第2课时　圆锥及其侧面积

第27章圆27.3圆中的计算问题第2课时圆锥及其侧面积素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入欣赏一下圆锥图片：图27347圆锥的侧面展开图是什么？侧面积如何求？说明与建议 说明：通过欣赏圆锥图片，激发学生的求知欲，加强新旧知识的联系和延伸建议：探索圆锥的侧面展开图可以通过实验操作，发现规律，理解如下图形 图27348 图27349置疑导入操作：把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开(也可以通过flash展示圆锥展开的过程)问题：圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥的母线有几条？沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？说明与建议 说明：现场展示圆锥的展开过程，给学生直观感受，并在观察过程中，发现展开前后的等量关系建议：让学生自主操作，并引导学生注意观察圆锥展开前后各量的对应性，待学生思考后加以阐述素材二 教材母题挖掘教材母题第63页例2一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120，弧长为20的扇形试求该圆锥底面的半径以及它的母线的长【模型建立】根据圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系可知：(1)圆锥的母线长与展开后所得扇形的半径相等；(2)圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等由此，求与圆锥面积有关的问题，可以利用其侧面展开图的面积进行计算，但要注意圆锥中各量与展开图各元素之间的对应关系，建立正确的转换关系才能正确计算圆锥的面积【变式变形】1已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的侧面积是(A)A20 cm2B20 cm2C40 cm2D40 cm22已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为10 cm2，则这个圆锥的底面半径是(A)A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm3莱芜中考 若一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是(D)AR B.R C.R D.R4如图27350，如果从半径为3 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(B)图27350A2 cmB. cmC4 cmD. cm5巴中中考 若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是_180_6已知圆锥的侧面积为16 cm2.(1)求圆锥的母线长L(cm)关于底面半径r(cm)的函数关系式；(2)写出自变量r的取值范围；(3)当圆锥的侧面展开图是圆心角为90的扇形时，求圆锥的高解：(1)SrL16，L.(2)Lr0，0r4.(3)16，L8.又L，r2，h2 .素材三考情考向分析命题角度1 有关圆锥的侧面积和全面积的计算有关圆锥的计算需要把握三点：(1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)扇形的半径是圆锥的母线；(3)扇形的弧长是圆锥底面圆的周长圆锥的全面积等于侧面积底面积例济宁中考 如果圆锥的母线长为5 cm，底面半径为2 cm，那么这个圆锥的侧面积是(B)A10 cm2 B10 cm2 C20 cm2 D600 cm2命题角度2 圆柱和圆锥组合体的侧面积实际问题中比如蒙古包的侧面积的计算，还有把一个直角三角形沿着不同的边旋转一周形成的图形的侧面积的计算是常见的考题解决此类问题的关键是准确计算出母线长等元素例如图27351，圆锥形烟囱帽的底面半径为15 cm，母线长为20 cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是(B)图27351A150 cm2B300 cm2C450 cm2D600 cm2素材四教材习题答案P62练习1已知圆弧的半径为50厘米，所对的圆心角为60，求此圆弧的长度(精确到0.001厘米)解：由弧长公式l，所以l52.36(厘米)2填空：(1)如果扇形的圆心角是230，那么这个扇形的面积与它所在圆的面积之比是_；(2)扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是_；(3)扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_答案 (1)(2)240(3)解析 利用弧长公式及扇形的面积公式进行计算P63练习1. 一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？(精确到0.01平方米)解：44 241.225.680.42(平方米)答：抺水泥部分的面积是80.42平方米2已知一个圆锥的底面半径为2 cm，母线长为5 cm，那么，它的侧面展开图是一个圆心角为多少的扇形？