肾炎的诊断-已修改.doc

判别法在肾炎的诊断中的运用摘要根据题目我们知道，有没有患肾炎与人体内的微量元素有关。因此，我们将根据人体内7种元素的含量来制定一个科学的诊断肾炎的方法，以便人们能够及时的发现并且治疗。 本文主要运用马氏距离判别法和费希尔判别法分别建立两个不同的模型，给出两种肾炎诊断的方法。根据表B.1，将130号肾炎病人作为总体G1，将确诊为健康3160号就诊人员作为另一个总体G2，将1150号样本的数据作为检查的依据,来检验110号、5160号的患病情况。用距离判别法时，套用距离判别公式，用MATLAB分别求出总体的平均值、协方差阵，代入到判别公式中。然后比较样品到总体的距离的大小，确定样品到底属于哪个总体。根据距离判别法，检查出的结果是110号中有3人没有患病，5160号就诊人员全部是健康的，检查的正确率 (只是针对这20个人的检验结果和真实情况的差异得来的，仅具有参考性，与真实的正确率有一定的差异) 为，6190号就诊人员的检验结果有9个肾炎患者，21人健康。运用费希尔判别法时，用方差分析法构建一个判别函数：，在MATLAB中求解出函数的各项系数，并确定判别式的临界值：。然后将数据代入判断，结果发现110号全部有病，5160号只有一个有病，检查的正确率为 。6190号就诊人员的检验结果有14个肾炎患者，16人健康。我们将两种方法检查的结果进行对比，最后确认61、62、64、66、71、72、76、83、85号是肾炎患者；65、68、69、73、79号是否有病，检查结果不确定，还需要做进一步检查；表B.2中其他就诊人员都是健康的。在问题三中，影响人们患肾炎的主要因素是Ca和Zn。若将Cu、Fe、Mg、K、Na等5种次要的影响因素剔除之后，再根据同样的方法进行检验，结果是110号中有1人没有患病，5160号就诊人员全部是健康的，检查的正确率为，6190号就诊人员的检验结果有16个肾炎患者，14人健康。另外,在模型的改进时，我们大胆尝试了一下BP神经网络法判别法，由于对该法的使用还不太熟悉，因此取得的效果有限。但是该法无疑有很大的应用潜力。关键字： 距离判别法 费希尔判别法 BP神经网络法判别法1.问题重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表B.1（见附录表1）是确诊病例的化验结果，其中130号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；3160号病例是已经确诊为健康人的结果。表B.2（见附录表2）是就诊人员的化验结果。我们的问题是：1. 根据表B.1中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。2. 按照1提出的方法，判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。3. 能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。4. 根据3的结果，重复2的工作。5. 对2和4的结果作进一步的分析。 2.基本假设：假定就诊人员的身体状况只有患肾炎和健康（非肾炎患者）两类，除此之外没有同时患上其它的病；：假设样品的估计平均值、协方差分别等于总体的平均值、协方差；：费希尔判别的临界值可以视为两总体的重心，即样品的几何重心；：假设题目中所给的数据是在相同的条件下测得的；：样本数据足够多，假定健康人体内各种元素的含量服从正态分布；3.符号说明G1：肾炎病人所组成的总体；G2：健康人组成的总体；：总体G1的均值；：总体G1的估计均值；：总体G2的均值； ：总体G2的估计均值； ：第i个总体的协方差阵；：第i个总体的协方差阵估计值；：样品到第i个总体的距离；F：两个总体间的离差；Q：两个总体内部的离差；：组间离差与组内离差的比值；：费希尔判别函数的系数（i=1，2，p）；：第i个总体的样品的重心（i=1、2）y：费希尔判别式的函数值；4.问题的背景与分析4.1问题的背景：肾炎是一种困扰人们的生活与健康的疾病，及时的发现和治疗才能够有效的避免和遏制肾炎恶化。本文在已知健康人和肾炎患者各自体内各种元素的含量的基础上，采用30名健康者和30名肾炎患者体内的Zn、Cu、Fe、Ca、Mg、K、Na等7种微量元素的含量作为基础数据，并分别选取20名健康者和20名患者的数据作为样本，进行采样分析。4.2问题一的分析：根据第一问中给出的表格B.1，将130号病例作为一个总体G1，将3160号病例作为另一个总体G2。先假设总体样品服从正态分布，将总体G1和G2中的样品除以对应指标的平均值，得到标准化的样品，用统计工具计算发现总体并不服从正态分布，故假设不成立，因而，不能使用涉及到正态分布的模型方法来求解，通过大量的模型的分析和筛选，最后确定用马氏距离法和费希尔判别法。从统计识别角度来看，问题一、二中采用这两种判别法来分析。运用马氏距离法实际上是确定一个样本到总体的适当的距离系数，并以此距离系数为判别函数，样本与哪个总体的距离最近就判这个样本属于哪个总体。采用费希尔判别法的基本思想是把所有数据的总离差平方和分解为组内差F和组间差Q两部分，而组间差与组内差的比值大小可以作为衡量总体差异大小的标志，比值越大，总体间差异就越大。