电动力学2-StaticEFields.ppt

1 第二章 静电学 2 本章主要内容 1 静电势和Poisson方程 2 电多极矩 3 唯一性定理 4 解微分方程求电势 5 镜像法 6 静电中的Green函数方法 3 1 静电势和Poisson方程 1 静电场的标势 2 静电势的方程和边值关系 3 静电场的能量 4 1 静电场的标势 在上一章中 对静电场得到 与路径无关 因此 可以引入一个函数f 称为E的电势 f是r的函数 与电场的微分关系式为 f本身不是可观测量 可以相差一个任意常数 相当于 1 式中的P0点可以任意选取 即f 0的点可以任选 1 在许多问题中 取无限远点的f 0比较方便 5 对分立的点电荷分布 上式为 r 当作常量 6 2 静电势的方程和边值关系 由于电势是一个标量 因此求解关于电势的标量方程一般比关于电场的矢量方程简单 下面设空间有2种介质 把 代入有关电场的方程和边值关系中 得 i 1 2代表两种不同的电介质 代替E1t E1t 代替D2n D1n sf 用势表示出来的电场已经满足电场的旋度为0的条件 上述关于2种介质的结果不难通广到到更多种介质情形 这种给定了方程和边界条件 求解的问题称为边值问题 这种形式的方程称为Poisson方程 7 3 静电场的能量 以前得到电磁场的总能量为 对静电场 在无穷远处 f 1 r D 1 r2 所以在无限远界面包围的空间积分 上式右边第一项的贡献为0 这个式子不能理解为有电荷的地方的静电场才有能量 从电磁场的能量密度的表达式知道 有电场的地方就有能量 8 2 电多极矩 1 电势的多极展开 3 电荷体系在外电场中的能量 2 关于电多极矩的讨论 4 电偶极子在外场中受到的作用力和力矩 9 对在体积V内的任意电荷分布 1 电势的多极展开 但在许多实际问题中 上式的积分并不容易求出 因此 我们可以把这个积分展开成级数 根据具体问题对精度的要求 取部分项作为势的近似 在V内任取一点O作为原点 如果r max r 即在离电荷分布区较远的地方 由Taylor展开得 10 定义 V内的总电荷 电荷体系的电偶极矩 由此得 1 11 再引入 当r 0时 2 由于 2 式 把 1 式中的换成 的分量形式为 是2阶对称张量 有6个独立分量 是无迹2阶对称张量 只有5个独立分量 称为电四极矩 1 式仍然成立 12 这就是说 确定一个电荷体系的电势的第三项 有一个是不必要的 这是把而不是 定义为电四极矩原因之一 2 关于电多极矩的讨论 从电势的多极展开可以看出 一般的 但对某些特殊的电荷分布 可能一项或几项低阶项为0 这时 阶数最低的非0项是最重要的项 称为领头项 当电荷体系的总电荷不为0时 是领头项 它相当于把体系的全部电荷放在原点产生的势 其中Q与原点的选取无关 这项对应的电场就是点电荷的电场 13 通常 电偶极矩p与原点的选取有关 但Q 0时 p与原点的选取无关 当电荷是球对称分布 原点取在中心时 p 0 对右边的电荷体系 Q 0 这就等于以前在电磁学中引入的电偶极矩 因此 我们可以把现在引入的电偶极矩看作是在以前的基础上的推广 在右图中 如果l趋于0时 q趋于无穷大 但ql趋于一个非0常量 这样的电荷体系称为电偶极子 因此p与原点的选取无关 把原点选在 q处 得到 14 用第一章习题中的结果得 偶极子的电势为 当电荷是球对称分布 原点取在中心时 f f 0 f 2 0 f 2 为0的 对应的四极矩也为0 这是把而不是 定义为电四极矩又一个原因 15 其它分量都为0 当q趋于无穷大 l趋于0 让ql趋于一常量 则右图可以看成2个在x轴上反方向的偶极子在x方向错位 导致D 的xx分量不为0 当p趋于无穷大 a趋于0 pa趋于一常量 这个电荷体系就是电四极子 对右边的电荷分布 16 如果2个在x轴上反方向的偶极子 在y方向错位 如右图 根据电势的多极展开公式 可以得到电四极子的电势为 不同的电荷分布产生不同的电四极矩 因此产生不同的电势 在微观物理中 难于直接测量到分子 原子 原子核的电荷分布 但可以根据在它们外面的电势来判断其电荷分布 形状等 则D 12 D 21分量不为0 其它分量都为0 类似地 可以讨论其它电荷分布体系 17 3 电荷体系在外电场中的能量 设空间无介质 产生外电场的电荷不随时间变化 