5.1.2垂线

13.4 课题学习最短路径问题教学设计（第2课时）-张 财一、教学目标（1）知识与技能目标：能利用平移等变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；（3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。二、教学重点与教学难点：1、 教学重点：将实际问题转化为数学问题，能通过自主探究，利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2、 教学难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；如何通过逻辑推理证明所求路径最短。三、教学方法：复习引入创设情境自主探究合作交流应用提高四、教学过程：（一）：复习引入如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 图1 图2 图3 学生回答：连接AB，与直线l交于点P，则点P为所求最短的泵站，如图3.教师活动：1、将图3板书到黑板上，为结尾归纳总结点明数学本质作铺垫； 2、图3的板书引导学生在后面一系列的问题中回归到本题进行解答。前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识来探究数学史中著名的“造桥选址问题”。【设计意图】复习“两点之间，线段最短”，为后面的探究学习作好铺垫。（二）：探究新知，解决问题1（造桥选址问题）如图4，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行直线，桥要与河垂直） 图4（解决问题）：这是著名的“造桥选址问题”。我们首先将实际问题转化为数学问题。师生活动：学生回答河的两岸抽象为两条平行的直线a、b，将A.B两地抽象为A、B两点，将桥抽象为一条线段MN（如图5）。学生画图，小组代表展示，教师评价；教师完善学生回答：A、B两点在两条平行直线a、b的异侧，在直线a、b上找一条线段MN（MN与两平行直线垂直），使得AM+MN+NB的和最小（如图6）。几何画板辅助，帮助学生理解MN是不变的量，问题即转化为使AM+NB最小。图5 图6师生活动：教师引导，学生独立思考，自主探究，学生画图分析，并尝试回答，互相补充。 如图7假定任选位置造桥，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？利用“两点之间线段最短”解决问题时我们遇到了什么障碍呢？学生回答：桥的长度MN是固定的，AM+BN最短的时候，AM+MN+BN就最短； 也有同学回答直接连接AB，产生错误的原因是没有意识到条件中桥要与河垂直；我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 学生回答：各抒己见，把A平移到岸边、把B平移到岸边、把桥平移到和A相连、把桥平移到和B相连；或者通过折纸将MN两点重合； 合作交流：上述方法能做到使AM+MN+BN不变吗？请画图进行分析检验。学生回答：单独移动点A或点B，AM+MN+BN会改变，平移桥和点A或点B相连则不会改变； 问题解决：从A到B要走的路线是AMNB，如图8所示，而MN是固定的，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥作法：(1)将点A沿垂直于河岸的方向平移一个河宽到A，(2)连接AB与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M；则MN为所建的桥的位置。 图7师生活动：学生叙述，并请学生代表到黑板画图（图7），其余学生在自己的练习本上画图，教师进行评价。【设计意图】通过教师的引导，为学生探究问题搭建“脚手架”，利用轴对称和平移变换把问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择，渗透化归思想。（证明）：师生活动：教师引导，小组合作交流探讨，师生共同分析，学生说明证明过程的思路，请学生补充书写证明过程。如图8，平移A到A1，使等于河宽，连接交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短。证明：另任意作桥（与MN不重合），连接， 图8由平移性质可知，AM，MN，AM+MN+BN转化为，而转化为在中，有A1N1+BN1A1B，因此 AM+MN+BN。Q1：证明AM+MN+BN最短时，为什么要在河上另任作桥（与MN不重合），证明 AM+MN+BN？这里的的作用是什么？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨：若在河上另任作桥（与MN不重合）与A，B两点的距离之和都大于AM+MN+BN，就说明AM+MN+BN最短。【设计意图】在证明过程中，让学生再次体会轴对称和平移变换的“桥梁”作用，感悟化归思想；让学生进一步体会作法的正确性，提高学生的逻辑思维能力。小结：Q1: 解决上述问题运用了什么知识和方法？ 两点之间，线段最短 平移 Q2: 运用上述方法的目的是什么？体现了什么数学思想？数学思想：转化（化归） （教师解说：利用平移清除障碍，化“折”为“直” ） 【设计意图】总结造桥选址问题的数学知识、方法和思想，并引导学生强化轴对称与平移在解决最短路径问题中的作用。2（变式训练）如图9，已知A，B是在直线l异侧的两定点，定长线段PQ在l上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短？ 师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：将定长线段PQ平移至AA，连接AB交直线l于点Q，则PQ确定，连接AP，QB，则AP+PQ+QB为所求的最短路线。如图10。 图9 图10【设计意图】让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，适当提升思维层次。小结本题的数学模型：两点在一条直线异侧（定长PQ在直线上平行移动）。（三）.归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，引导学生再次对最短路径