5.模型的建立5.1问题一的模型设有两个总体G1，G2，从第一个总体中抽取个样品，从第二个总体中抽取个样品。每个样品观测p个指标，如下表一所示。表一：总体总体变量样品均值5.1.1距离判别模型距离判别法基本思想： 总体G1和G2分别为两个不同的总体，x是一个p维样本，若能定义样品x到总体G1，G2距离，则可以用如下的规则进行判断，若样品x到总体G1的距离小于到总体G2的距离，那么就认为x属于总体G1，反之，则认为它属于G2；若样本x到G1，G2的距离相等，则让它们待判断。这个准则的数学模型可以描述为：距离判别法的模型：距离包括欧式距离和马氏距离。当各个分量为性质不同的量时，距离的判别与单位有关；从概率的角度来看欧式距离也常会引入矛盾，因此欧式距离法有些缺点，在运用距离法时，一般选用马氏距离，即其中、和分别表示G1、G2的均值和协方差阵，实测指标。当这些量在题目中没有给出时，可以通过样本来估计。设， 来自总体（i=1、2）的样本，则总体的均值，协方差的估计值分别为： 其中 将这些估计得到的平均值，协方差阵当作总体的平均值，协方差阵，代入到距离判别公式 ，通过比较可以求出样品属于哪个总体。5.1.2费希尔（Fisher）判断模型：费希尔判别法的基本思想： 以两个总体中p个指标的样品数据为观测数据，借助方差分析的思想构建一个判别函数：其中系数、确定的原则是使两组间的区别最大，而使每组内部的离差最小。有了判别式后，对于一个新的样品，将它的p个指标代入判别式，求出y值，然后与判别式的临界值进行比较，就可以判别它属于哪一个总体。费希尔判别函数的导出：假设新建立的判别式为：现将属于不同的两总体的样品观测值代入判别式中去，则得对上边式子左右两边分别相加，再除以相应的样品个数，则有在求出两个总体的几何中心作为判别式的临界值：为了使判别函数能够很好地区别来自不同总体的样品，自然希望：（1）来自不同总体的两个平均值和，相差越大越好；（2）对于来自第一个总体的（i=1，2，），要求它们的离差平方和越小越好，同样也要求越小越好。综合以上两点，就是要求：越大越好。记Q=Q(, )=为两组间离差，F=F(, )=为两组内的离差，则利用微积分求极值的必要条件求出使I达到最大值的，。为此将上式两边取对数，并分别对取导，当导数值等于0时，I可以得到最大值，经化简整理得：，然后分别用含的表达式将Q和F表示出来。最终得到方程组：其中即写成矩阵形式为: 所以得到费希尔系数矩阵: 其中 ，根据上面的关系式，在MATLAB中编程，求解出费希尔系数：指标系数其中，如果满足，对于一个新样品代入判别函数中所得到的值记为y，当时，可以判断，当时，可以判断 ；如果满足，对于一个新样品代入判别函数中所得到的值记为y，当时，可以判断，当时，可以判断 。 6.模型的求解6.1 用距离判别法求解问题一和问题二： 根据距离判断的公式，将总体G1中11号至30号这20名肾炎病人体内7种元素的含量作为就检验样本的数据，用matlab软件对数据进行处理，同时对总体G2中31号至50号样本数据进行一样的处理。将两个总体中待验证的20个样本分别代入，并用matlab软件对数据进行处理和求解。其中 =mean（G1），=inv（cov（G1）=mean（G2），= inv（cov（G2）x为检验样本和待判断的样本，分别代入公式用matlab求解得结果如下表： 病例号123456789102.32053.24698.79733.145011.370017.79529.78142.437010.35882.364751.616467.31488.306086.883413.49747.17488.673519.962314.71276.4518属于G1/G2G1G1G2G1G1G2G2G1G1G1病例号51525354555657585960334.347176.594365.105029.9484239.7199147.8971244.1269110.359160.220320.28239.02244.52029.11247.37355.93972.76689.947210.37662.96134.6912属于G1/G2G2G2G2G2G2G2G2G2G2G2由以上两表可以看出,运用马氏判别法，10个肾炎病人只检查出了7个，10个健康人全部判断为健康，由此可知，马氏距离判别的准确率17/20=85% 。根据马氏距离法判断61号至90号待测人员的结果，如下表所示：病号616263646566676869707172737475有/无病001010111100111病号767778798081828384858687888990有/无病011111101011111其中：0表示诊断该病例号患有肾炎，1表示判断就诊人员为健康的。6.2 用fisher判别法求解问题一和问题二： 用matlab软件来求解（1） 建立判别函数由题目给定的数据可得：=（125.8550 12.0445 22.0175 739.7000 108.8950 239.1700 566.5500）= (182 23.1 69 2474.1 299.3 92.8 384.2 )则d=（-56.1 -11.1 -47 -1734.4 -190.4 164.4 182.3 ）利用matlab，可求S1，S2，S.