试画出它的示意图解：设它的圆心角为n.22，则n144.P63习题27.31钟面上的分针的长是5厘米，经过20分钟时间，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？(精确到0.01平方厘米)解：20分钟分针扫过扇形的圆心角是120，利用扇形的面积公式S，得S26.18(平方厘米)答：分针在钟面上扫过的面积是26.18平方厘米2火车机车上的主动轮的直径为1.2米，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？(精确到0.1千米)解：1.24006028800(米)，28800米28.890.5(千米)答：火车每小时行90.5千米3将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面那么该圆柱与圆锥两者的底面半径之比为多少？(结果保留)解：.4如果两个扇形的圆心角相等，大扇形的半径是小扇形的半径的2倍，那么大扇形的面积是小扇形的面积的多少倍？解：设小扇形的半径为r，则大扇形的半径为2r，由扇形的面积公式得S小，S大，所以S大4S小即大扇形的面积是小扇形的面积的4倍P67练习1举例说明各边相等的多边形不一定是正多边形解：略2举例说明各角相等的多边形不一定是正多边形解：略3正n边形共有多少条对称轴？解：n条P67习题27.41使用量角器画圆的内接正九边形解：略2试用尺规作圆，作出圆的内接正十二边形解：略3如果正n边形的中心角等于24，求这个正多边形的边数解：15.P72复习题A组1生活中有许多由圆组成的图案，请你用圆规等作图工具设计一个美丽图案解：答案不惟一，参考如下：2如图，试列举出A中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角、三个圆心角解析 除直径外，其他答案不惟一解：一条直径：CD；两条半径：AB、AE；三条弦：BF、ED、BC；三段弧：、，；三个圆周角：ECD、BCD、FBC；三个圆心角：EAD、BAD、BAC.3如图，在O中，AB是O的直径，AOC130，则D_.答案 25 解析 利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题4如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BCCDDA，则BOD_.答案 120 解析 根据圆心角、弧、弦之间的关系来计算5如图，AB是O的直径，弦CDAB，1 cm，4 cm，那么_cm，_cm，O的周长为_cm.答案 14106O的半径为r，直线与圆有公共点，且与圆心的距离为d，则()AdrBdrDdr解析 D直线与圆有公共点包括两种情况，一种是相交，另一种是相切7用半径为20厘米、圆心角为108的扇形纸片围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少厘米？解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R，圆锥的底面周长为：l12(厘米)，所以122r，所以r6(厘米)8如图，AB是O的直径，O的半径为6.5 cm，弦AC的长为5 cm，求弦BC的长解：因为半径是6.5 cm，则直径是13 cm，所以AB13 cm，由直径所对的圆周角是直角，所以ACB90，在RtABC中，BC12 (cm)9如图，ACBCDB60，AC2厘米求ABC的周长解：因为ACBCDB60，所以ACBA60，即ABC是等边三角形，又因AC2厘米，所以ABC的周长为6厘米10直线PA、PB是O的两条切线，A、B分别为切点，且APB120，O的半径为4厘米，求切线长PA.(结果保留根号)解：连接OP.PA、PB分别切O于点A、B，APOAPB60.连接OA，则OAP90.RtOAP中，OA4厘米，APO60，PAOAtan60(厘米) .11有一个边长为6 cm的正六边形，需要剪一张圆形纸片完全覆盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径解：最小半径为6 cm.B组12如图，I是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，DEF50，求A的大小解：连接ID、IF，D、E、F分别是I与AB、BC、AC的切点，IDBD、IFCF，即IDAIFA90，DEF50，FID2DEF100，A360DIFADIAFI360100909080.13如图，在ABC中，AD、BD分别平分BAC和ABC，延长AD交ABC的外接圆于点E，连接BE.求证：BEDE.证明：AD平分BAC，BAECAE，CAECBE，BAECBE，BD平分ABC，ABDCBD.BDEBAEABD， EBDCBEDBC，BDEEBD，BEDE.14如图，O是ABC的外接圆，ACO30，求B的大小解：连接OA，OAOC，ACOCAO30，AOC120，AOC2ABC120，即ABC60.15如图，I为ABC的内切圆，AB9，BC8，CA10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，求ADE的周长解：设F，G，H分别是AB，BC，CA与I的切点，则：BFBG，CGCH.ADE的周长ADDEAEAD(DFEH)AE(ADDF)(EHAE)AFAHABBCCABFBCCH27BGBCCG27BCBGCG278(BGCG)19BC19811.16如图，O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M.