双曲线及其标准方程_教案(人教A版选修2-1)

精品文档2.3.1双曲线及其标准方程三维目标 1.知识与技能理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法2过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力3情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题重点难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线标准方程的推导由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：以类比思维作为教学的主线；以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破教学建议 在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察猜想证明应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质教学流程课标解读1.了解双曲线的定义及焦距的概念2了解双曲线的几何图形、标准方程(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程(重点)双曲线的定义【问题导思】1我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支2若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距双曲线的标准方程【问题导思】类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【提示】以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2双曲线定义的应用已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积【思路探究】(1)在PF1F2中，由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者满足怎样的关系式？(2)结合双曲线的定义，能否求出|PF1|PF2|的值进而求出F1PF2的面积？【自主解答】由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF26416.求双曲线中焦点三角形面积的方法：法一：(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；(3)通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；(4)利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|求得面积本例中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积【解】由双曲线方程知a3，b4，c5由双曲线的定义，|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36在RtF1PF2中，由勾股定理|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100将代入得：|PF1|PF2|32，SF1PF2|PF1|PF2|16.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，且经过点A(1，)；(2)经过点P1(2，)和P2(，4)两点【思路探究】(1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a2、b2的值？【自主解答】(1)若所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则将a4代入，得1.又点A(1，)在双曲线上，1.由此得b20，不合题意，舍去若所求双曲线方程为1(a0，b0)，则将a4代入得1，代入点A(1，)，得b29，双曲线的标准方程为1.(2)法一当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)P1、P2在双曲线上，解得(不合题意舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1(a0，b0)P1、P2在双曲线上，解得，即a29，b216.故所求双曲线方程为1.法二因为双曲线的焦点位置不确定，所以设曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为P1、P2在双曲线上，所以有，解得.所求双曲线方程为1，即1.1求双曲线标准方程的两个关注点：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2、b2的数值，常由条件列方程求解2若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0.求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点是(0，6)，经过点A(5,6)；(2)a5，c7.【解】(1)由已知c6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)由双曲线定义2a|8.a4，b2c2a220.所求双曲线的标准方程为1.(2)由已知a5，c7，b2c2a224，焦点不确定所求双曲线的标准方程为1或1.双曲线的定义与标准方程 的实际应用“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P为航天员着陆点某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号已知该信号的传播速度为1千米/秒求在A处发现P的方位角【思路探究】由“A接收到P的求救信号的时间比其他两个救援中心早4 s”能否得到|PB|与|PA|的差为定值？是否说明点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上？【自主解答】因为|PC|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上又因为|PB|PA|4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示则A(3,0)，B(3,0)，C(5，2)所以双曲线方程为1(x0)，BC的垂直平分线方程为xy70.联立两方程解得 x8，y5，所以P(8,5)，kPAtanPAx，所以PAx60.所以P点在A点的北偏东30方向解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图231所示)，|PA|100 m，|PB|150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工图231【解】设M是分界线上的任意一点，则有：|MA|PA|MB|PB|，于是|MA|MB|PB|PA|15010050.在PAB中，由余弦定理得，|AB|2|PA|2|PB|22|PA|PB| cos 6010021502210015017 500.以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线是双曲线，即1(x25)故运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.混淆a、b、c的关系致误双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值【错解】将双曲线的方程化成标准形式为1.因为双曲线的焦点在y轴上，所以a2，b2.所以c3，即9，所以k.【错因分析】上述解法有两处错误：一是a2，b2值确定错误，应该是a2，b2；二是基本量a、b、c的关系错误，在双曲线中基本量a、b、c的关系应该是c2a2b2.【防范措施】在椭圆中，a、b、c的关系是c2a2b2；而在双曲线中，a、b、c的关系是c2a2b2，二者极易混淆，要注意区分，以防错误【正解】将双曲线的方程化成kx2y21.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y轴上，且c3.所以a2，b2.所以9，解得k1.1理解双曲线定义应注意以下三点：定义中的动点与定点在同一平面内；距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹2利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.1动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线【解析】|PM|PN|2|MN|，点P的轨迹是两条射线【答案】C2(2013徐州高二检测)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)【解析】将双曲线方程化为标准形式x21，所以a21，b2，c，右焦点坐标为(，0)【答案】C3满足条件a2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦点(4,0)在x轴上，双曲线的标准方程为1.【答案】A4已知双曲线1的左支上一点M到其左焦点F1的距离为10，求点M到该曲线左焦点F2的距离【解】由1得a4，点M在双曲线的左支上|MF2|MF1|，|MF2|MF1|2a8，又|MF1|10，|MF2|18.一、选择题1(2013东营高二检测)方程1表示双曲线，则m的取值范围()A2m2Bm0Cm0 D|m|2【解析】已知方程表示双曲线，(2m)(2m)0.2m2.【答案】A2设动点P到A(5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x3)【解析】由题意，应为以A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支由c5，a3，知b216，P点的轨迹方程为1(x3)【答案】D3(2013泉州高二检测)已知定点A、B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值是()A.B.C.D5【解析】由题意知，动点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP的长度，即ac.【答案】C4若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ama B.(ma)Cm2a2 D.【解析】由椭圆定义知|PF1|PF2|2.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2.22得4|PF1|PF2|4(ma)，|PF1|PF2|ma.【答案】A5已知双曲线的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx21 D.y21【解析】设|PF1|m，|PF2|n，在RtPF1F2中，m2n2(2c)220，mn2，由双曲线定义，知|mn|2m2n22mn16.4a216.a24，b2c2a21.双曲线的标准方程为y21.【答案】D二、填空题6双曲线1的焦距为_【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】87(2013郑州高二检测)设点P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|_.【解析】由双曲线的标准方程得，a3，b4.于是c5.(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064.综上，|PF2|16或4.【答案】16或48(2013泰安高二检测)方程1表示的曲线为C，给出下列四个命题：曲线C不可能是圆；若1k4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则k1或k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中正确命题的序号是_(写出所有正确的命题的序号)【解析】当4kk10时，即k时，曲线C是圆，命题是假命题对于，当1k4且k时，曲线C是椭圆，则是假命题根据双曲线定义与标准方程，是真命题【答案】三、解答题9求与双曲线1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程【解】双曲线1的焦点在x轴上依题意，设所求双曲线为1(a0，b0)又两曲线有相同的焦点，a2b2c2426.又点P(2,1)在双曲线1上，1.由、联立，得a2b23，故所求双曲线方程为1.10已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型【解】(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆11某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置(声音的传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内)【解】如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(1 020,0