最后可以得到：C=d= -0.31 4.22 -0.46 -0.08 -0.22 -0.01 0.07所以判别函数为： y=（）（2） 计算判别临界值由题目中的数据可得，。则 （3）判别准则 因为 所以判别准则为 （4）对判别效果进行检验 对于已知的十个肾炎病患者和十个健康者，其检验结果如下图 其中蓝色*表示实际情况（位于0处表示有肾炎病，位于1表示无肾炎病），红色o表示判断情况。红色o与蓝色*重合表示判断正确。分开表示判断错误。由图可知20个病例号中只有一个判断错误，因此可以得到该判断法的估计准确率为19/20=95%. (5)对待判断的30个就诊病人（依次从61号到90号）的判断结果如下图：其中位于0处的表示判断有肾炎病，位于1处的表示判定无肾炎病。由上图可知判断61、62、64、65、66、68、69、71、72、73、76、79、83、85等14人有肾炎病，其他16人无肾炎病。问题三：我们把题目中所给的数据处理后，根据=（-0.0474 0.0742 -0.0210 -0.1239 -0.0443 -0.0020 0.0353）（.*是matlab中的符号，是对应项相乘，结果仍然为向量）中各项的大小，剔除绝对值最小的项（因为该项数据对结果的总的结果的平均影响最小），由已知数据可知首先应该剔除倒数第二项，即K元素对应的所有数据，再按照问题一和问题二的求解方法求解。在此我将逐次减少化验的指标，并将其求解结果列表如下：剔除的元素判别式y=临界值检验准确率对30个人的判断结果K-0.129295%14人有肾炎16人无肾炎K，Fe-0.1146100%13人有肾炎17人无肾炎K，Fe，Na-0.152095%13人有肾炎17人无肾炎K，Fe，Na，Mg-0.143895%15人有肾炎15人无肾炎K，Fe，Na，Mg，Cu-0.149595%16人有肾炎14人无肾炎详细检验和诊断结果见附录。由表中结果可知，影响肾炎的主要指标是Zn和Ca的含量。（即和这两项所表示的元素）当只剔除K和Fe时检验结果最准确，故条件允许的话，可考虑只剔除这两项指标再进行判断。将马氏判别结果与费希尔判别结果进行对比分析，如下表：病号61626364656667686970马氏判别0010101111费希尔判别0010001001有无肾炎有有无有待定有无待定待定无病号71727374757677787980马氏判别0011101111费希尔判别0001101101有无肾炎有有待定无无有无无待定无病号81828384858687888990马氏判别1101011111费希尔判别1101011111有无肾炎无无有无有无无无无无从上表可以确定61、62、64、66、71、72、76、83、85号是肾炎患者；65、68、69、73、79号是否有病，检查结果不确定，还需要做进一步检查；其他就诊人员都是健康的。7.模型的改进 由于我们对的判别方法都很传统，实际的误差也比较大。因此我们特地大胆尝试了目前比较先进，具有较强的容错能力的BP神经网络算法来判定。人工神经网络的实质体现了网络输入和其输出之间的一种函数关系。通过选取不同的模型结构和激活函数，可以形成各种不同的人工神经网络得到不同的输人输出关系式，并达到不同的设计目的，完成不同的任务。算法是一种有监督式的学习算法，其主要思想是：输入学习样本，使用反向传播算法对网络的权值和偏差进行反复的调整训练，使输出的向量与期望向量尽可能地接近，当网络输出层的误差平方和小于指定的误差时训练完成，保存网络的权值和偏差。本题就是运用它进行了模式识别功能的初步尝试.但是由于此算法操纵难度比较大，我们对各种参数的设置也比较生疏，但是仍然取得了一定的效果，其判断结果如下图：因此，在模型的改进方向上我们可以朝着BP神经网络法进行，该法具有极强的生命力和应用前景。8. 模型的评价模型的通用性强、与实际生活紧密相关，对医生的判断有一定的指导意义。在第三问中寻找关键因素的方法比较简单易行。模型对就诊者判断的正确率没有达到100%，存在的误判在现实中是很危险的。并且在第一问的模型中只考虑了各种元素对判断是否有肾炎的综合作用，并没有考虑某一种元素单独对结果的影响。参考文献1. 宋来忠等.数学建模与实验.北京：科学出版社，20052. 刘焕彬等.数学模型与实验.北京：科学出版社，20083. 彭祖赠.数学模型与实验方法.大连海事大学出版社，1997附录：表B.1 确诊病例的化验结果病例号ZnCuFeCaMgKNa116615.824.5700112179513218515.731.570112518442731939.8025.9541163128642415914.239.789699.2239726522616.223.860615270.321861719.299.2930718745.5257720113.326.655110149.4141814714.530.065910215468091728.857.8655175.798.43181015611.532.56391071035521113215.917.757892.4131413721218211.311.3767111264672131869.2637.195823373.0347141628.2