自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法.docx

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)自然数平方和公式推导及其应用（/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和 即s=1+2+3+.+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+.+Nn(n2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。 当n为奇数时，由1n+2n+3n+.+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+.+1n相加得: 2s=Nn+1n+(N-1)n+2n+(N-2)n+3n+(N-3)n+.+(N-1)n+(N-N-1)n+Nn =Nn+Nn+Nn+.+Nn加或减去所有添加的二项式展开式数 =(1+N)Nn减去所有添加的二项式展开式数。 当n为偶数时，由1n+2n+3n+.+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+.+1n相加得: 2s=Nn+1n+(N-1)n+2n+(N-2)n+3n+(N-3)n+.+(N-1)n+(N-N-1)n+Nn =2Nn+2(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+.0或1加或减去所有添加的二项式展开式数 又当n为偶数时，由1n+2n+3n+.+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+.+1n相加得: 2s=Nn+1n+(N-1)n+2n+(N-2)n+3n+.+(N-N-1)n+(N-1)n =2(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+.0或1加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+.+1的计算公式。 其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。1.2.1自然数的2次幂的求和 自然数的2次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。命s=12+22+32+N2,则有2s=(N2+12)+(N-1)2+22+(N-2)2+32+N-(N-1)2+N2 =(N-1)2+2N+(N-3)2+22(N-1)+(N-5)2+23(N-2) +(N-1)2+2N N-(N-1) =2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0(其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)+2N+22(N-1)+23(N-2)+2N N-(N-1) = 2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0+2N(1+2+3+N)-221+32+N (N-1) =2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0+N2(1+N)-21-1+2(2-1)+3(3-1)+N (N-1) =2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0+N2(1+N)-2(1+22+32+N2-1-2-3-N)即4s=2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0+N2(1+N)+N(1+N).(1)同理：2s=N2+12+ (N-1)2+22+(N-2)2+32+(N-3)2+(N-1)2+N-(N-1)2+N2 =2N2+(N-2)2+2(N-1)+(N-4)2+22(N-2)+(N-6)2+23(N-3) +(N-2)2+2(N-1)N-(N-1) =2(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+1或0(其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)+2(N-1)+22(N-2)+23(N-3)+2(N-1)N-(N-1)+2N2 =2(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+1或0+2N2+2N(1+2+3+N-1)-212+22+32+ (N-1)2+N2- N2 =2(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+1或0+4N2+N2(N-1) -212+22+32+ (N-1)2+N24s=2(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+1或0+4N2+N2(N-1).(2)由(1)+(2)得: 8s=2(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+1或0+N2(1+N)+N(1+N) +2(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+1或0+4N2+N2(N-1)即8s=2s+2N2+N2(1+N)+N(1+N)+N2(N-1) s=N(N+1)(2N+1)/61.2.2自然数的2次以上幂的求和 从自然数的立方和开始探讨自然数的2次以上幂的求和的递进规律，从而总结自然数的的n次幂的求和公式。自然数的立方求和命s=13+23+33+N3,则有2s=N3+13+(N-1)3+23+(N-2)3+33+(N-3)3+(N-1)3+(N-N+1)3+N3 =N3+N3-3(N-1)2-3(N-1)+N3-32(N-2)2-322(N-2)+N3-33(N-3)2-332(N-3)+N3-3(N-N+1)(N-1)2-3(N-N+1)2(N-1)+N3=(N+1)N3-3(N-1)2-3(N-1)-32(N-2)2-322(N-2)-33(N-3)2-332(N-3)+-3(N-N+1)(N-1)2-3(N-1)(N-N+1)2 =(N+1)N3-3(N-1)2+3(N-1)-32(N-2)2+322(N-2)-33(N-3)2+332(N-3)+-3(N-N+1)(N-1)2+3(N-1)(N-N+1)2 =(N+1)N3-3N(N-1)-32N(N-2)-33N(N-3)+-3N(N-1)(N-N+1) =(N+1)N3-3N(N-1)+2(N-2)+3(N-3)+(N-1)(N-N+1) =(N+1)N3-3NN+2N+3N+.