高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切优化训练 苏教版必修4.doc

3.1.3 两角和与差的正切5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.tan15=_.思路解析：（1）tan15=tan（45-30）=2-.答案：2-2.若tan=,则tan(+)=_.思路解析：tan(+)=3.答案:310分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.计算tan20+tan40+tan20tan40=_.思路解析：这道题要先观察角，分析出20+40=60.然后灵活地对两角和的正切公式进行变形.tan60=tan（20+40）=，则tan20+tan40=（1-tan20tan40）=-tan20tan40，因此tan20+tan40+tan20tan40=.答案:2.已知=4+，则的值等于( )a.4+ b.4- c.-4- d.-4+思路解析：在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan=1，运算中要能够把1与tan灵活代换.由于=tan（-）.可知，tan（-）=4+.而-与+互为余角，则有=tan（-）=4+.答案:a3.求的值.思路解析：此题着重考查是否能灵活掌握弦与切之间的相互转换原则：化弦（切）为切（弦）,并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”，即tan45=1.解：把原式分子、分母同除以cos15，有=tan(15-45)=tan(-30)=-.志鸿教育乐园事出有因 老师：“你的题为抢救亲人的作文怎么连一个标点符号也没有？” 学生：“那么急的事怎么能停顿？”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.已知为第二象限的角，sin=,为第一象限的角，cos=,求tan(2-)的值.解：为第二象限角, sin=，cos=-,tan=-,tan2=-.又为第一象限角, cos=,sin=,tan=.tan(2-)=.2.(2005 北京)已知tan=2，求:（1） tan(+)的值；（2） （2）的值.解：（1）tan=2,tan=-.所以tan(+)=-.（ 2 ）由(1),tan=-,所以=.3.已知锐角三角形abc中，sin(a+b)=,sin(a-b)=.(1)求证：tana=2tanb；(2)设ab=3，求ab边上的高.思路解析：本题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力 . （1）证明：sin(a+b)=,sin(a-b)=,=2.所以tana=2tanb.（2）解：a+b,sin(a+b)=,tan(a+b)=-,即=-.将tana=2tanb代入上式并整理得2tan2b-4tanb-1=0.解得tanb=，舍去负值得tanb=，tana=2tanb=2+.设 ab边上的高为 cd.则 ab=ad+db=+=.由 ab=3，得 cd=2+.所以 ab边上的高等于2+.4.在abc中，若0tanatanb1，则abc一定是( )a.等边三角形 b.直角三角形c.锐角三角形 d.钝角三角形思路解析：三角形中，常用到内角和定理，可以把三个内角的三角函数值通过诱导公式转换.由于0tanatanb1，可知tana0，tanb0.所以tan（a+b）=0.又因为在abc中，所以a+b是锐角.而tanc=tan-（a+b）=-tan（a+b）0，所以，在abc中，c是钝角.因此，abc是钝角三角形.答案:d5.在abc中，已知tana、tanb是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanc等于( )a.2 b.-2 c.4 d.-4思路解析：此题要根据三角形内角和定理把c用角a和b表示出来，c=-（a+b），这样就可以利用两角和与差的正切公式展开运用，从而来计算.由于tana、tanb是方程3x2+8x-1=0的两个根，那么根据韦达定理，有tana+tanb=-，tanatanb=-.则tanc=tan-（a+b）=-tan（a+b）=-=-=2.答案:a6.如果，都是锐角，并且它们的正切分别为，求证：+=45.思路解析：分析题意，要证明+=45，需要证明tan（+）=1.先根据、的正切值可以利用两角和的正切求出+的正切值，而+又可以看作是两个角+与的和，再运用两角和的正切公式求证即可.但是要注意一定还要确定出+这个和的范围，才能证得结果.证明：由于tan=，tan=，可知tan（+）=.由题意可知tan=，则tan（+）=tan（+）+=1.根据、都是锐角，且0tan=1，0tan=1，0tan=1，可知045，045，045.得0+135.所以，+=45.7.求证：tan20tan30+tan30tan40+tan20tan40=1.思路解析：这道题目着重考查两角和与差的正切变形公式的应用.分析题中出现的角可知，30是特殊角，并且20+40=60.证明：由于tan60=tan（20+40）=，可得tan20+tan40=（1-tan20tan40）,所以原式左边=tan20tan30+ta