 相 交 2 如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象与x轴交于A B两点 A点cbxxy 2 在原点的左侧 B点的坐标为 3 0 与 y 轴交于C 0 3 点 点P是直线BC下方的抛 物线上一动点 1 分别求出图中直线和抛物线的函数表达式 2 连结PO PC 并把 POC沿 C O 翻折 得到四边形 POP C 那么是否存在点P 使四边 形 POP C 为菱形 若存在 请求出此时点P的坐标 若不存在 请说明理由 中考数学二次函数动点问题 9 21 解 解 将 B C 两点的坐标代 y kx b 0 3k 3 k 1 y x 3 1 分 将 B C 两点的坐标代入得 解得 3 03 c cb 3 2 c b 所以二次函数的表达式为 3 分32 2 xxy 2 存在点 P 使四边形 POP C 为菱形 设 P 点坐标为 x 32 2 xx PP 交 CO 于 E 若四边形 POP C 是菱形 则有 PC PO 5 分 连结 PP 则 PE CO 于 E OE EC 2 3 6 分y 2 3 32 2 xx 2 3 解得 不合题意 舍去 1 x 2 102 2 x 2 102 P 点的坐标为 9 分 2 102 2 3 中考数学二次函数动点问题 10 21 3 2012 江西模拟 已知抛物线交 y 轴于点 A 交 x 轴于点 B C 点 B 在点 2 34yxx C 的右侧 过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l 在位于直线 l 下方的抛物线上任取一点 P 过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q 连接 AP 1 写出 A B C 三点的坐标 2 若点 P 位于抛物线的对称轴的右侧 如果以 A P Q 三点构成的三角形与 AOC 相似 求出点 P 的坐标 若将 APQ 沿 AP 对折 点 Q 的对应点为点 M 是否存在点 P 使得点 M 落在 x 轴上 若存 在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 A B MP C D N 4 2012 安庆模拟 在直角梯形 ABCD 中 B 90 AD 1 AB 3 BC 4 M N 分别 是底边 BC 和腰 CD 上的两个动点 当点 M 在 BC 上运动时 始终保持 AM MN NP BC 1 证明 CNP 为等腰直角三角形 2 设 NP x 当 ABM MPN 时 求 x 的值 3 设四边形 ABPN 的面积为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 并指出 x 取何值时 四边形 ABPN 的面积最大 最大面积是多少 解 1 过 D 作 DQ BC 于 Q 则四边形 ABQD 为平行四边形 DQ AB 3 BQ AD 1 QC DQ DQC 中 C QDC 45 Rt NPC 为等腰 Rt 4 分 2 MP AB 3 BM NPABMVMPNV 中考数学二次函数动点问题 11 21 NPC 为等腰 Rt PC NP x BM BC MP PC 1 x 1 x x x 2 1 当 时 x 8 分 ABMVMPNV 2 1 3 AB NP BP 3 x 4 x x 6 x 6 125 11 分 ABPN S四边形 2 1 2 1 2 1 2 x 2 1 2 1 2 1 当 x 取时 四边形 ABPN 面积最大 最大面积为 6 125 14 分 2 1 5 2012 宝应模拟 在直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 2 2 点 C 是线段 OA 上的一个动点 不运动至 O A 两点 过点 C 作 CD x 轴 垂足为 D 以 CD 为边在右侧作 正方形 CDEF 连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于点 B 连接 OF 设 OD t 求 tan FOB 的值 用含 t 的代数式表示 OAB 的面积 S 是否存在点 C 使以 B E F 为顶点的三角形与 OFE 相似 若存在 请求出所有满足要求 的 B 点的坐标 若不存在 请说明理由 y x BE F D O A C y x B E F D O A C 1 作 AH