《建筑力学》11章静定结构的内力分析.ppt

第十一章静定结构的内力分析 第一节楼梯斜梁和多跨静定梁1 楼梯斜梁楼梯斜梁承受的荷载主要有两种 一种是沿斜梁水平投影长度分布的荷载 如楼梯上人群的重量等 另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载 如梁的自重等 一般在计算时 为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载 如图11 1 a 沿梁轴线方向分布的荷载 转换为沿水平方向分布的荷载 则由于是等值转换 所以有 图11 1 以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析 如图11 1 b 所示 根据平衡条件 可以求出支座反力为 由平衡条件得 由此即可绘出其内力图 内力图绘制 以梁轴为轴线 内力图竖标垂直梁轴 如图11 1 d 所示 由上可知 弯矩图为抛物线形 跨中弯矩为 它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同 图与同样条件的水平简支梁的图形状相同 但数值是水平简支梁的倍 2 多跨静定梁 1 多跨静定梁几何组成多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰连结而成 并用来跨越几个相连跨度的静定梁 这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中 如图11 2所示 其简图如图11 3 a 所示 多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式 第一种基本形式如图11 3 a 所示 其层次图如图11 3 b 所示 第二种基本形式如图11 4 a 所示 其层次图如图11 4 b 所示 图11 2 图11 3 图11 4 2 多跨静定梁的特点结构组成 组成整个结构的各单跨梁可分为基本部分和附属部分 基本部分 结构中凡本身能独立维持几何不变的部分 如图11 3 AB EF IJ 图11 4 AB 附属部分 需依赖其它部分支承才能保持几何不变的部分 如图11 3 CD GH 图11 4 CD EF GH 传力关系 荷载作用在基本部分上 基本部分受力 附属部分不受力 荷载作用在附属部分上 附属部分受力 基本部分也受力 3 多跨静定梁的内力计算计算方法 顺序 拆成单跨梁 先附属部分 后基本部分 计算步骤 画出层次图 拆成单跨梁 由上而下 依次绘制各单梁内力图 将各单跨梁的内力图联成一体 即为多跨静定梁的内力图 注意 由上而下画层次图 受力传递图时 各梁上除作用有荷载外 还有上层传来的支座反力 多跨静定梁拆成单梁后 从附属部分到基本部分 依次由静力平衡方程求出各支反力反向作用于下层也为荷载 内力图画在原结构简图上 上述先附属部分后基本部分的计算原则 也适用于由基本部分和附属部分组成的其他类型的结构 例11 1 试作出如图11 5 a 所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图 图11 5解题步骤和方法详见教材 第二节静定平面刚架1 平面刚架的概念刚架是由梁 柱等直杆组成的具有全部或部分刚结点的结构 如图11 7 图11 7 2 平面刚架的特点 1 刚架整体刚度大 在荷载作用下 变形较小 2 刚架在受力后 刚结点所连的各杆件间的角度保持不变 即结点对各杆端的转动有约束作用 因此刚结点可以承受和传递弯矩 这样刚架中各杆内力分布较均匀 且比一般铰结点的梁柱体系小 故可以节省材料 3 由于刚架中杆件数量较少 内部空间较大 所以刚架结构便于利用 3 平面刚架的类型静定平面刚架通常可分为简支刚架图11 7 a 悬臂刚架图11 7 b 三铰刚架图11 7 c 和组合刚架 多层多跨刚架 