高中数学 1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案 新人教B版必修2.doc

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，并能从运动的观点来认识这四种几何体的形成过程2掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的特征3能运用圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征来描述现实生活中简单物体的结构1圆柱、圆锥、圆台(1)概念：分别以矩形的_、直角三角形的一_、直角梯形中_的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台其中圆台还可以看成是用_圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分旋转轴叫做所围成的几何体的_；在轴上的_叫做几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的_；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的_，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的_；我们常将圆柱的侧面称为圆柱面，圆锥的侧面称为圆锥面(2)规定：圆柱和棱柱统称为_，圆锥和棱锥统称为_，圆台和棱台统称为_【做一做11】下列图形为圆柱体的是()【做一做12】下列命题中正确的是()a以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥b以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台c圆柱、圆锥、圆台都有两个底面d圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径2球(1)概念：一个半圆绕着它的_所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做_，球面围成的几何体叫做_形成球的半圆的圆心叫_；连接球面上一点和球心的线段叫球的_；连接球面上两点且通过球心的线段叫球的_(2)表示：用表示球心的字母表示(3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于_的点的集合球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的_，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的_在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的_在这两点间的一段劣弧的长度事实上，人们把这个弧长叫做两点的_(4)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做_，这条直线叫做_【做一做21】下列说法中正确的是()a圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的b圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的c圆柱不是旋转体d圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的【做一做22】有下列说法：球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段；球的直径是连接球面上两点的线段；不过球心的截面截得的圆叫做小圆其中正确说法的序号是_3组合体(1)概念：由_等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体(2)基本形式：有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体三种简单的组合体：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合常见的简单组合体及其结构特征：正方体的八个顶点在同一个球面上，此时正方体称为球的内接正方体，球是正方体的外接球，并且正方体的对角线是球的直径；一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径【做一做31】一个直角三角形绕斜边旋转360形成的空间几何体为()a一个圆锥 b一个圆锥和一个圆柱c两个圆锥 d一个圆锥和一个圆台【做一做32】一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是()1圆柱、圆锥、圆台的性质剖析：(1)对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三类截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形，平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形(2)对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面平行于底面的截面是与底面相似的圆，过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径r组成一个直角三角形有关圆锥的计算，一般归结为解这个直角三角形，往往会用到关系式l2h2r2.(3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l、高h和上底面圆的半径r、下底面圆的半径r组成一个直角梯形，且有l2h2(rr)2成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形2地球的经纬线和经纬度(1)经线和经度剖析：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都相等，如图所示，圆o是赤道面，圆o是纬线圈，p点的经度与a点的经度相等，如果经过点b的经线是本初子午线(即0经线)，则p点的经度等于aob的度数，也等于poc的度数(2)纬线和纬度剖析：赤道是一个大圆，它是0纬线，其他的纬线都是小圆，它们是由与赤道面平行的平面截球所得到的某地的纬度就是经过这点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数如图所示，圆o是赤道面，圆o是纬线圈，p点的纬度等于poa的度数，也等于opo的度数3教材中的“探索与研究”对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系剖析：(1)平行于底面的截面，图形都是圆(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥圆台是由圆锥截得的，“还台为锥”不失为解决圆台问题的好办法4教材中的“思考与讨论”在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？