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四条腿的家俱问题 椅子能在不平的地面上放稳吗 四条腿的家俱 如椅子 桌子等 往不平的地面上一放 通常只有三只脚着地 放不稳 然而稍挪动几次 就可以使四只脚同时着地 试建立数学模型加以解释 模型假设 1 椅子四条腿一样长 2 椅脚与地面接触处视为一点 3 四脚的连线呈长方形 4 地面光滑 即地面高度是连续变化的 可视为数学上的光滑曲面 5 地面相对平坦 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地 问1 选择什么量来表示长方形椅子位置的改变 用长方形绕它的对称中心O旋转代表椅子位置的改变 问2 这种改变如何量化 以对角线AC为x轴 中心O为原点 建立直角坐标系 长方形ABCD绕O逆时针旋转角 后 转至A1B1C1D1的位置 则AC与x轴正半轴的夹角 表示了椅子位置的改变 问3 椅子在某一位置是否着地如何量化 一只椅脚着地 则它到地面的竖直距离为0 否则大于0 A B C D到地面的距离分别是关于 的连续函数 且对于任意 其函数值至少有三个为0 记A B与C D两脚到地面距离之和分别为f 与g 它们都是连续函数 注意 对任意 f g 0 已知f 和g 是 的连续函数 且g 0 0 f 0 0 那么一定存在 使f g 0 注意f g 0 0 g f 0 0令h f g 则h 是关于 的连续函数 且h 0 f 0 g 0 0 h f g 0 于是存在 使h 0即f g f g 0 进一步思考 思考1 是否有另外的函数模型 取对角线顶点到地面的距离之和 思考2 四脚连线还可以是什么图形时 结论依然成立 如 中心对称图形 双煎饼问题 桌面上放着若干块不重叠的任意形状的均匀煎饼 问能否一刀将这些煎饼同时平分 抽象为数学问题是 在平面 放置着若干个任意形状的不重叠的封闭图形 问能否用一直线将它们的面积同时平分 问题探索设计 1 确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分 三角形 四边形 圆形等等 结论1 一个或两个 2 考察平面上只有一个封闭图形的情形可以平分 且方式多样 3 双煎饼问题平面 放置着两个任意形状的封闭图形Q和P 证明一定能找到一条直线将它们同时平分 向高维推广 对于空间的任意位置放置着的三个任意形状的封闭图形Q P和R 一定可以找到一个平面将它们的体积同时平分 该推广被数学家戏称为 三明治问题 意指必有一刀切下去 能把一个火腿三明治的火腿及上 下底面的两块面包各分为一半 在平面 上 图形Q与P之间取定一点O 过O画水平数轴OX0 将射线OX0绕O逆时针旋转至OX OX0到OX的角为 00 1800 可找到平分P Q且与OX垂直的直线lP lQ 垂足分别为BP与BQ 则BP与BQ的坐标是关于 的函数 分别设为P 与Q 可知P 与Q 均为连续函数 且P 1800 P 00 Q 1800 Q 00 问题转化为 找到 0 使得P 0 Q 0 令R P Q 则它是关于 的连续函数 R 00 P 00 Q 00 P 1800 Q 1800 P 1800 Q 1800 R 1800 即R 00 R 1800