图11 7 d e 等型式 4 平面刚架的支座反力计算静定刚架支座反力的计算是内力计算的前提 一般悬臂刚架无需计算反力 简支刚架取整体为研究对象 列平衡方程计算 三铰刚架取其中一半和整体或分别取两半部分为对象计算 而多层多跨刚架则需首先分析几何组成 然后先计算附属部分 再计算基本部分 5 平面刚架的内力及内力图 1 刚架的内力及正负号确定求刚架的内力及内力图 内力的正负规定同前 求截面的内力仍然采用截面法 即沿杆端截面截开 按正向假定内力 也可任意方向假定 取隔离体 建立平衡方程计算 内力图的画法 弯矩图画在杆件的受拉一侧 不注正 负号 刚架杆件均为直杆 每一直杆段均可以利用分段叠加法绘制弯矩图 剪力图画在杆件的任一侧 但应注明正 负号 轴力图画在杆件的任一侧 但应注明正 负号 2 杆端内力的表示 如 等 注意 刚结点处不同方向有不同的杆端内力 为了明确表示刚架上不同截面的内力 特别是为了区别汇交于同一结点的不同杆端截面的内力 在内力符号右下角采用两个脚标 第一个脚标表示内力所属截面 第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端 例如表示AB杆A端截面的弯矩 则表示AB杆B端截面的弯矩 3 内力图绘制静定刚架内力图有弯矩图 剪力图 轴力图 刚架的内力图由各杆的内力图组合而成 而各杆的内力图 只需求出杆端截面的内力后 即可按照梁内力图的绘制方法画出 6 平面刚架计算步骤 1 求支座反力 由整体或部分为研究对象 2 求各杆端内力 由脱离体为研究对象 3 分段绘各杆内力图 按内力图变化特征绘制 4 校核内力图 由杆件 结点处平衡条件 第三节静定平面桁架1 桁架及其特点桁架是由直杆通过铰结点连接而成的链杆体系 各个杆件内主要受到轴力的作用 截面上应力分布较为均匀 可以充分发挥材料的作用 在工业建筑及大跨度公用建筑中的屋架 托架 檩条 如图11 12 a 所示 以及桥梁结构工程中常采用桁架结构 图11 12 2 桁架计算简图的基本假设实际的桁架结点构造形式多样 比较复杂 为便于计算 桁架的计算简图常采用下列假定 1 连结杆件的各结点都是无摩擦的理想铰结点 2 各杆件的轴线都是直线 都在同一平面内 并且都通过铰的中心 3 荷载和支座反力都作用在结点上 并位于桁架平面内 4 桁架杆件的自重可忽略不计 或将杆件的自重平均分配在桁架的结点上 满足上述假定的桁架称为理想桁架 在绘制理想桁架的计算简图时 以轴线代替各杆件 且都是只承受轴力的二力杆 以小圆圈代替铰结点 如图11 12 b 所示 3 桁架的各部分名称 如图11 13所示 图11 13 4 桁架的分类 1 按照桁架的外形分类 平行弦桁架 如图11 14 a 所示 折线形桁架 如图11 14 b 所示 三角形桁架 如图11 14 c 所示 梯形桁架 如图11 14 d 所示 抛物线形桁架 如图11 14 e 所示 2 按照桁架的几何组成分类 简单桁架 以一个基本铰结三角形为基础 依次增加二元体而组成的无多余约束的几何不变体系 如图11 14 a d e 所示 联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架 如图11 14 c f 所示 复杂桁架 不属于前两类的桁架即为复杂桁架 如图11 14 b 所示 图11 14 返回 5 桁架的内力计算 1 桁架内力正负号规定 理想桁架中各杆件均为二力杆 杆件内力只有轴力 规定轴力以拉力为正 以压力为负 内力计算方法 结点法 截面法 联合法 结点法与截面法的联合应用 截面法比较适用于求少数特定杆的内力 结点法适用于求全部桁架杆的内力 2 零杆桁架中内力为零的杆件称为零杆 在计算之前先断定出哪些杆件为零杆 哪些杆件内力相等 可以使后续的计算大大简化 零杆只是在某种荷载作用下轴力为零的杆 不能从结构中去掉 当结构上的荷载变化时 零杆的位置也随着改变 在判别零杆时 