高中数学 第一章 集合单元小结学案1 新人教版必修2.doc

第一章 集合复习巩固知识网络集合知识回顾1.由一些确定的对象的全体组成一个集合.要注意的是集合的概念与“全体”的区别;虽然集合也含有全体的意思,但与通常说的全体是不同的,集合的元素是确定的,必须能判断任一个对象是不是这个集合的元素.2.集合的元素必须满足三性:确定性、互异性、无序性.解决与集合有关问题时,一方面,不要忘记检验集合的元素是否满足这三性;另一方面,善于抓住集合元素的三性,就能顺利地找到解题的切入点.3.集合与集合之间的关系有子集(包含、包含于)、真子集(真包含、真包含于)、相等.在判断集合与集合之间的关系时,如果能确定真包含(或真包含于)则不能用包含()表示.要注意区分“”“”“”的含义,并能正确地运用它解题.4.集合的交、并、补运算是集合的核心,其关键在于对“且”与“或”的正确理解:“且”的意思与通常理解的“既是同时是”是一样的；“或”则与通常理解的“非此即彼”有区别，它可以是两者兼有.5.解决集合问题时要注意以下几点:明确集合的元素的意义,它是怎样类型的对象(如数、点、图形等);弄清集合由哪些元素所组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于将集合的三种语言(文字、符号、图形)相互转化,同时还要善于将用多个参数表示的集合化到最简形式;要善于运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法来解决集合的问题;集合问题多与函数、方程、不等式等知识综合在一起,要注意各类知识的融会贯通.典例精讲【例1】已知a=x|x2-3x+2=0,b=x|ax-2=0,且ab=a,求实数a组成的集合c.思路分析:由ab=a可得ba,整理好a、b集合,注意ax-2=0中a是否为0.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2.当x=1时,a=2;当x=2时,a=1.这个结果是不完整的,上述解答只注意了b为非空集合.实际上,b=时,仍满足ab=a.当a=0时,b=,符合题设.故正确答案为c=0,1,2.温馨提示 空集是任何非空集合的子集,且a=,a=a,忽略了这一点,会造成解题结果不全面,应予以重视.【例2】已知集合p=y=x2+1,q=y|y=x2+1,r=x|y=x2+1,m=(x,y)|y=x2+1,n=x|x1,则( )a.p=m b.q=r c.r=m d.q=n解析:集合p是用列举法表示,只含有一个元素,即函数y=x2+1,集合q、r、n中的元素全是数,即这三个集合都是数集.集合q是函数y=x2+1的值域1,+);集合r是函数y=x2+1的定义域r;集合n是不等式的解集1,+);而集合m的元素是平面上的点,此集合是函数y=x2+1图象上所有点组成的集合.答案:d温馨提示 解集合问题时,应首先对集合元素的范围确定,然后再进行比较.【例3】已知集合a=2,4,a3-2a2-a+7,b=-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7,若ab=2,5,求实数a的值,并求ab.解析:ab=2,5,5a,a=2,4,5.由已知可得a3-2a2-a+7=5,a3-2a2-a+2=0.(a2-1)(a-2)=0.a=2或a=1.当a=2时,b=-4,5,2,25,ab=2,5,与题设相符;当a=1时,b=-4,4,1,12,ab=4,与题设矛盾;当a=-1时,b=-4,2,5,4,ab=2,4,5,与题设矛盾.综合知a=2.ab=2,4,5-4,5,2,25=-4,2,4,5,25.温馨提示 a3-2a2-a+7=5只是ab=2,5成立的必要条件,因当a3-2a2-a+7=5,b中元素(含a)的值无法确定.这种由“局部”的值，说明“整体”满足要求，必须进行验证.【例4】已知三个集合a=x|x2-3x+2=0,b=x|x2-ax+a-1=0,c=x|x2-bx+2=0,问同时满足ba,ac=a的实数a、b是否存在?若存在,求出a、b;若不存在,请说明理由.思路分析:一元二次方程实根情况有三种:有两个相等的实根;有两个不相等的实数根;没有实数根.根据条件“ba，aca”确定集合b、c中的元素，因为是任一非空集合的真子集，所以b、c都有可能为,但b中必有元素1,则b.解:a=x|x2-3x+2=0=2,1,b=x|x2-ax+a-1=0=x|(x-1)x-(a-1)=0,又ba,a-1=1.a=2.ac=a,ca.则c中元素有以下三种情况:(1)若c=时,即方程x2-bx+2=0无实根.=b2-80.-2b2.(2)若c=1或2时,即方程x2-bx+2=0有两个相等的实根.=b2-8=0.b=2.此时c=或-不符合题意,舍去.(3)若c=1,2时,则b=1+2=3,而两根之积恰好为2.综上所述,a=2,b=3或-2b2.温馨提示 这类题要利用分类讨论的思想,但特别容易疏忽的是c=这一情况,这也是考查集合问题的重点之一, 有许多特殊的性质,在解题时宜多留心.如:a=a,a=,a, =a(a),=u,=u等,同时在解题过程中考虑问题要全面,在本题中既要考虑集合的性质又要考虑一元二次方程根的性质.【例5】为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支“测绘队”,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图,测绘队的成员中很多同学是多面手,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4个既参加了计算又参加了绘图.另有一些人3项工作都参加了,请问这个测绘队至少有多少人?解析:本题的已知条件之间的关系不明朗,难以理出解题思路,通过分析,可建立一个集合模型,则可化难为易.设3项工作都参加的人数为x,则各集合之间的关系得到清晰表达如图,测绘队总人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x,在绘图的