327.162510862.4465151506.6321.06271401796391615910.711.761219098.53901711716.17.0498895.51365721818110.14.0414371841015421914620.723.8123212815010922042.310.39.7062993.74398882128.212.453.137044.14548522215413.853.36211051607232317912.217.9113915045.22182413.53.3616.813532.651.6182251755.8424.980712355.61262611315.847.362653.61686272750.511.66.3060858.958.91392878.614.69.7042170.81334642990.03.278.1762252.37708523017828.832.499211270.21693121319.136.2222024940.01683217013.929.8128522647.93303316213.219.8152116636.21333420313.090.8154416298.903943516713.114.1227821246.31343616412.918.6299319736.394.53716715.027.0205626064.62373815814.437.0102510144.672.53913322.831.016334011808994015613532267471090228810411698.00308106899.153.02894224717.38.65255424177.9373431668.1062.81233252134649442096.4386.9215728874.0219451826.4961.738704321433674623515.623.4180616668.81884717319.117.0249729565.82874815119.764.220314031828744919165.435.053613921376885022324.486.0360335397.74795122120.115531723681507395221725.028.223433731104945316422.235.52212281153549541738.9936.016242161032575520218.617.7378522531.067.35618217.324.8307324650.71095721124.017.0383642873.53515824621.593.2211235471.71955916416.138.0213515264.32406017921.035.0156022647.9330表B.2 就诊人员的化验结果病例号ZnCuFeCaMgKNa6158.25.4229.7323138179513621061.8740.5542177184427631520.8012.513321761286466485.51.703.9950362.3238762.6651440.7015.154779.771.0218.56685.71.094.279017045.8257.9671440.309.1141755249.5141.5681704.169.32943260155680.8691760.5727.331813399.4318.8701927.0632.91969343103553711888.2822.6120823113141372721535.8734.8328163264672.5731432.8415.726512373.0347.57421319.136.2222024962.0465.87519220.123.8160615640.01687617110.530.567214547.0330.57716213.219.8152116636.21337820313.090.8154416298.9394.57916420.128.9106216147.3134.58016713.114.1227821236.596.58116412.918.6299319765.5237.88216715.027.0205626044.872.08315814.437.01025101180899.58413322.831.31633401228289851698.030.8106899.153.08178624717.38.65255424177.5373.5871853.9031.31211190134649.8882096.4386.9215728874.0219.8891826.4961.73870432143367.59023515.623.4180616668.9188附录1，用距离判别法求解的程序：djdata=166 15.8 24.5 700 112 179 513185 15.7 31.5 701 125 184 427193 9.8 25.9 541 163 128 642159 14.2 39.7 896 