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三角函数应用题高度问题例1、某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒) 总结：针对训练：某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组，的值，tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？角度问题例2、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值总结：针对训练如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值课堂检测1.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD30，BDC120，CD10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_ m.2如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，则DEF的余弦值为_3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_4在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？5如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？6、如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大，7、如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元设CDA，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元(1)写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？8、一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧相切于B，C两点，EFAB，GHCD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P.设CMN rad，试用表示木棒MN的长度f()；(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值向量1、已知点P在ABC 所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_。2、如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_ 3、设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_4在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_5、设D，P为ABC内的两点，且满足()，则_.6、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a4b5c0，则abc_.8、已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p，则|p|_.9、如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点设(，R)，则的取值范围是_10、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为_11若点G为ABC的重心，且AGBG，则sin C的最大值为_12.如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧的中点，点D在线段OA上运动，求|的最小值；(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围答案典例某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)解由题意，设ACx，则BCx340x40，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos BAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtan CAH140(米)故该仪器的垂直弹射高度CH为140米备课札记 类题通法求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用针对训练(2010江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组，的值，tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解：(1)由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此电视塔的高度H是124 m.(2)由题知dAB，则tan .由ABADBD，得tan ，所以tan()，当且仅当d55时取等号又0，所以当d55时，tan()的值最大，即的值最大考点三测量角度问题典例在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.备课札记 类题通法解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用针对训练如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos 120402202240202 800，所以BC20.由正弦定理得：，故sinACBsinBAC.又ACB为锐角，所以cosACB.又ACB30，所以cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30课下提升考能第卷：夯基保分卷1.(2014苏州调研)如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD30，BDC120，CD10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_ m.解析：在BCD中，由正弦定理得BC1010.在RtABC中，ABBCtan 6030(m)答案：302如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，则DEF的余弦值为_解析：如图所示，作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cos DEF.答案：3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_解析：依题意可得AD20 (m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案：459在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BC.由正弦定理，得sinABCsinBAC，得ABC45，即BC与正北方向垂直于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，得BCD30，BDC30.又，得t.所以缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船，最少要花小时10(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内2(2013湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大解析：过C作CFAB于点F，设ACB，BCF，由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)则tan()，tan ，tan ().当且仅当FC，即FC6时，tan 取得最大值，此时取得最大值答案：63(2013盐城二模)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元设CDA，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元(1)写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？解：(1)由题知在ACD中，CAD，CDA，AC10，ACD.由正弦定理知，即CD，AD，所以S4AD8BD12CD12CD4AD80802060.(2)S20，令S0得cos .当cos 时，S0；当cos 时，S0，所以当cos 时，S取得最小值，此时sin ，AD，所以中转点D距A处 km时，运输成本S最小4(2013苏北四市二模)一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧相切于B，C两点，EFAB，GHCD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P.设CMN rad，试用表示木棒MN的长度f()；(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为Q.过点Q作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于点S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W.在RtNWS中，因为NW2，SNW，所以NS.因为MN与圆弧相切于点P，所以PQMN.在RtQPS中，因为PQ1，PQS，所以QS，QTQS2.若S在线段TG上，则TSQTQS.在RtSTM中，MS，因此MNNSMSNS；若S在线段GT的延长线上，则TSQSQT.在RtSTM中，MS，因此MNNSMSNSNS.f ()MNNS.(2)设sin cos t(1t)则sin cos ，因此f()g(t).因为g(t)，所以g(t)0恒成立因此函数g(t)在t(1，上是减函数，所以g(t)ming()42，即MNmin42.所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为42.3(2013苏锡常镇二调)已知点P在ABC 所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_解析：因为2343，所以23433，即540，所以PAB与PBC的面积的比为PAPC45.答案：4.(2014“江南十校”联考)如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以有1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，经计算得ANAM3，AD3.答案：32(2013徐州期中)设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_解析：设M为边AC的中点因为2，所以点O是ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为12.答案：123在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：如图，因为，所以，mm，因为B、P、N三点共线，所以m1，所以m.答案：4(2013南通期中)设D，P为ABC内的两点，且满足()，则_.解析：设E为边BC的中点由()可知，点D在ABC的中线AE上，且ADAE，由，得，利用平面几何知识知.答案：5(2014南通期末)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a4b5c0，则abc_.解析：在ABC中有0，又3a4b5c0，消去得(3a5c) (4b5c) 0，从而3a5c0,4b5c0，故abc201512.答案：2015126(2014淮阴模拟)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.解析：由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则23，所以m3.答案：37(2014苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p，则|p|_.解析：和分别表示与a，b同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为，故|p| .答案：