所讨论的电荷体系的电场 电荷密度等量用无下标的记号表示 相应的外场的物理量加下标e external 电荷体系与外场的相互作用能Uint定义为电荷体系与外场 注意 结果中没有系数1 2 其中 V是r分布的区域 同时存在时的电磁能量减去它们单独存在时的能量 18 把Uint分量级写出 在V内任取一点O做原点 把fe r 做Taylor展开 其中 与电四极矩相联系的相互作用能只有在非均匀外电场中才可能不为0 19 4 电偶极子在外场中受到的作用力和力矩 设电偶极子在外场中受到的作用力为F 如果保持偶极矩的大小和方向不变 在外场中偶极子被平移dr 设电偶极子在外场中受到的力矩为N 如果保持偶极矩的大小不变 在外场中把偶极子绕其中心转动dq 20 3 唯一性定理 1 唯一性定理1 2 唯一性定理2 21 1 唯一性定理1 本节将讨论 在什么情况下 某一电荷体系的电势是唯一的 可相差任一常数 这样 无论通过什么办法得到问题的解 我们就知道 这个解是唯一正确的解 封闭曲面S包围的空间V被分成如图所示的若干个区域V1 V2 V3 各区域分别充满线性 各向同性 均匀电介质 e1 e2 e3 在各区域内和边界上 rf r 和af r 已知 在外表面S上 满足下列3个条件之一 1 f已知 第一类边界条件 3 如果S为无限大 即 2 已知 第二类边界条件 整体可相差一个常数 f比趋于0更快 则f在V内有唯一解 22 证明 边值问题 由上面的边值问题得yi满足的方程 在Vi内 i 1 2 对所有交界面 在外表面S 定理中3个条件之一满足 设fi和fi 是这个边值问题的2个解 令 在Vi内 i 1 2 对所有交界面 23 在S上 yi满足下列3者之一 1 yi 0 3 如果S为无限大 在Si上 0 对i求和 2 24 只剩下外表面的积分 在外表面 如果给出的是第1类或第2类边界条件 外表面的积分也为0 当外表面为无穷大时 ei 0 在Vi内 i 1 2 yi const 在Vi内 在左边 外表面yi为0 或偏导为0 或在无限远积分为0 所以 左边的积分在界面上相消 25 2 唯一性定理2 在定理1所述的条件中 加上 在空间V内有若干个导体 每个导体的电势已知 a 1 2 已知 则f在V内有唯一解 证明 这时 V1的表面 或者导体上带的总电荷 即自由电荷 由于导体内的电场为0 所以在静电情形中 导体是一个等势体 如果所有导体上的电势已知 则该问题与定理1相同 由于yi yj 所以 yi在所有区域是一个相同常量 这就证明了前面的边值问题的2个解只相差一个常量 因此是同一个解 26 如果只知道导体上的自由电荷 则有 以后的推导与定理1相近 略去 27 4 解微分方程求电势 1 从Poisson方程到Laplace方程 2 分离变量法 3 举例 28 1 从Poisson方程到Laplace方程 在给定区域中的自由电荷密度rf r 已知的情况下 相应的边值问题为 以前我们得到过上述Poisson方程的一个特解 Poisson方程 ParticularSolution 或当S为无限大时 f比趋于0更快 令 带入上面的边值问题得 Laplace方程 或当S为无限大时 y比趋于0更快 29 这是因为与Poisson方程相联系的边值问题 总可以化为前者 另外还有一些电荷体系的自由电荷分布在区域的表面 其方程本来就Laplace方程 我们以后只讨论与Laplace方程相联系的边值问题 2 分离变量法 取球坐标 r q j Laplace方程的解可以设为球谐函数Ylm q j 的叠加 如果介质 电荷分布和边界条件都具有轴对称 则相应的解可以表示为Legendre多项式Pl cosq 的叠加 例如 边值问题为 1 30 解可以设为 其中 al和bl为待定系数 上面的Legendre多项式由下面的Rodrigues公式确定 l 0 1 2 它们分别对应点电荷 电偶极子 电四极子 的电势随空间取相的变化 Legendre多项式是完备 正交的 完备是指任何q的函数都可以用它们线性叠加表示出来 正交是指不同的l对应的多项式之间的内积为0 2 31 单位基矢i j k是完备 正交的 因为任意矢量可以用这3个基矢线性叠加表示出来 这3个基矢之间的内积为0 但仅i j是不完备的 