高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用示范教案 新人教B版必修4.doc

2.4.1 向量在几何中的应用示范教案教学分析1本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性教学中，主要是通过例子说明向量在几何中的应用对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点2研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：综合方法不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等前三种方法都是中学数学中出现的内容有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化三维目标1通过书中例子，了解向量在平面几何中的应用，理解向量与直线平行、垂直的概念，直线斜率与直线方向向量间的关系2明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示，会求经过一点且与已知向量平行的直线方程3通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题课时安排1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便本节专门研究平面几何中的向量方法思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用推进新课(1)平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1(2)你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？(3)你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：(1)教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和(2)教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法(3)由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系讨论结果：略例 1如图2，已知平行四边形abcd中，e，f在对角线bd上，并且befd，求证：四边形aecf是平行四边形图2证明：由已知可设a，b，则ab，ba.因为abba，所以，即边ae，fc平行且相等因此，四边形aecf是平行四边形点评：解完此例后，教师应引导学生总结选择基底，用向量证明几何问题的思路.变式训练如图3，ad、be、cf是abc的三条高求证：ad、be、cf相交于一点图3证明：设be、cf相交于h，并设b，c，h，则hb，hc，cb.因为，所以(hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b.化简得h(cb)0.所以.所以ah与ad共线，即ad、be、cf相交于一点h.例 2求证：平行四边形对角线互相平分活动：在初中时，这个定理用三角形全等判定定理和平行线的性质证明过这里，我们用向量运算的方法再证一次虽然证明过程看上去并不简单，但证明过程给我们提供了用向量证明几何问题的一般方法本例教师可直接讲解证明：如图4，已知abcd的两条对角线相交于点m，图4设x，y，则xxx，yy()(1y)y.于是，我们得到关于基底，的两个分解式所以解此方程组，得x，y.所以点m是ac和bd的中点，即对角线ac和bd在交点m处互相平分点评：从例2的证明可以看出，证明方法与代数学中的解应用题方法(设未知数，列方程)基本一致这里，也是先设未知数，由题中给出的条件，列出向量表达式，再选基底向量，列出同一向量的两个分解式，由向量分解的唯一性转化为方程组求解例 3已知正方形abcd(图5)，p为对角线ac上任意一点，peab于点e，pfbc于点f，连接dp，ef.求证：dpef.图5证明：选择正交基底，在这个基底下，有(1,0)，(0,1)，由已知，可设(a，a)，得(1a,0)，(0，a)，(1a，a)，(a，a1)因为(1a，a)(a，a1)(1a)aa(a1)0，所以.因此dpef.变式训练如图6，在rtabc中，已知bca.若长为2a的线段pq以点a为中点，问：与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值图6解：方法一，如图6.，0.，()()a2a2()a2a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.方法二：如图7.图7以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系设|ab|c，|ac|b，则a(0,0)，b(c,0)，c(0，b)，且|pq|2a，|bc|a.设点p的坐标为(x，y)，则q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.例 4求通过点a(1,2)，且平行于向量a(3,2)的直线方程(图8)图8活动：教师引导学生分析本例条件，可由向量确定直线斜率教师可借此讲解：在解析几何初步中，我们用一条直线的倾斜角或斜率确定直线的方向现在看一看直线的倾斜角、斜率与平行于这条直线的向量之间的关系设直线l的倾斜角为(图8)，斜率为k，a(x1，y1)l，p(x，y)l，向量a(a1，a2)平行于l，由直线斜率和正切函数的定义，可得ktan.如果知道直线的斜率k，则向量(a1，a2)一定与该直线平行解：由题意知直线的斜率k.所求直线的方程为y2(x1)整理，得2x3y80.5已知直线l：axbyc0，n(a，b)求证：向量nl(图9)图9证明：设(x0，y0)为直线l的方程的一个解，则ax0by0c0.对l的方程和式两边作差，整理，得a(xx0)b(yy0)0.由向量垂直的条件，得向量n(a，b)与向量(xx0，yy0)垂直由于动点(x，y)的集合就是直线l，所以nl.点评：本例所证结论，使我们得到直线一般方程axbyc0中，变量x，y的系数构成向量(a，b)的几何解释即向量(a，b)与直线l垂直，向量(b，a)与l平行这样，直线间的位置关系，即平行、垂直、夹角，就可转化为向量问题来处理.6求通过a(2,1)，且与直线l：4x3y90平行的直线方程(图10)图10解：因为向量(4，3)与直线l垂直，所以向量n(4，3)与所求的直线垂直设p(x，y)为一动点，则(x2，y1)点p在所求直线上，当且仅当n0.转化为坐标表示，即4(x2)(3)(y1)0.整理，得4x3y50.这就是所求的直线方程1由学生归纳总结本节学习的数学知识有：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度2本节都学习了数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点课本本节习题24a组1,2,3，b组1,2.1本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花2由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力3平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果现举几例以供教师、学生进一步探究使用1简化向量运算例 1如图11所示，o为abc的外心，h为垂心，求证：.图11证明：如图11，作直径bd，连接da，dc，有，且daab，dcbc，ahbc，chab，故chda，ahdc，得四边形ahcd是平行四边形从而.又，得，即.2证明线线平行例 2如图12，在梯形abcd中，e，f分别为腰ab，cd的中点求证：efbc，且|(|).图12证明：连接ed，ec，adbc，可设(0)，又e，f是中点，0，且()而(1)，.ef与bc无公共点，efbc.又0，|(|)(|)3证明线线垂直例 3如图13，在abc中，由a与b分别向对边bc与ca作垂线ad与be，且ad与be交于h，连接ch，求证：chab.图13证明：由已知ahbc，bhac，有0，0.又，故有()0，且()0，两式相减，得()0，即0，.4证明线共点或点共线例 4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的.已知：abc的三边中点分别为d，e，f(如图14)图14求证：ae，bf，cd共点，且.证明：设ae，bf相交于点g，1，由定比分点的向量式有，又f是ac的中点，()，设2，则，12，2，即.又(2)()，c，g，d共线，且.二、备用习题1.如图15，半圆的直径ab6，o为圆心，c为半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则()的最小值为()图15a. b9 c d92有一边长为1的正方形abcd，设a，b，c，则|abc|_.3已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，则使ba与a垂直的_.4在等边abc中，a，b，c，且|a|1，则abbcca_.5已知三个向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且a，b，c三点共线，则k_.6如图16所示，已知矩形abcd，ac是对角线，e是ac的中点，过点e作mn交ad于点m，交bc于点n，试运用向量知识证明amcn.图167已知四边形abcd满足|2|2|2|2，m为对角线ac的中点求证：|.8求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补参考答案：1d2.23.24.5.2或116证明：建立如图17所示的直角坐标系，设bca，bab，则c(a,0)，a(0，b)，e(，)图17又设m(x2，b)，n(x1,0)，则(x2,0)，(x1a,0)，(x2，)，(x1，)，(x2)()(x1)()0.x2ax1.|x2|ax1|x1a|.而|x1a|，|，即amcn.7证明：设a，b，c，d，abcd0，ab(cd)a2b22abc2d22cd.