99.2 239 726226 16.2 23.8 606 152 70.3 218171 9.29 9.29 307 187 45.5 257201 13.3 26.6 551 101 49.4 141147 14.5 30 659 102 154 680172 8.85 7.86 551 75.7 98.4 318156 11.5 32.5 639 107 103 552221 20.1 155 3172 368 150 739217 25 28.2 2343 373 110 494164 22.2 35.5 2212 281 153 549173 8.99 36 1624 216 103 257202 18.6 17.7 3785 225 31 67.3182 17.3 24.8 3073 246 50.7 109211 24 17 3836 428 73.5 351246 21.5 93.2 2112 354 71.7 195164 16.1 38 2135 152 64.3 240179 21 35 1560 226 47.9 330;G1=132 15.9 17.7 578 92.4 1314 1372182 11.3 11.3 767 111 264 672186 9.26 37.1 958 233 73 347162 8.23 27.1 625 108 62.4 465150 6.63 21 627 140 179 639159 10.7 11.7 612 190 98.5 390117 16.1 7.04 988 95.5 136 572181 10.1 4.04 1437 184 101 542146 20.7 23.8 1232 128 150 109242.3 10.3 9.7 629 93.7 439 88828.2 12.4 53.1 370 44.1 454 852154 13.8 53.3 621 105 160 723179 12.2 17.9 1139 150 45.2 21813.5 3.36 16.8 135 32.6 51.6 182175 5.84 24.9 807 123 55.6 126113 15.8 47.3 626 53.6 168 62750.5 11.6 6.3 608 58.9 58.9 13978.6 14.6 9.7 421 70.8 133 46490 3.27 8.17 622 52.3 770 852178 28.8 32.4 992 112 70.2 169;G2=213 19.1 36.2 2220 249 40 168170 13.9 29.8 1285 226 47.9 330162 13.2 19.8 1521 166 36.2 133203 13 90.8 1544 162 98.9 394167 13.1 14.1 2278 212 46.3 134164 12.9 18.6 2993 197 36.3 94.5167 15 27 2056 260 64.6 237158 14.4 37 1025 101 44.6 72.5133 22.8 31 1633 401 180 899156 135 322 6747 1090 228 810169 8 308 1068 99.1 53 289247 17.3 8.65 2554 241 77.9 373166 8.1 62.8 1233 252 134 649209 6.43 86.9 2157 288 74 219182 6.49 61.7 3870 432 143 367235 15.6 23.4 1806 166 68.8 188173 19.1 17 2497 295 65.8 287151 19.7 64.2 2031 403 182 874191 65.4 35 5361 392 137 688223 24.4 86 3603 353 97.7 479 ;G3=58.2 5.42 29.7 323 138 179 513106 1.87 40.5 542 177 184 427152 0.80 12.5 1332 176 128 64685.5 1.70 3.99 503 62.3 238 762.6144 0.70 15.1 547 79.7 71.0 218.585.7 1.09 4.2 790 170 45.8 257.9144 0.30 9.11 417 552 49.5 141.5170 4.16 9.32 943 260 155 680.8176 0.57 27.3 318 133 99.4 318.8192 7.06 32.9 1969 343 103 553188 8.28 22.6 1208 231 1314 1372153 5.87 34.8 328 163 264 672.5143 2.84 15.7 265 123 73.0 347.5213 19.1 36.2 2220 249 62.0 465.8192 20.1 23.8 1606 156 40.0 168171 10.5 30.5 672 145 47.0 330.5162 13.2 19.8 1521 166 36.2 133203 13.0 90.8 