可以依照下列规律进行 对于没有外力作用的两杆结点 则两杆均为零杆 如图11 15 a 所示 当外力沿其中一杆的方向作用时 该杆内力与外力相等 另一杆为零杆 如图11 15 b 所示 对于无外力作用的三杆结点 若其中两杆共线 则第三杆为零杆 其余两杆内力相等 且内力性质相同 均为拉力或压力 如图11 15 c 所示 图11 15 返回 如图11 16所示去掉零杆后结构变得更简单 可使计算简化 图11 16 3 几种特殊结点使用结点法时 熟悉如图11 17所示的几种特殊结点 可使计算简化 对题解有益处 L型结点 不在一直线上的两杆结点 当结点不受外力时 两杆均为零杆 如图11 17 a 所示 若其中一杆与外力F共线 则此杆内力与外力F相等 另一杆为零杆 如图11 17 d 所示 T型结点 两杆在同一直线上的三杆结点 当结点不受外力时 第三杆为零杆 如图11 17 b 所示 若外力F与第三杆共线 则第三杆内力等于外力F 如图11 17 e 所示 X型结点 四杆结点两两共线 如图11 17 c 所示 当结点不受外力时 则共线的两杆内力相等且符号相同 K型线点 这也是四杆结点 其中两杆共线 另两杆在该直线同侧且与直线夹角相等 如图11 17 f 所示 当结点不受外力时 则非共线的两杆内力大小相等但符号相反 以上结论 均可取适当的坐标由投影方程得出 4 结点法计算桁架的内力结点法是指以截取的结点为研究对象 根据外力和杆件内力组成的平面汇交力系平衡方程计算杆件内力的方法 实际计算时 可以先从未知力不超过两个的结点计算 求出未知杆的内力后 再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算 图11 17 返回 例11 5试用结点法解算图11 18所示桁架中各杆的内力 图11 18 解题要点 选取节点时 该节点上最多只能有两个未知力 详解教材见 提一下结点单杆的概念 如果在同一结点身外所有内力为未知的各杆中 除某一杆外 其余各杆都共线 则该杆称为结点单杆 关于结点单杆有下面两种情况 结点只包含两个未知力杆 且此二杆不共线 如图11 20 a 所示 则每杆都是单杆 结点只包含三个未知力 其中有两杆共线 如图11 20 b 则第三杆是单杆 图11 20 结点单杆有以下性质 结点单杆的内力 可由该结点的平衡条件直接求出 而非结点单杆的内力则不能由该结点的平衡条件直接求出 当结点无荷载作用时 单杆的内力必为零 或者说 无载结点的单杆必为零杆 图11 21 a 所示桁架在荷载作用下 只有用粗线表示的各杆 杆AB 杆HI 内力不为零 其余各杆都是零杆 因为按照图中数字标明的次序 可依次判断它们是无载结点的单杆 如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完 则此桁架即可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式将各杆内力求出 计算程序应按照拆除单杆的程序进行 图11 21 b 所示桁架虽不是简单桁架 但可以依靠拆除单杆的方法将整个结构拆完 拆除次序如图11 21 c 中数字所示 各杆内力可采用结点法求出 运算直接在桁架图上进行 因为对称 图11 21 c 中只注明了一半 图11 21 5 截面法计算桁架的内力用一假想截面将桁架分为两部分 其中任一部分桁架上的各力 包括外荷载 支座反力 各截断杆件的内力 组成一个平面一般力系 根据平面一般力系的平衡方程 即可求解被截断杆件的内力 平面一般力系的三个独立平衡方程可求解三个未知量 所以一般情况所截断的杆件不应多于三个 且不全平行 不全相交 如图11 22所示 图11 22 提一下截面单杆的概念 如果某个截面所截的内力为未知的各杆中 除某一杆外其余各杆都交于一点 或彼此平行 交点在无穷远处 则此杆称为该截面的单杆 关于截面单杆有下列两种情况 截面只截断三个杆 