Legendre多项式的正交关系为 把 2 式中的解代入边界条件 1 得 要求出上述边值问题的解 还需要给出端点处 即r 0处的电势的行为 例如 在原点有一个点电荷 当r 0时 f 1 r 如果r r 0 有限 则当r 0时 f有限 在有的情况下 还需要给另一个端点r 处电势 的行为 32 3 举例 半径为R 介电常数为e的线性 均匀 各向同性电介质球放在电场强度为E0均匀外电场中 球内总电荷密度 球面上的自由面电荷密度都为0 求电势 1 2 解 从球内总电荷密度为0可以导出 r R 5 有限 6 这相当于取定了f的0点 自由电荷密度也为0 已做习题 边值问题 33 通常 先用r 0 和 的条件比较方便 解的形式为 由 6 式得 bl 0 所以 由 5 式得 当l 1时 cl 0 c1 E0 由 3 式和 4 式得 34 解这个关于未知数a1 d1的线性方程组 得 由于Pl的正交性 上面等式两边Pl前的系数对应相等 所以 比较上面的2个不等式 得 l 1时 所以 l 1时 al dl 0 l 1时 35 介质内的电场 对r R 对r R 由上式知道 当介质球不存在时 即e e0 Ein E0 进一步可以求出极化强度 介质球的电偶极矩为 介质球外的电势的第一项是由外场产生的 第二项正是球的电偶极矩产生的电势 36 在球内 由于极化强度P是常量 所以 球内没有极化电荷 右边是面电荷分布示意图 极化电荷产生的电场的方向如图中的黄色箭头所示 与E0相反 这可以定性解释Ein小于E0 对通常的电荷体系 一般取无穷远处的电势为0 但对无穷远处电场不趋于0的理想化的电荷体系 不能取无穷远处为电势的0点 当e 时 fin 0 即介质球为等势体 这个结论对其它形状的电介质也成立 这与金属的结果相同 由极化强度容易算出 介质球表面的面电荷密度 37 但金属的介电常数e一般都不大 与真空相比 金属和e 时的电介质内部的电场为0的机制不同 e非常大的电介质是因为 即使介质中只有很小的电场 也会因极化电荷而产生足够大的反向电场 直到其内部的电场为0为止 金属是因自由电荷移动直到其内部的电场为0为止 38 5 镜像法 1 平面边界 2 接地导体球 3 不接地导体球 4 问题 39 1 平面导体 在上一节 通过分离变量法解边值问题并不很容易 但当电荷体系仅包括一个或几个点电荷 并且边界是平面 球面或柱面等简单 对称情形 可以用更简单方法求出相应的边值问题的解 距无限大导体平面d处有一电量为Q的点电荷 求全空间的电势 由于导体平面为无限大 即导体延伸到无穷远 如果取 无穷远处的电势为0 则导体的电势为0 边值问题 z 0 z 0 当r 时 f趋于0不比1 r更慢 0 1 2 40 1 在z 0的半无限空间 以正电荷为例 由于电场在金属外表面只能垂直于表面 因此 上半平面的电力线示意图如右所示 都是上页的 1 式 这样的电势显然满足Poisson方程 也满足z 0平面边界条件 当r 时 f趋于0显然不比1 r更慢 实际是1 r2 这2个电荷在上半平面的电力线如右图所示 与右上图相同 从方程来看 这2种电荷体系的所满足Poisson方程完全相同 如在金属表面的下面 与Q对称位置放一电荷 Q 去掉金属 41 根据唯一性定理 Q与 Q在上半平面产生的电势是 写出上半平面的电势 z 0 这里 上面的Q使金属表面产生了一些不同类的电荷 这些电荷在上半平面产生的电势与 Q产生的相同 即 像电荷用Q 表示 这里Q Q 这里 Q称为Q的像电荷 本问题唯一正确解 42 导体表面上的电荷在上半平面产生的电势 相当于下面的 Q在上半平面的产生的电势 根据对称性 导体表面上的电荷在下半平面产生的电势 相当于上面的 Q在下半平面的产生的电势 上面的 Q和原有的Q相加为0 因此下半个空间中的电势为0 也可以由唯一性定理得出相同的结论 2 在z 0的半无限空间 在下半平面 应该满足的方程是 在金属表面上 电势为0 在无限远处 f趋于0不比1 r更慢 0显然满足所有这些条件 因此是唯一正确的解 上述求边值问题的方法称为镜像法 43 真实电荷Q所受到的作用力就是像电荷 Q对它的作用力 3 金属表面的面电荷密度 Q受到的作用力 在z 0的半无限空间中 其中 带下标的2个电势分别是真实电荷Q和像电荷 Q在上半平面产生的电势 