(1)写出图中所有的等腰三角形(不添加其他线段)；(2)求证：BM2BEME.解：(1)ABE，AED，AME，MDE，ABM(2)证明：五边形ABCDE是正五边形，DEAE，EADABE，又AEBMEA，AMEBAE，AE2BEME.由(1)知ABM是等腰三角形，ABBM，又AEAB，AEBM，BM2BEME.C组17如图，已知O1与O2相交于点A、B，过点B作CDAB，分别交O1和O2于C、D，过点B任作一直线分别交O1和O2于E、F，试证明：(1)AC、AD分别是O1和O2的直径；(2)AE与AF的比值是一个常数证明：(1)CDAB，ABCABD90，AC、AD分别是O1、O2的直径，(2)AEBACB，ADBAFB，AEFACD，常数18如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DEAB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G.求证：AFFG.证明：连接AD、BC，易知DACDBC，AB是半圆的直径，ADB90，又DEAB，易得ADEDBA，又D是的中点，DBCDBA，DACADE，AFDF.DGFCGB，CGBCBG90，GDEDBE90，GDEDGF，DFFG，AFFG.19(1)根据图中数据分别求出图中x的大小； (2)根据题(1)的计算过程与结果，猜想下图中所标的两角大小的计算方法，并说明理由解：(1)第一个图中：AC20，又ABCCPPABCC502030，第二个图中：BC30，BPCBA，BPCBA7030100.(2)如图(1)，连接AD、BC，12，又32P，P32，DPB等于与度数差的一半如图(2)，连接AD、BC，1C，又32C，312，DPB等于与度数和的一半素材五图书增值练习专题一 扇形面积计算公式的应用1如图在ABC中，BC4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是A上一点，且EPF45，则图中阴影部分的面积为（）. A4-p B4-2p C8+p D8-2p2如图，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD与O相切于点E，ADCD于点D，（1）求证：AE平分DAC；（2）若AB3，ABE60.求AD的长；求出图中阴影部分的面积.专题二 利用图形变换或等面积变换求阴影部分的面积3如图，两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？4如图，A是半径为1的O外的一点，OA2，AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，连结AC则图中阴影部分的面积等于_专题三 与圆锥有关的最短路线问题5已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）.6如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短距离是多少？参考答案1A 【解析】ABC的面积是，A2EPF90则扇形EAF的面积是故阴影部分的面积ABC的面积扇形EAF的面积4故选A2解:（1）证明：CD切O于E，3+AEO=90.AB是直径，AEB90，AEO+DEB=90, 3=OEB,又OE=OB，4OEB，34.ADCD，D90，139024，而34，12，即AE平分DAC.（2）在RtABE中，AEABsin43sin60.在RtAED中，ADAEsin3sin60；连结OE，则有AOE24120，.RtABE中，290430，作EHAB于点H，则EHAEsin30，.3【解析】通过平移，将一般情形化为特殊情形解：将小半圆向右平稳，使两圆的圆心重合，如图，则阴影部分面积等于半环形面积过点O作OEAB于点E，连结OA，AEAB12S阴影 p p p p p122=72 p4 【解析】OB是半径，AB是切线，OBAB，ABO90，A30,OCOB，BCOA，OBCBOA60，OBC是等边三角形，因此5D 【解析】蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM上的点(P)重合，而选项C还原后两个点不能够重合故选D.6解：圆锥的底面周长212，设侧面展开图的圆心角的度数为n，解得n120，所以展开图中DAC120260，根据勾股定理得AD，CD，所以蚂蚁爬行的最短距离为BD素材六数学素养提升机灵狡猾的老鼠猫是老鼠的天敌。却说有一只老鼠在庄稼地里为非作歹，碰上了猫，左躲右闪。想回自己的鼠洞，已不可能，猫断了它的退路，身边只有一个圆湖。唯一的出路只有跳入水中，它知道猫不会游水，否则必死无疑；而猫也不愿意放弃这顿即将到目的美餐，于是死死盯住老鼠在圆湖边奔跑，打算在老鼠盲目上岸时抓住它。已知猫的速度是老鼠游水速度的2倍，老鼠有没有办法逃脱“虎”口呢？如上图，如果老鼠跳入水中径直向前游向对岸，这样老鼠的游程就是圆湖的直径2R（R是圆湖的半径），而猫的路程是半圆弧R，猫的路程是老鼠游程的1.57倍。显然，老鼠这样盲目上岸，猫已在哪儿等候着了！狡猾的老鼠游到湖心时侧脸看到了猫，知道了自己的处境，它想要让猫跑得路程更多，自己才有脱