且此三杆不交于一点 或不彼此平行 则其中每一杆都是截面单杆 如图11 22中截面所截断的杆都是单杆 截面所截杆数大于三 但除某一杆外 其余各杆都交于一点 或都彼此平行 则此杆也是截面单杆 如图11 23中的a杆是截面m m的单杆 截面单杆具有如下性质 截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条件直接求出 对于第一种截面单杆 上述性质是显然的 对于第二种截面单杆 由图11 23也容易得出上述结论 实际上 在图11 23 a 中 单杆a的轴力可利用其余各杆交点0的力矩方程求出 在图11 23 b 中 单杆a的轴力可利用沿其余各杆垂直方向的投影方程求出 图11 23 例11 6 计算图11 24所示桁架CD杆 HC杆的内力 图11 24 详解见教材 6 结点法与截面法的联合应用欲求图11 26所示a杆的内力 如果只用结点法计算 不论取哪个结点为隔离体 都有三个以上的未知力无法直接求解 如果只用截面法计算 也需要解联立方程 为简化计算 可以先作 截面 如图所示 取右半部分为隔离体 由于被截的四杆中 有三杆平行 故可先求1B杆的内力 然后以B结点为隔离体 可较方便地求出3B杆的内力 再以3结点为隔离体 即可求得a杆的内力 图11 26 第四节三铰拱1 三铰拱的基本概念拱式结构是工程中应用较广泛的结构型式之一 我国远在古代就在桥梁和房屋建筑中采用了拱式结构 例如公元600 605年建成的河北赵州桥以37 02m的跨度保持了近十个世纪的世界纪录 在近代土木工程中 拱是桥梁 隧道及屋盖中的重要结构型式 如图11 29所示为1972年投入使用的永定河七号铁路桥 这是我国当时最大跨度 150m 的钢筋混凝土拱桥 图11 29 1 拱的概念拱式结构是指杆轴为曲线 在竖向荷载作用下 支座处产生水平推力的结构 如图11 30所示 图11 30 2 拱的形式拱的形式一般有无铰拱 图11 31 a 两铰拱 图11 31 b 三铰拱 图11 31 c d e 等几种 图11 31 3 拱的各部分名称 如图11 32所示 高跨比 图11 32 2 三铰拱的计算为了计算简单明了 下面以拱脚在同一水平线上的三铰拱和同荷载同跨度的水平简支梁做比较 导出三铰拱内力的计算方法 如图11 33所示 图11 33 1 计算支座反力取整个结构为隔离体 根据平衡条件可得 由于C点为铰连接 C点处的弯矩为零 故以左半跨为隔离体对C点取矩 建立补充方程 对于简支梁 如图11 28 b 所示 可以按同样的方法求出 C点的弯矩为 由上述各式可以得出 2 内力的计算拱的内力计算时 仍按截面法计算 且截面应与拱轴垂直 该截面的位置由截面形心的坐标x y及该截面处拱轴切线的倾角 来确定 如图11 33 a 所示 设计算截面K的三个参数分别为 该截面上的内力有 内侧受拉为正 绕隔离体顺时针转动者为正 和 以压力为正 下面分别讨论三种内力的计算方法 弯矩的计算取K截面以左为隔离体 如图11 33 c 所示 对K截面取矩 简支梁在相应位置处的弯矩也可由静力平衡条件求出 如图11 33 d 所示 由于 所以三铰拱K截面上的弯矩为 剪力的计算如图11 33 c 所示 以方向为y轴 方向为x轴 建立坐标系 则 相应简支梁在K截面处的剪力计算如下 如图11 33 d 所示 由于 所以 轴力的计算坐标系与求剪力时坐标系相同 则 由以上可知 支座水平推力与拱轴曲线形状无关 而只与荷载及三个铰的位置有关 当荷载与跨度确定时 为定值 水平推力与矢高成反比关系 愈大 拱愈高 则推力愈小 愈小 拱愈扁平 则推力愈大 因推力关系 拱内弯矩 剪力较之相应的简支梁都小 因此拱结构可比梁跨越更大的跨度 但拱结构支承不及梁的经济 拱内以轴力 压力 为主要内力 三铰拱的特点 拱要比梁有更坚固的支承 拱可跨越较梁更大的跨度 由于拱各截面弯矩值较简支梁小 截面轴力大 所以宜用脆性材料 3 三铰拱的合理拱轴