剖析：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点题型一 概念辨析题【例1】下列给出的图形中，绕虚线旋转一周，能形成圆台的是()反思：通过解决本题，我们应注意旋转图形的形状及所选的轴，即便是同一图形，轴选取的不同，得到的旋转体也可能不相同题型二 简单旋转体中的计算问题【例2】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍求两底面的半径及两底面面积之和分析：由题目可获取以下主要信息：已知圆台的母线长及母线与轴的夹角；上下底面圆的半径关系解答本题利用圆台的轴截面不难求出反思：有关圆台的基本量计算问题的流程可归结为：作轴截面；构造直角三角形；解直角三角形题型三 有关组合问题【例3】若圆锥的轴截面是一个面积为9cm2的正三角形，那么其内切球的半径为()a4 cm b6 cmccm d cm反思：通过本题可以看到轴截面是旋转体中一类重要的截面，它是立体几何问题向平面几何问题转化的桥梁【例4】圆锥底面半径为r，高为h，正方体abcda1b1c1d1内接于圆锥，求这个正方体的棱长分析：研究圆锥主要通过轴截面来讨论，而正方体只有唯一基本量棱长，而圆锥的轴截面在任何位置都相同，故过正方体的顶点作轴截面便于建立棱长与r、h之间的联系反思：本题画出轴截面图形是解决问题的关键，从圆锥与正方体的结合入手，过正方体一组对棱的平面截圆锥得到轴截面，从而将空间问题转化为平面问题题型五 易错辨析【例5】设地球半径为r，在北纬45圈上有a，b两地，它们的纬线圈上的弧长等于r，求a，b两地间的球面距离错解：如图所示，a，b是北纬45圈上两点，o为此纬线圈的圆心，易知aob所对的劣弧长为所求球面距离a，b两地间球面距离为r.错因分析：没有理解球面距离是过a，b两点的大圆所对的劣弧长度反思：(1)根据球面上两点间距离的定义，a，b两点的球面距离是过a，b的大圆在a，b间的劣弧长度(2)球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长求球面距离的关键是求所对应的球心角的大小，要求球心角，关键是求两点间的直线距离(即弦长)在纬线圈中求弦长，在大圆中求球心角及球面距离1下列几何体中是旋转体的是()圆柱；六棱锥；正方体；球体；四面体a和 b和c和 d和2下列命题中错误的是()a圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个b圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个c圆台的所有平行于底面的截面都是圆d圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形3顶点在同一球面上的正四棱柱abcdabcd中，ab1，aa，则a，c两点间的球面距离为()a b c d4已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6和8，那么这两个平行截面间的距离是_5如图所示，圆锥底面圆的半径oa是6，轴截面的顶角asb是直角，过两条母线的截面scb截去底面圆周的，求截面面积答案：基础知识梳理1(1)一边直角边垂直于底边平行于轴这条边(或它的长度)底面侧面母线(2)柱体锥体台体【做一做11】c圆柱的上下两个底面是相互平行并且完全相等的【做一做12】a以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，所以选项b不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项c不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项d不正确；很明显选项a正确2(1)直径球面球球心半径直径(3)定长大圆小圆大圆球面距离(4)旋转体旋转体的轴【做一做21】d直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才形成圆台；直角三角形必须绕直角边旋转才形成圆锥；圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体，因而它是旋转体，易知圆锥、圆台也是旋转体，类比棱台的定义，圆台也可以看成是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得的故选d.【做一做22】利用球的结构特征判断：正确；不正确，因为直径必过球心；正确3(1)柱、锥、台、球【做一做31】c这里要注意旋转轴，可以自己先动手画一下，再结合旋转体的概念可知【做一做32】d过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形典型例题领悟【例1】a利用旋转体的定义判断【例2】解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图，aso30.在rtsao中，sin 30，sa2r，在rtsao中，sin 30，sa4r，sasaaa，即4r2r2a，ra，ss1s2r2(2r)25r25a2，圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5a2.【例3】c轴截面如图所示，设正sab的边长为a，则aaa29，a6(cm)又ssobssoasaob9，36r9.r(cm)故选c.【例4】解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面a1acc1的一组邻边a1a和a1c1的长分别为x，x.因为va1c1vmn，所以.所以hx2rh2rx.所以x，即圆锥内接正方体的棱长为.【例5】正解：如图所示，a，b是北纬45圈上的两点，ao为此纬线圈的半径，ooao，oobo.oaoobo45，aobooacos 45r.设aob为，则aorr，90.连接ab，则abr.在aob中，aoboabr，则aob为正三角形，aob60.a，b两点间的球面距离为r.随堂练习巩固1d2b当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90时，其面积不是最大的3b如图所示，设球的半径为r，则有