1544 162 98.9 394.5164 20.1 28.9 1062 161 47.3 134.5167 13.1 14.1 2278 212 36.5 96.5164 12.9 18.6 2993 197 65.5 237.8167 15.0 27.0 2056 260 44.8 72.0158 14.4 37.0 1025 101 180 899.5133 22.8 31.3 1633 401 228 289169 8.0 30.8 1068 99.1 53.0 817247 17.3 8.65 2554 241 77.5 373.5185 3.90 31.3 1211 190 134 649.8209 6.43 86.9 2157 288 74.0 219.8182 6.49 61.7 3870 432 143 367.5235 15.6 23.4 1806 166 68.9 188;covG1=cov(G1);covG2=cov(G2);meanG1=mean(G1);meanG2=mean(G2);A=0B=0;C=0count1=0;for i=1:10 ix=djdata(i,:);dis1=(x-meanG1)*inv(covG1)*(x-meanG1) dis2=(x-meanG2)*inv(covG2)*(x-meanG2) if dis1dis2 A(i)=0; count1=count1+1;else A(i)=1;endendcount1count2=0;for i=11:20 i+40x=djdata(i,:);dis1=(x-meanG1)*inv(covG1)*(x-meanG1)B(i-10)=dis1;dis2=(x-meanG2)*inv(covG2)*(x-meanG2)C(i-10)=dis2;if dis1dis2 A(i)=0; count2=count2+1;else A(i)=1;endendplot(A,r*);title(距离判别法的肾炎检验结果图);count2count3=0;for i=61:90 x=G3(i-60,:);dis1=(x-meanG1)*inv(covG1)*(x-meanG1);dis2=(x-meanG2)*inv(covG2)*(x-meanG2);if dis1dis2 i count3=count3+1;endendcount3附录2.用fisher判别法求解的程序：djdata=166 15.8 24.5 700 112 179 513185 15.7 31.5 701 125 184 427193 9.8 25.9 541 163 128 642159 14.2 39.7 896 99.2 239 726226 16.2 23.8 606 152 70.3 218171 9.29 9.29 307 187 45.5 257201 13.3 26.6 551 101 49.4 141147 14.5 30 659 102 154 680172 8.85 7.86 551 75.7 98.4 318156 11.5 32.5 639 107 103 552221 20.1 155 3172 368 150 739217 25 28.2 2343 373 110 494164 22.2 35.5 2212 281 153 549173 8.99 36 1624 216 103 257202 18.6 17.7 3785 225 31 67.3182 17.3 24.8 3073 246 50.7 109211 24 17 3836 428 73.5 351246 21.5 93.2 2112 354 71.7 195164 16.1 38 2135 152 64.3 240179 21 35 1560 226 47.9 330;G1=132 15.9 17.7 578 92.4 1314 1372182 11.3 11.3 767 111 264 672186 9.26 37.1 958 233 73 347162 8.23 27.1 625 108 62.4 465150 6.63 21 627 140 179 639159 10.7 11.7 612 190 98.5 390117 16.1 7.04 988 95.5 136 572181 10.1 4.04 1437 184 101 542146 20.7 23.8 1232 128 150 109242.3 10.3 9.7 629 93.7 439 88828.2 12.4 53.1 370 44.1 454 852154 13.8 53.3 621 105 160 723179 12.2 17.9 1139 150 45.2 21813.5 3.36 16.8 135 32.6 51.6 182175 5.84 24.9 807 123 55.6 126113 15.8 47.3 626 53.6 168 62750.5 11.6 6.3 608 58.9 58.9 13978.6 14.6 9.7 421 70.8 133 46490 3.27 8.17 622 52.3 770 852178 28.8 32.4 992 112