+(N-1)N-12-22-32-.-(N-1)2=(N+1)N3-3N21+2+3+.+(N-1)(自然数的一次幂)+3N12+22+32+.+(N-1)2(自然数的二次幂) =(N+1)N3-3N3(N-1)/2+(N-1)N2(2N-1)/2即s=N2(N+1)2/自然数的4次幂求和 命s=14+24+34+N4,则有2s=N4+14+(N-1)4+24+(N-2)4+34+(N-3)4+(N-1)4+(N-N+1)4+N4 =N4+(N-2)4+4(N-1)3-6(N-1)2+4(N-1)+(N-4)4+42(N-2)3-622(N-2)2+423(N-2)+(N-6)4+43(N-3)3-632(N-3)2+433(N-3) +(N-2)4+4(N-N+1)(N-1)3-6(N-N+1)2(N-1)2+4(N-N+1)3(N-1)+N4=2N4+2(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+1或0(其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)+4(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3 +(N-1)(N-N+1)3+4(N-1)+23(N-2) +33(N-3)+(N-1)3(N-N+1)-6(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+ (N-1)2(N-N+1)2命上式中s1=(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3 +(N-1)(N-N+1)3；S2=(N-1)+23(N-2) +33(N-3)+(N-1)3(N-N+1)；S3=(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+ (N-1)2(N-N+1)2；则有：s1=(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3+(N-1)(N-N+1)3 =(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3+(N-1)(N-N+1)3+N4+(N-1)4+(N-2)4+(N-N+1)4-s =(N-1)3+ (N-1)4+2(N-2)3+(N-2)4+3(N-3)3+(N-3)4+(N-1)(N-N+1)3+(N-N+1)4+N4-s =N4+N(N-1)3+N(N-2)3+N(N-3)3+N(N-N+1)3-s =NN3+(N-1)3+(N-2)3+(N-3)3+(N-N+1)3-s =N13+23+33+N3-sS2=(N-1)+23(N-2) +33(N-3)+(N-1)3(N-N+1) =N(13+23+33+(N-1)3-14-24-34-(N-1)4 =N(13+23+33+N3-sS3=(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+ (N-1)2(N-N+1)2 =N2-2N+1+22(N2-4N+22)+32(N2-6N+32) + (N-1)2N2-2N(N-1)+(N-1)2 =N212+22+32+(N-1)2-2N13+23+33+(N-1)3+14+24+34+(N-1)4=N212+22+32+N2-2N13+23+33+N3+s将s1、S2、S3代回上式得：16s=2N4+2(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+1或0+20N13+23+33+N3-6N212+22+32+N2 .(3)同理: 命s=14+24+34+N4,则有2s=N4+14+(N-1)4+24+(N-2)4+34+(N-3)4+44+ (N-N+1)4+N4 =(N-1)4+4N3-6N2+4N+(N-3)4+42(N-1)3-622(N-1)2+423(N-1)+(N-5)4+43(N-2)3-632(N-2)2+433(N-2) +(N-1)4+4(N-N+1)N3-6(N-N+1)2N2+4(N-N+1)3N=2(N-1)4+(N-3)4+(N-5)4+1或0(其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)+4N3+2(N-1)3+3(N-2)3+ (N-N+1)N3+4N+23(N-1)+33(N-2)+ (N-N+1)3N-6N2+22(N-1)2+32(N-2)2+ N2(N-N+1)2命上式中s4=N3+2(N-1)3+3(N-2)3+N (N-N+1) 3；S5=N+23(N-1)+33(N-2)+N3 (N-N+1)；S6=N2+22(N-1)2+32(N-2)2+N2(N-N+1)2；则有：s4=N3+2(N-1)3+3(N-2)3+ N (N-N+1) 3 =N3+2(N-1)3+3(N-2)3+ (N-1)N3+N4+(N-1)4+(N-2)4+(N-N+1)4-s =(N+1)N3+(N+1)(N-1)3+(N+1)(N-2)3+N+1-s =(N+1) N3+(N-1)3+(N-2)3+1-s =(N+1) 13+23+33+N3-sS5=N+23(N-1) +33(N-2)+N3(N-N+1)+14+24+34+N4-s =N+14+23(N-1)+24+33(N-2) +34+N3(N-N+1)+N4-s =(N+1) 13+23+33+N3-sS6=N2+22(N-1)2+32(N-2)2+N2(N-N+1)2 =N2+22(N2-2N+1)+32(N2-4N+22)+N2N2-2N(N-1)+(N-1)2 =N2(12+22+32+N2)-2N22+232+(N-1)N2+22+2232+(N-1)2N2=N2(12+22+32+N2)-2N1-1+23-22+33-32+N3-N2+1-1+(2-1)222+(3-1)232+(N-1)2N2 =N2(12+22+32+N2)-2N1+23+33+ N 3-1-22-32-N2+1-1+24-223+22+34-233+32+N4-2N3+N2 =N2(12+22+32+N2)-2N1+23+33+ N3-1-22-32-N2+1+22+32+.+N2+1+24+34+N4-213-223-233-2N3=(N+1)2(12+22+32+N2)-2(N+1)1+23+33+ N3+s将s4、S5、S6代回上式得：16s=2(N-1)4+(N-3)4+(N-5)4+1或0+20(N+1) 13+23+33+N3 -6(N+1)2(12+22+32+N2) .(4)由(3)+(4)得：32s=2N4+2(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+1或0+20N13+23+33+N3-6N212+22+32+N2+ 2(N-1)4+(N-3