电场 44 4 问题 当上半平面充满线性 各向同性 均匀电介质 介电常数是e 这时 象电荷为多大 金属表面的自由电荷面密度af是多少 金属 介质表面的总电荷面密度at 自由电荷加极化电荷密度 是多少 下半空间的电势 45 2 接地导体球 一半径为a的接地导体球 球心为O 与O相距d处放一点电荷Q 求全空间的电势 如果导体把空间分成若干个区域 导体的电势已知 则可以分别在各个区域独立求解 上面的无限大平面导体和这里的问题都属于这种情况 r a 当r 时 f趋于0不比1 r更慢 球外的边值问题 46 与平板导体相同 我们希望把球面上的电荷在球外产生的电势用球内的一个像电荷Q 来代替 根据对称性 像电荷应该在z轴上 要满足球外的Poisson方程 d 必须小于a 即像电荷必须在球内 球面上的电势为 这里分母上的长度由求出 根据边界条件 上式为0 即 47 取Q 和d 的值使上式成立 即 所以 48 所以 在球面上 再解球内的边值问题 显然有 fin 0 根据唯一性定理 上述球外和球内的解都是相应区域内唯一正确的解 最后得电势 1 上式中 49 3 不接地导体球 1 令Q0 Q Q0 Q 如果导体球不接地 并且仍然取无穷远处为电势的0点 这时分2种情况 1 球上的电荷Q0已知 2 球上的电势f0已知 Q1 如果Q1为0 这时相当于给定导体上的电荷为Q 如果没有Q 和Q 只有Q1 问题也很简单 即 50 2 如果导体球外没有点电荷Q 仍取无穷远为势的0点 给定了导体的电势f0相当于给定了导体上的电荷Q2 它们之间的关系为 f 1 式 2 式 r a 2 对一般情形 球带任意电量Q0 根据叠加原理 球外的电势为 这一结论也可以从直接分析整个边值问题得出 在球外 r a 所以 51 对球外有点电荷Q 导体的电势为f0的电荷体系 可以看成是Q和Q 组成的电荷体系 使球壳为0电势 加上Q2组成的电荷体系 使球壳电势为f0 根据叠加原理得球外的电势 4 问题 这时球面上的电量是多少 在这类问题中 球外电荷受到的作用力是多大 当球外充满线性 各向同性 均匀电介质时 如何求解 当球内有空腔 腔内放有电荷 上图 点电荷放在薄球壳的里面 球外没有电荷 如何用镜像法求全空间的电势 如何用叠加原理求解 如何分布 52 6 静电中的Green函数方法 1 Green函数分类 2 利用Green函数解边值问题 4 应用举例 3 几种特殊的Green函数的表达式 53 1 Green函数分类 在镜像法中 我们求解了点电荷在特定的边界条件下的边值问题 这些边值问题在静电学中有特殊的重要性 这是由于在上述点电荷的边值问题的解的基础上 我们可以得到其它一些边值问题的解 1 在以S为界面的区域V内 一个处于r 点的单位点电荷 不计量纲 的电势y满足Poisson方程 如果把边界条件取为 2 则上述边值问题的解y称为区域V内的第一类边值问题的Green函数 计为 G r r 如果边界趋于无限远 给定了趋于0的幂次也归入第一类边值问题 54 如果把边界条件取为 3 方程 1 与边界条件 3 构成的边值问题的解y称为区域V内的第二类边值问题的Green函数 左边的n为边界的外法向矢量 S为边界的面积 这个边界条件也包括界面为无限大的情况 因为对趋于无限大的界面 右边趋于0 注意 3 的右边不能取为0 根据以前得到的有关点电荷边值问题的解 我们可以求解出一些Green函数的表达式 有了这些Green函数的具体形式 就可以得到其它边值问题的解 55 2 利用Green函数解边值问题 设边界S与第一类Green函数的边界完全相同 V内的电荷密度为r 电势f满足第一类边界条件 即f在边界S上的值已知 这个边值问题可以借助第一类Green函数解出来 下面将用到Green公式 证明 减去交换f和y后的对应公式 做体积分 取f为上述要求的边值问题的解 y为第一类Green函数 并交换r与r 得 56 所以 最后得 在Green函数已经解出的情况下 上面含Green函数的2部分都是已知的 而r的值和f在边界上的值是给定的 因此求解的边值问题原则上已经解决了 1 57 上述公式可用于s 0的电荷体系 如果边值问题中给的是第二类边界条件 即 已知 这时重写上面的 1 式如下 在上面2类边值问题中 只要求出相应的