x 轴于 H 交 CF 于 P A 2 2 AH OH 2 AOB 45 CD OD DE EF 3 分t 1 tan 22 t FOB t 2 CF OB ACF AOB 中考数学二次函数动点问题 12 21 即 APCF AHOB 2 2 tt OB 6 分 2 2 t OB t 12 02 22 OAB t SOB AHt t 3 要使 BEF 与 OFE 相似 FEO FEB 90 只要或 OEEF EBEF OEEF EFEB 即 或 2BEt 1 2 EBt 当时 2BEt 4BOt 舍去 或 B 6 0 8 分 2 4 2 t t t 0t 3 2 t 当时 1 2 EBt 当 B 在 E 的右侧时 5 2 OBOEEBt 舍去 或 B 3 0 10 分 25 22 t t t 0t 6 5 t 当 B 在 E 的左侧时 如图 3 2 OBOEEBt 舍去 或 B 1 0 12 分 23 22 t t t 0t 2 3 t 6 2012 广东预测 本小题满分 12 分 如图 抛物线的顶点坐标是 且经过点 8 9 2 5 14 8 A 1 求该抛物线的解析式 2 设该抛物线与轴相交于点 与轴相交于 两点 点在点的左边 yBxCDCD 试求点 的坐标 BCD 3 设点是轴上的任意一点 分别连结 PxACBC 试判断 与的大小关系 并说明理由 PBPA BCAC 中考数学二次函数动点问题 13 21 D A Ox y C B 第 24 题图 C x y A B D E OP 解 1 4 分 设抛物线的解析式为 1 分 8 9 2 5 2 xay 抛物线经过 14 8 A 解得 2 分 8 9 2 5 814 2 a 2 1 a 或 1 分 8 9 2 5 2 1 2 xy2 2 5 2 1 2 xxy 2 4 分 令得 1 分0 x2 y 2 0 B 令得 解得 2 分0 y02 2 5 2 1 2 xx1 1 x4 2 x 1 分 0 1 C 0 4 D 3 4 分 结论 1 分BCACPBPA 理由是 当点重合时 有 1 分CP BCACPBPA 当 直线经过点 直线的解析式为 CPAC 14 8 A 0 1 CAC 3 分22 xy 设直线与轴相交于点 令 得 ACyE0 x2 y 2 0 E 则关于轴对称 2 0 2 0 BE x 连结 则 ECBC PEPBPE AEECACBCAC 在中 有APE AEPEPA 中考数学二次函数动点问题 14 21 1 分BCACAEPEPAPBPA 综上所得 1 分BCACBPAP 7 如图 已知二次函数 y x2 bx c 的图象经过 A 2 1 B 0 7 两点 1 求该抛物线的解析式及对称轴 2 当 x 为何值时 y 0 3 在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l 与抛物线交于 C D 两点 点 C 在对称轴的左侧 过点 C D 作 x 轴的垂线 垂足分别为 F E 当矩形 CDEF 为正方形时 求 C 点的坐标 解 解 1 把 A 2 1 B 0 7 两点的坐标代入 y x2 bx c 得 Error 解得Error 所以 该抛物线的解析式为 y x2 2x 7 又因为 y x2 2x 7 x 1 2 8 所以对称轴为直线 x 1 2 当函数值 y 0 时 x2 2x 7 0 的解为 x 1 2 2 结合图象 容易知道 1 2 x0 22 3 当矩形 CDEF 为正方形时 设 C 点的坐标为 m n 则 n m2 2m 7 即 CF m2 2m 7 因为 C D 两点的纵坐标相等 中考数学二次函数动点问题 15 21 所以 C D 两点关于对称轴 x 1 对称 设点 D 的横坐标为 p 则 1 m p 1 所以 p 2 m 所以 CD 2 m m 2 2m 因为 CD CF 所以 2 2m m2 2m 7 整理 得 m2 4m 5 0 解得 m 1 或 5 因为点 C 在对称轴的左侧 所以 m 只能取 1 当 m 1 时 n m2 2m 7 1 2 2 1 7 4 于是 点 C 的坐标为 1 4 8 如图 在 ABC 中 已知 AB BC CA 4cm AD BC 于 D 点 P Q 分别从 B C 两点 同时出发 其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动 速度为 1cm s 点 Q 沿 CA AB 向终点 B 运动 速度为 2cm s 设它们运动的时间为 x s 求 x 为何值时 PQ AC 设 PQD 的面积为 y cm2 当 0 x 2 时 求 y 与 x 的函数关系式 当 0 x 2 时 求证 AD 平分 PQD 的面积 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系 请写出相应位置关系的 x 的取值范围 不要求写 出过程 Q DC B A P O 解 当 Q 在 AB 上时 显然 PQ 不垂直于 AC 当 Q 在 AC 上时 由题意得 BP x CQ 2x PC 4 x 中考数学二次函数动点问题 16 21 AB BC CA 4 C 600 若 PQ AC 则有 QPC 300 PC 2CQ 4 x 2 2x x 4 5 当 x Q 在 AC 上 时 PQ AC 4 5 当 0 x 2 时 P 在 BD 上 Q 在 AC 上 过点 Q 作 QH BC 于 H C 600 QC 2x QH QC sin600 x 3 AB AC AD BC BD CD BC 2 1 2 DP 2 x y PD QH 2 x x 1 2 1 23 3 2 x2 3x 当 0 x 2 时 在 Rt QHC 中 QC 2x C 600 HC x BP HC BD CD DP DH AD BC QH BC AD QH OP OQ S PDO S DQO AD 平分 PQD 的面积 显然 不存在 x 的值 使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离 当 x 或时 以 PQ 为直径的圆与 AC 相切 4 5 16 5 当 0 x 或 x 或 x 4 时 以 PQ 为直径的圆与 AC 相交 4 5 4 5 16 5 16 5 9 已知抛物线与轴交于 A B 两点 且点 A 在轴的负半轴 2 2 1 2yxkxk xx 上 点 B 在轴的正半轴上 x 中考数学二次函数动点问题 17 21 1 求实数 k 的取值范围 2 设 OA OB 的长分别为 a b 且 a b 1 5 求抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 以 AB 为直径的 D 与轴的正半轴交于 P 点 过 P 点作 D 的y 切线交轴于 E 点 求点 E 的坐标 x 解 1 设点 A 0 B 0 且满足 0 1 x 2 x 1 x 2 x 由题意可知 即 02 11 kxx 2 k 2 1 5 设 即 则 即 abaOA ax 1aOB5 ax5 2 0 a 即 2 21 21 55 45 aaaxx aaaxx 2 52 412 ak ak 即 解得 舍去 12 ak0325 2 aa 1 1 a 5 3 2 a 抛物线的解析式为 3 k 54 2 xxy 3 由 2 可知 当时 可得 054 2 xx 1 1 x5 2 x 即 A 1 0 B 5 0 AB 6 则点 D 的坐标为 2 0 当 PE 是 D 的切线时 PE PD 由 Rt DPO Rt DEP 可得 DEODPD 2 即 故点 E 的坐标为 0 DE 2322 9 DE 2 9 10 如图 抛物线 y ax2 c a 0 经过梯形 ABCD 的四个顶点 梯形的底 AD 在 x 轴上 其 中 A 2 0 B 1 3 1 求抛物线的解析式 2 点 M 为 y 轴上任意一点 当点 M 到 A B 两点的距离之和为最小时 求此时点 M 的坐 标 3 在第 2 问的结论下 抛物线上的点 P 使 S PAD 4S ABM成立 求点 P 的坐标 中考数学二次函数动点问题 18 21 x y CB D A O 解 解 1 因为点 A B 均在抛物线上 故点 A B 的坐标适合抛物线方程 解之得 故为所求 4 分 40 3 ac ac 1 4 a c 2 4yx 2 如图 2 连接 BD 交 y 轴于点 M 则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为 则有 ykxb 20 3 kb kb 1 2 k b 故 BD 的解析式为 令则 故 8 分 2yx 0 x 2y 0 2 M 3 如图 3 连接 AM BC 交 y 轴于点 N 由 2 知 OM OA OD 2 90AMB 易知 BN MN 1 易求2 2 2AMBM 设 1 2 222 2 ABM S A 2 4 P x x 依题意有 即 2 1